实验曲线的绘制

1、用最小二乘法绘制实验曲线在做各种实验中，可以获得大量的数据。 一般的，我们都会在实验之后，将这些实验数 据进行某种处理，然后用图形来描绘实验结果。 用图形来描绘要比提供一大堆枯燥的数据直 观明了得多。但是，因为实验本身会受到各种具体因素的影响。比如：实验仪器设备的精度、原材料因素、工作人员的水平以及温度等的影响，使得实验数据测得的数据总会或多或少的带有误差。也就是说，这些实验数据本身就不精确。所以在绘制实验曲线的时候，如果是按点点通过将这些数据点连成曲线，那么这种看起来似乎很精确的方法恰恰是不符合实际情况的，因而是不可取的。因为曲线并不正确的方法应该是用一条光滑的曲线，以适当的方式来逼近这些数

2、据点。通过每个数据点，所以可以弥补由于误差造成的数据点的跳动间呈线性关系，并设该线性方程为一般形式yaix a2。于是，我们可以按最小二乘法的用一系列数据点(Xi, yi ) (i=1 , 2,m),所要绘制的曲线 y f (x)，用什么样的表尊来评价这条曲线是否处于较为合理的状态呢？通常把数据点的坐标值与曲线上对应 的坐标之差 作为评判的标准。在这里：if (Xi) yi式中i成为残差；f(Xi)为理论值;y为相应的实测值。常用的评价方法是： 使残差的平方和m-达到最小。这也就是常说的“最小二乘法”。i 1用最小二乘法来绘制实验曲线，其实质也就是要找一个经验方程y f(X)来描述这些数据点，

3、并使每个点的 f(Xi)和yi之差的平方和为最小。所以，第一步首先要根据数据点的分布情况进行预测，该经验方程可能是属于什么类型。比如说是线性函数， 还是二次函数或其他阶次的多项式曲线。用最小二乘法拟合直线设有测得的数据点(xyJO 1,2, ,m)，根据这些数据点的分布情况，预测到他们之原理建立起下面的式子:m2ii 1m(aiXia2 yi)2i 1其中Xi, yi为测得的已知数据点的值，故这个方程可以看成是关于a1和a2的函数，即有两个未知数ai和a2。这两个未知数也就是我们预测的线性方程中的系数和常数项。于是，上式可改写成函数形式为:f (ai, a2)(aiXi a2 Yi)2根据最小

4、二乘法的要求，要使i2达到最小值。也就是要求ai和a2为何值时，该函i 1数f（ai，a2）能取得极小值。这是一个二元函数求极小值的条件的问题，其条件为:f (ai,a2)aif (ai,a2)a22即：2(aiXia2 yi)(aiXia2 yi)Xi展开整理后的:aiaiXi2Xia2 myia2XiXi yi上式写成矩阵形式为:Xi2XiaiyiXia2Xi yi可以看出，现行方程组可以有唯一解。这样，求解该方程组可的未知系数 a1和a2的值，从而使得线性函数表达式 y a1X a2唯一确定，并可根据该表达式绘出图形。用最小二乘法拟合二次以上多项式曲线2设有二次多项式为:y aiX a2

5、X a3，那么，我们可以类似的建立起一个多项式的线性方程组如下:2xi3xi4xixi2xi3 xixi2xia1a2a3对于 n 次多项式：a1xa2xn1yiyixi2 yi xian xan 1可以相应地建立起线性方程组为：nxin1xin1xinxix2xia1a2yiyi xi2nxi2n 1xin1xinxiann yixi由上式表示的线性方程组中，系数矩阵为(n+1) X(n+1)的方阵，有 n+1 个未知数，即 ai (i 1,2, ,n 1) ，常数项由 n+1 个，所以线性方程组有唯一解。 我们可以用高斯校园法求解除方程组中的全部未知数:a1,a2,an 1。从而使得所设知

6、 n次多项式为已知。然后可以根据该多项式，使用差值的方法计算出绘图用数据点。对于阶次 n 的取值，一般不要超过 7。过高的阶次不仅会增加运算工作量，并且还会使曲线 产生不必要的抖动。具体的取值可以根据实际情况而定，以拟合处最为理想的曲线为准则。解题过程下面，我们总结归纳一下最小二乘法解题编成的思路和步骤。1给出全部数据点 (xi,yi )(i 1,2,m) ，并确定所需阶次n。2按照下式，建立系数增广矩阵：nxin1xin1xinxixi2xiyixiyi xi2nxi2n2nxi2nn1xin 1nxin设该增广矩阵为 P ，它是一个(n+1)(n+2)的矩阵，其中每个元素的赋值式为:pj ,kxin j kxij 1 yi(j1,2, ,n 1;k 1,2, ,n 1) ( j 1,2, ,n 1;k n 2)Q ，使对角线上元素全为 13用高斯消元法解线性方程组将增广矩阵P化为上三角矩阵1q1,21q1,3q1,nq1,nq1,n 2q2,31q2,nq2,nq2,n 2然后用追赶法解出全部未知数后，逐行回代，求出所有的ai