扭转的概念和实例

1、第三章 扭 转§3.1 扭转的概念和实例§3.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图§3.3 纯剪切§3.4 圆轴扭转时的应力§3.5 圆轴扭转时的变形§3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形§3.7 非圆截面杆扭转的概念§3.1 扭转的概念和实例1实例如：车床的光杆 反应釜的搅拌轴 汽车转向轴2扭转：在杆件的两端作用等值，反向且作用面垂直于杆件轴线的一对力偶时，杆的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这种变形称为扭转变形。§3.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图1Me、m、 P之间的关系 Me外力偶矩（Nm）

2、 n转速（r/min） P功率（kW）（1kW=1000Nm/s）（马力）（1马力=735.5W）每秒钟内完成的功力 或 2扭矩和扭矩图（1）截面法、平衡方程 Mx=0T-Me=0T=Me（2）扭矩符号规定：为无论用部分I或部分II求出的同一截面上的扭矩不但数值相同且符号相同、扭矩用右手螺旋定则确定正负号。（3）扭矩图例1 主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮输出功率PB=PC=15kW，PD=20kW，n=300r/min，试求扭矩图.解：（1）（2）求TMx=0 T1+MeB=0 T1=-MeB=-477 T2-MeA+MeB=0 T 2=1115NT3-MeD=0 T3=Med=63T

3、例2 主动轮与从动轮布置合理性的讨论主动轮一般应放在两个从动轮的中间，这样会使整个轴的扭矩图分布比较均匀。这与主动轮放在从动轮的一边相比，整个轴的最大扭矩值会降低。如左图a：Tmax=50N·m 右图b：Tmax=25N·m二者比较图b安置合理。§3.3 纯剪切在讨论扭转的应力和变形之前，对于切应力和切应变的规律以及二者关系的研究非常重要。1薄壁圆筒扭转时的切应力连接件的剪切面上非但有切应力，而且有正应力，剪切面附近变形十分复杂。纯剪切是指截面上只有切应力而无正应力。纯剪切的典型例子薄壁圆筒的扭转。（1）观察变形及分析变形前纵线与圆周线形成方格。变形后方格左右两边

4、相对错动，距离保持不变，圆周半径长度保持不变，这表示横截面上无正应力，只有切应力。由于切应变发生在纵截面，故横截面上的切应力与半径正交。对薄壁圆筒而言，切应力沿壁厚不变化。（2）力矩平衡Mx=0 2切应力互等定理取出单元体如左图Fx=0=Mz=0=在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，其方向都垂直于两平面交线，或共同指向或共同背离两平面交线。这就是切应力互等定理，也称为切应力双生定理。3切应变剪切胡克定律上述单元体，属于纯剪切状态胡克定律：试验表明，当切应力不超过比例极限时，切应力与切应变成正比。= GG比例常数，材料的切变模量。单位GPa4三个弹性常数之间的关系对各向同性材

5、料 5剪切应变能 对图示纯剪切单元体。右侧面上的剪力为dydz。由于剪切变形，右侧面向下错动位移为rdx。若切应力有一个增量d，切应变的相应增量为d，右侧面向下位移增量为ddx。剪力dydz在位移ddx上完成的功力dydz·ddx。在切应力从零开始逐渐增加的过程中（如达到可，则相应的切应变达到r1）右侧面上的剪力dydz总共完成的功力。单元体内储存的剪切应变能力式中：dv=dxdydz，则剪切应变能密度为v=r曲线下的面积。（d为阴影条面积）当切应力不超过剪切比例极限的情况下。与的关系为斜直线（为线弹性情况）剪切胡克定律：=G，则§3.4 圆轴扭转时的应力1应力分布规律：

6、几何学方面物理学方面静力学方面（1）变形几何关系观察试验（在小变形前提下）a.圆周线大小、形状及相邻二圆周线之间的距离保持不变，仅绕轴线相对转过一个角度。b.在小变形前提下纵线仍为直线仅倾斜一微小角度，变形前表面的矩形方格，变形后错动成菱形。平面假设：圆轴扭转变形前的平面横截面变形后仍保持平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻二截面间的距离保持不变。结论：横截面上只有切应力而无正应力。取dx一段轴讨论：（a）讨论：a. 为扭转角沿轴线x的变化率对给定截面上的各点而言，（即x相同）它是常量。b. 横截面上任意点的切应变P与该点到圆心的距离P成正比。（任意半径圆周处的切应变均相等）。（2）

7、物理关系剪切胡克定律（b）结论a. 距圆心等距的圆周上各点处的切应力均相等。P与半径垂直（即各点处的圆周切线方向）。b. 切应力沿半径直线分布。（3）静力关系内力为分布力系的合力令 （截面对圆心O的板惯性矩）于是： （c）式（c）代入式（b）得 （d）讨论 （e）引入 （抗扭截面系数）则 （f）2IP、Wt计算公式（1）实心圆截面dA=dd（2）空心圆截面式中=d/D3强度条件（1）强度计算校核设计截面 确定许用载荷TmaxWt（2）讨论：对变截面杆、如阶梯杆、圆锥形杆，Wt不是常量，max并不一定发生在扭矩为Tmax的截面上，这要综合考虑T和Wt寻求最大值。4强度计算举例Example1图示

8、传动轴Given Me1=895N·m Me2=538N·m Me3=2866N·m Me4=1075N·m Me5=358N·m=20MPaFind 设计阶梯轴各段的直径DProcedure：（序号）solution（1）求各段轴的扭矩，作出扭矩图（2）求各段轴的直径DD2371.5mm D3471.5mm D4545mmExample2图示传动轴外力偶矩某度为mGiven M=500N·m/m D=30mm l=1000mmFind maxsolution Mx=0 T(x)=mx扭矩沿轴线线性变化当x=0时，T=0当x=l时，T

9、max=ml=500N·mMpa§3.5 圆轴扭转时的变形1扭转角的计算讨论：（1）若两截面之间T=const，GIP=const，则GIP圆轴的抗扭刚度（2）阶梯轴2刚度条件消除轴的长度l的影响（rad/m）：单位长度的扭转角等直圆轴：刚度条件（rad/m）按照设计规范和习惯许用值的单位为，可从相应手册中查到。 （ º）/m3刚度计算 刚度校核 设计截面： 确定许用载荷Tmax注意：由刚度条件 G切变模量或 式中需用牛顿米代入因为单位为（ º）/mExample1图示钢轴Given Me1=800N·mMe2=1200N·m Me3

10、=400N·ml1=0.3m l2=0.7m G=82GPa =50MPa=0.25(º)/mFind Dsolution（1）求扭矩，作出扭矩图（2）强度条件Tmax=800 N·m（m） （3）刚度条件（m）取：D=70mm注意：用牛顿米统一单位方便，不易出错。§3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形1实例（1）车辆轮轴弹簧：缓冲减振（2）凸轮机构的压紧弹簧，内燃机的气阀弹簧（控制机械运动）。（3）弹簧秤（4）美国世贸中心大厦为“筒中筒”结构，110层双子楼主楼417m，次楼415mm。为了抵御大西洋的狂风，顶部风压为4kPa，允许位移90cm，实测

11、fmax=28cm，内外筒之间用桁架承担楼面载荷，在第7层一107层桁架下面放置减震器，吸收风力作用下大楼的变形能减震。2密螺弹簧的两个条件（1）螺旋角<5°（密圈）（2）d<<D（小曲率杆）近似认为簧丝横截面与弹簧轴线位于同一平面内略去曲率影响，采用直杆扭转公式.3弹簧丝横截面上的应力Fy=0FS=FM0=0内侧A点：若则<<1与1相比可省略。这相当于只考虑扭转，不计剪切。（近似公式）考虑到切应力的非均匀分布及曲率的影响对上式修正。式中 曲度系数弹簧指数4簧丝的强度条件5弹簧的变形 （1）试验表明：在弹性范围内，静载压力F与成正比（线弹性关系）。当外力

12、从零增加到最终值时，它作的功等于斜直线下的面积即：（2）簧丝的扭转的应变能簧丝横截面上距圆心为r处的切应力扭转单位体积内的应变能（应变能密度）弹簧的应变能为V弹簧体积dA簧丝横截面的微分面积dS_沿簧丝轴的微分长度，n为有效圈数)根据功能原理，即W=V式中：是弹簧圈的平均半径。引入记号：则：C越大，则越小，所示C代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。C的单位为N/m或F=C6弹簧变形的简单推导方法Example1 安全气阀阀盘的直径Do=60mm当蒸汽压力p=0.8MPa时，阀门行程为h=10mm，弹簧材料为60Mn钢，=400MPa，G=80GPa，簧圈平均直径D=50mm。Find：簧丝直径d和弹簧圈数nSolution：（1）弹簧受压力：(N)（2）簧丝直径d：由于曲度系数k未知，故应用试算法。先用近似公式估算。由公式(mm)考虑到修正，取d=9.8mm，然后校核：代入修正公式求故取 d=9.8mm（3）弹簧圈数：由§3.7 非圆截面杆扭转的概念一、实例农业机械中有时采用方轴为传动轴车床上的光杆有时采用方截面曲轴的曲柄为矩形截面，承受扭矩二、非圆截面杆扭转与圆轴扭转的差别观察试验：非圆截面杆扭转变形后，截