圆锥曲线培优讲义

1、一原点三角形面积公式1.2 _2已知椭圆：iQd)的离心率为寺，且过点 3即.若点M（xo,5y。)在椭圆C上，则点H(. 称为点M的一个椭点”a b(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线I: y=kx+m与椭圆C相交于A, B两点，且A, B两点的 椭点”分别为P, Q,以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求 AOB的面积.2.己知椭圆？+2?=1，过原点的两条直线？和？分别与椭圆交于点?和？ ?记 ?的面积为 ？(1)设？?,？?) , ?, ?).用？ ?的坐标表示点？到直线？的距1离，并证明？?= 2 ?- ?|(2) 设？?= ?： ¥，¥)(3) 设？与？的斜率

2、之积为变动，面积？?保持不变.?,3，求?的值.求？的值，使得无论？与?如何2 23.已知椭圆C ： y爲 10,b 02 b2的左、右两焦点分别为F11,0 ,F2 1,0 ,椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的AF1F2中,满足时2 © AF2F1 召(1)求椭圆C的方程;(2)设点B,C,D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,B与点D关于原点0对称，设直线BC,CD,OB,OC 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4，且 k, k?k3 k4，求 OB2 OC2 的值.4.在平面直角坐标系xoy内，动点M(x, y)与两定点(2,0),(2,0)，连线的斜率之积为(1)求动点M的轨迹C的

3、方程；设点A(x1, y1), B(x2, y2)是轨迹C上相异的两点.2(I)过点A , B分别作抛物线y4 J3x的切线l1、I2，I1与l2两条切线相交于点LUU ULUrN（亦,t），证明：NAgNB(n )若直线OA与直线OB的斜率之积为 -，证明：S AOB为定值，并求出这个定值 45.已知?、?分别是?轴和？?轴上的两个动点，满足I ?2,点?在线段？?h，且? ?是不为0的常数)，设点?的轨迹方程为6.?(1) 求点?的轨迹方程？(2) 若曲线?为焦点在？?轴上的椭圆，试求实数 ？?的取值范围；(3) 若？?= 2，点？?, ？是曲线？?上关于原点对称的两个动点，点?的3 坐标

4、为(八3)，求?勺面积?的最大值.已知椭圆？的焦点在?轴上，中心在坐标原点；抛物线 ？的焦点在?轴上，顶点在坐标原点.在？，？上各取两个点，将其坐标记录于表格中：? 39?- 2(1) 求？?，?的标准方程；(2) 已知定点？?(0, 8)，?为抛物线的切线交椭圆？于？ ？两点，-24 v2-辺2?上一动点，过点？?作抛物线？?求 ?面积的最大值.?( ?为坐标原点)，如图.若抛物线?:?且经过？ ?点.7.已知抛物线? = 4?的焦点为？过点?的直线交抛物线于? ?两点.(1)若？?？ 2?,?求直线？?的斜率;(2)设点？在线段？?2h运动，原点?关于点？的对称点为？求 四边形？?积的最小

5、值.? ?8.设椭圆？?：茹+1 (?> ?> 0)的左、右焦点分别是？、？?，下顶点为?线段？?？勺中点为(2)设？?(0, - 5),?为抛物线？上的一动点，过点?作抛物线？的切线交椭圆？于?、?两点，求 ?面积的最大值.定点定值问题9.动点P在圆E : (X 1)2 y2 16上运动，定点F(1,0)，线段PF的垂直平分线与直线PE的交点为Q.(I)求Q的轨迹T的方程;D两点，且l1 l2 证明:(n)过点F的直线li，I2分别交轨迹E于A，B两点和C，过AB和CD中点的直线过定点.10.在直角坐标系2xOy中，抛物线C的顶点是双曲线 D ：十-的中心，抛物线C的3焦点与双曲

6、线D的焦点相同.(I)求抛物线C的方程;C上两个动点且PA(n)若点P (t,1)(t 0)为抛物线C上的定点，A, B为抛物线丄PB，问直线AB是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由.? ?11. 如图，在平面直角坐标系 ？?中，椭圆？?2+玮=1(?> ?> 0)的离心率为 吕，直线？?与?轴交于点?与椭圆?交于?两点.当直线？?垂3?的右焦点时，弦？?？勺长为 竽3(2) 若点?的坐标为(F，0)，点?在第一象限且横坐标为，连接 点?与原点?的直线交椭圆?于另一点？求 ?的面积；(3) 是否存在点？使得爲+爲为定值？若存在，请指出点?的坐 标，并求出该定值；若不存在

7、，请说明理由.12. 已知椭圆事，二1的左焦点为F,不垂直于x轴且不过F点的直线I与椭圆C相交于A, B两点.(1)如果直线FA FB的斜率之和为0,则动直线I是否一定经过一定点？若过定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.(2)如果FAXFB,原点到直线I的距离为d,求d的取值范围.13.如图，已知直线I : y kx 1(k0)关于直线y x 1对称的直线为h，直线l,li与椭2圆E :42y1分别交于点A、M和A、N，记直线l1的斜率为k1.(I)求 kk1的值;(n)当k变化时，试问直线恒过定点，请说明理由MN是否恒过定点?氏出该定点坐标；若不? ?14.如图，椭圆？?2+

8、?2 = 直线？?与椭圆相交于?1 (?>?> 0)的离心率是 Y，过点？?0,1)的动?两点.当直线？?平行于?轴时，直线？?被椭圆?截得的线段长为2迈.(1)求椭圆?的方程;(2)在平面直角坐标系？?中，是否存在与点？不同的定点？使得1?= I?恒成立？若存在，求出点?的坐标；若不存在，请说明理由.? ?15.已知动圆过定点(2,0)，且与直线？?=-相切，其中？?> 0 .(1) 求动圆圆心?的轨迹的方程；(2) 设?、?是轨迹?上异于原点？的两个不同点，直线？?和?的倾斜角分别为 ?和？当？ ?变化且？?+ ?为定值？?0< ?<16.已知抛物线 ？?？=

9、 2?> 0)的准线与n时，证明直线？?！过定点，并求出该定点的坐标.?, ? |?|= 3昉.?轴交于点？?，过点？做圆?(? 5)2 + ? = 9的两条切线，切点为(1)求抛物线？的方程;(2)设？ ?是抛物线?上分别位于?轴两侧的两个动点，且?=?9 (其中?为坐标原点). 求证：直线？?必过定点，并求出该定点 ?的坐标；? 过点？作？?？勺垂线与抛物线交于 ？ ?两点，求四边形 面积的最小值.Ua >A>为的右歳点*怔半轴与短半轴之出邯于2.巳知潇U G召+召一求Wffl C的掾准方程I过点的a皎d与圆匚栢玄于不同的两点M.N *若点B在以线段MN为直fiWffl上

10、.证明gifiJ过ffi点.井求出谨危点的坐标，17.18.如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆 C:2X2y 1上一点，从2原点O向圆M: (X x0)2(y y。)2k1，k2OP、OQ的斜率分别记为(1)求证：k1k2为定值;求四边形OPMQ面积的最大值.2作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q，直线221219.如图，在平面直角坐标系xOy 中,x 已知R Xo , yo是椭圆C:241上的一点，从2原点O向圆R: x x02yo8作两条切线，分别交椭圆于P，Q.(1 )若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆 R的方程;(2)若直线OP，OQ的斜率存在，并记

11、为ki，k2，求ki，k2的值;(3)试问OP2中点弦问题20.2|OQ|是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由2 2椭圆cf殳"b 0的长轴长为2近,P为椭圆C上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A2为椭圆C的右顶点，点 M为线段PA2的中点，且直线 PA2与1直线OM的斜率之积为 -2(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点R且不与坐标轴垂直的直线 I交椭圆C于两点A,B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N , N点的横坐标的取值范围是11,0 ，求线段AB的长的取4 '2 221.在平面直角坐标系xoy中，过椭圆C:务 务a b1(a b 0)右焦点的直线0交

12、椭圆C于M,N两点，P为M,N的中点，且直线OP的斜率为.3(I)求椭圆C的方程;(n)设另一直线l与椭圆C交于A,B两点，原点O到直线l的距离为逅求AOB面积的最大值.27112 222. 如图，椭圆E:笃爲 1(a b 0)左右顶点为A、B，左右焦点为 a bF1,F2,|AB 4j F1FJ 2J3，直线y kx m(k 0)交椭圆e于点C、D两点，与线段F1F2椭圆短轴分别交于M N两点(M N不重合)，且CMDN .(1)求椭圆E的方程;(2)设直线AD,BC的斜率分别为k1,k2，求一的取值范围. k2223.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C :笃a2 y b21(a b

13、 0)的离1心率e 2，左顶点为A( 4,0)，过点A作斜率为k(k 点D，交y轴于点E.0)的直线I交椭圆C于(I)求椭圆C的方程；(n)已知P为AD的中点，是否存在定点Q,对于任意的k(k 0)都有OP EQ，若存在，求出 点Q的坐标；若不存在说明理由；E崔VO丿x(m)若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求DOJ AE|的最小值.? ?324.已知椭圆？:?2+?= 1(?> ?> 0)过点？?0,-1 )，且离心率？?=-.(1) 求椭圆？的方程；(2) 若椭圆？上存在点？?？关于直线？?= ?1对称，求?的所有 取值构成的集合？并证明对于？?？?勺中点恒在一条定直线

14、上.125. 如图，在直角坐标系 ?中,点？21迁)到抛物线 ？?？= 2?> 0)的?平分.准线的距离为4.点？2?1)是?上的定点，？ ?是?上的两动点，且 线段？?被直线(1) 求？ ？?的值；(2) 求?面积的最大值.26. 已知抛物线？?？=4?过其焦点?作两条相互垂直且不平行于 ?轴的直 线，分别交抛物线 ?于点?, ?和点？，？?，线段?, ?的中点 分别记为？?,，?.(1) 求 ?!?面积的最小值；(2) 求线段？的中点?满足的方程.221327.平面直角坐标系 xOy中，椭圆C :笃占 1 ( a b 0 )的离心率是 ，抛物 ab2线E : X2 2y的焦点F是C的

15、一个顶点.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设P是E上动点，且位于第一象限，E在点P处的切线I与C交于不同的两点 A，B， 线段AB的中点为D，直线0D与过P且垂直于x轴的直线交于点 M .(i )求证：点 M在定直线上；(ii )直线I与y轴交于点G，记大值及取得最大值时点 P的坐标.§的最S2四定比分点28.已知点E( 2,0)，点P是椭圆F ：(X 2)2y3 2 36上任意一点，线段EP的垂直平分线FP交于点M，点M的轨迹记为曲线 C .(I)求曲线C的方程;(n)过F的直线交曲线C于不同的A, B两点，交y轴于点N，已知NAmAF ,NB nBF ,求m n的值.QCM本小題

16、滴分12分)r.如團*任平面直角坠标系中.过巩1，0)的线 与W轴交于点 M直线匀直线FA7垂直且与工轴交于点N* 丁是点N关 于直线的对称点.f )点T的轨迹为曲线6求iBl线C的方程£cn MffiHI E的中心在塑标原点肿为S右拡点且离心率为話过点F的直线/与曲线C交于A.H1A4点，与椭圆交|卩&胸点,请问：足育存在直 线/使是线段PE的四等分点？若存在.求出自线？的方程；若不存往. 请说明理由再取两个动点Ni (0 , m),29.在直角坐标系 xOy上取两个定点 A( V6，0) , A2 G/6，0),N2(0 , n)，且 mn 2 .(I)求直线aNi与AN

17、2交点M的轨迹C的方程;(n)过R(3,0)的直线与轨迹N , F为轨迹C的右焦点,C交于P,Q,过UUU 若RPuur RQ(x轴且与轨迹C交于另一点UUIT1)，求证：NFP作PNuuu FQ .30.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2 x C: T a2y1 a> b>0b2的左、右焦点分别为Fi,F2 , P为椭圆上一点(在 x轴上方)，连结PFi并延长交椭圆于另一点 Q，设UULTPFiUULTFQ .(1)若点(2)若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e丄，匝，求实数 的取值范围.2 2五结论y2与1 a b 0经过点2 , 72且离心率等于 b22点A , B分别

18、为椭圆C的左右顶点，点 P在椭圆C 上.231.已知椭圆20.已知椭圆C : x2a(1)求椭圆C的方程;是椭圆C上非顶点的两点，满足0M / AP , ON II BP ,求证：三角形MON的面积是定值.32.过点(1,0，离心率为 .过椭圆右顶点？的两条斜率乘积为-4的直 线分别交椭圆？于？?，？两点.(1) 求椭圆?的标准方程；?若过定点？求出点?的坐标，若不过(2) 直线?是否过定点 点？请说明理由.33.已知椭圆的两个焦点为Fi75,0UULU UULUr,F2 V5,0 ,M 是椭圆上一点，若 MFi MF2 0 ,(2)点P是椭圆上任意一点,Ai、A分别是椭圆的左、右顶点，直线

19、PA, PA2与直UULUUUUurMF1MF28 .(1)求椭圆的方程;(1)1534.已知抛物线X2 2py P 0的焦点为F，直线x 4与x轴的交点为P,与抛物线211相交于B,C与35.两点(A，B两点相邻)，过A,D两点分别作我校的切线， 两条切线相交于点 CDM的面积之积的最小值.? ?已知椭圆?2+ ?2= 1(?> ?> 0)，其右准线 ？?与 ?轴交于点？椭圆的上顶点为 且垂直于长轴的直线交椭圆于点 过线段？?？勺中点?过它的右焦点 ?直线?恰经36.37.M,求 ABMa0(2)设椭圆的左、右顶点分别是？、?，且?= -3，求椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，设?是椭圆右准线？?上异于?的任意一点， 直线？?？?？与椭圆的另一个交点分别为 ？、？求证：直线? 与？?轴交于定点.已知点A( 1,0) , B(1,0)，直线AM与直线BM相交于点 M，直线AM与直线BM的斜率分别记为kAM与kBM，且kAM kBM 2 -(I)求点M的轨迹C的方程;(n)过定点F(0,1)作直线PQ与曲线C交于P,Q两点,大值？若存在，求出 OPQ面积的最大值；若不存在, 2已知一个动圆与两个定圆(X