微积分在不等式中的应用

1、- I -摘要微积分和不等式都是数学中极为重要的内容，本文在回顾了几种常用的证明不等式的初等方法后，利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、极（最）值的判定法、定积分的性质等一些微积分知识探究了不等式的证明方法，最后指出了微积分在不等式证明中的具体应用关键词：微积分；不等式；导数；函数 AbstractCalculus and inequality are very important contents of mathematics. The paper reviews some common elementary methods to prove inequality, then

2、 explores the proving method of inequality by using differential mean value theorem, Taylor formula, monotony of function, determinate method of extreme (most) value, definite integral quality and some other related knowledge of calculus, at last, the paper points out the specific application of cal

3、culus in the proof of inequality.Key words: calculus; inequality; derivative; functions 目 录摘要IAbstractII第1章 微积分1第1节 微积分的发展1第2节 微积分的概念2第2章 不等式5第1节 不等式的定义和性质5第2节 常用的证明不等式的方法6第3章 微积分在不等式中的应用9第1节 利用微分证明不等式9第2节 利用积分证明不等式15结论18参考文献19致谢20微积分是数学中的重要组成部分，是研究函数的性质，证明不等式，探求函数的极值、最值，求曲线的斜率和解决一些物理问题的有力工具微积分

4、的应用为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和新的途径，可以说微积分是打开数学知识大门的一把钥匙. 微积分在实际生活中的应用非常广泛，在不等式证明中也发挥着巨大的作用.不等式的证明方法很多，灵活地运用微积分的性质及相关定理是解决许多不等式证明问题的关键本篇论文归纳和总结了一些证明不等式的方法与技巧，突出了微积分的基本思想和基本方法，运用这些方法和技巧能够使不等式的求解过程更为简单 第1章 微积分将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝， 而树干的主要部分就是微积分微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一它既是一门基础学科，又是一门应用广泛的学科要想掌握高等数学的任何一

5、个分支不熟悉微积分是不可能的，因此，研究微积分的一些性质及应用具有很大的必要性第1节 微积分的发展从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题的解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨1.1微积分的思想 微积分成为一门学科是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287前212）的著作圆的测量和论球与圆柱中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决

6、抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想极限理论作为微积分的基础早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的庄子一书中的“天下篇”中，著有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”三国时期的刘徽在他的割圆术中提出“ 割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”他在1615年测量酒桶体积的新科学一书中， 就把曲线看成边数无限增大的直线形，圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的连续不可分几何中，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的这些都为后来的微积分的诞生作了

7、思想准备1.2微积分的创立由于17世纪工业革命的直接推动，英国科学家牛顿和德国科学家莱布尼茨在许多数学家工作的基础上创立了微积分，他们为变量建立了一种新型的行之有效的运算规则，去描述因变量在一个短暂瞬间相对于自变量的变化率，以及在自变量的某个变化过程中因变量作用的整体积累，前者称为微商，后者称为积分，统称微积分此后，数学的发展逐渐出现了一日千里之势，形成了内容丰富的高等代数、高等几何、与数学分析三大分支，在此基础上，还出现了一些其他分支第2节 微积分的概念2.1微分的基本概念及运算法则定义1 设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处有增量仍在该邻域内，相应地函数有增量，如果与之比当时，极限存

8、在，那么这个极限值称为函数在点的导数，并且说，函数在点处可导，记作，即如果极限不存在，就说函数在点处不可导如果固定，令，则当时，有，故函数在处的导数也可表示为设函数与在点处可导,则有如下求导法则:(1)；(2)；(3)（）特别地,当(为常数)时,有定义2 若函数在点处的改变量可以表示成，其中为比高阶无穷小，则称函数在点处可微，并称其线性主部为函数在点处的微分，记为或，即且有，这样因为函数的微分等于导数乘以，所以根据导数的运算法则，就能得到相应的微分运算法则若函数与可微，则(1)，其中是常数；(2)；(3)；(4).2.2定积分的基本概念及性质定义3 设函数在上有定义,任取分点，分为个小区间记，

9、再在每个区间上任取一点，作乘积的和式：，如果时，上述极限存在，则称此极限值为函数在区间上的定积分，记为，其中称为被积函数，为被积式，为积分变量，为积分区间，分别称为积分的下限和上限从定积分的定义出发可得如下的性质性质1 在闭区间上,若，则.定理1 设函数在闭区间上连续，又是的任一个原函数，则有 (1)公式(1)叫做牛顿-莱布尼茨公式第2章 不等式 不等式是数学中的重要内容之一，是求解一些数学问题的有效工具，不等式除了可以用来解决一些关于不等量的实际问题，对于研究函数的定义域和值域也有广泛的应用第1节 不等式的定义和性质1.1不等式的定义 形如, 的表达式称为不等式，这里和可能是数也可是函数，记

10、号称为不等号，分别读作：小于(小于等于)，大于（大于等于）用符号和表示的不等式称为严格不等式，而用符号和表示的不等式称为非严格不等式不等式可分为两类：算术(或数值)不等式，即只用数字表示的不等式，例如：,；非算术不等式，即除了数字以外还出现一个或几个变量的函数的不等式，例如:，1.2不等式的性质在进行证明不等式或利用不等式解题时，有必要将原不等式转化为一个新的且与原不等式等价的不等式，因此，常利用下面一些不等式的性质：性质1 如果，那么；如果，那么性质2 如果，那么；如果，那么性质3 如果，那么；如果，那么性质4 如果不等式的两边同乘(同除)同一个正的量，那么得到的不等式与原不等式同向；如果不

11、等式的两边同乘(同除)同一个负的量，那么得到的不等式与原不等式反向,即如果，那么；如果，那么；如果，那么；如果，那么.性质5 如果不等式的左右两边同时加上一个量，那么所得到的不等式与原不等式同向，即 如果，那么第2节 常用的证明不等式的方法2.1差值比较法差值比较法是证明不等式中最基本最重要的方法之一，其理论依据是不等式的基本性质：“若，则；若，则”一般步骤为：做差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看做为一个整体；变形：将不等式两边做差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积或变形为一个或几个平方的和等等方式其中变形是差值法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；判断：根据已知

12、条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所要求不等式成立的结论，此方法一般是适用于被证的不等式两段是多项式、分式或对数式 例1 已知为正数，证明：.证明 因为 ，所以可得到.2.2综合法综合法是利用已知条件、重要不等式或已经证明过的不等式作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步地逻辑推理，最后推理出所要证明的不等式其特点和思路是“由因导果”，从“已知”观察逐步推出“结论”其逻辑关系为：，即从已知逐步推演出不等式成立的必要条件，从而得出结论 例2 已知为实数，求证证明 因为，三式相加并变形得：，同理可证，所以 2.3分析法分析法是从要证明的不等式出发，分析这个不等式成立的充分

13、条件进而转化为判定是否具备那个条件的过程，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“须知”，逐步靠拢“已知”，其逻辑关系：，为了证明命题成立，只需求证命题为真，从而推演出又有直到为真，最后只需证明为真，而已知为真，故也必为真其逻辑关系告诉我们分析法证明是步步寻求上一步成立的充分条件 例3 已知，证明：，并讨论为何值时等式成立 证明 假设此不等式成立，于是，因为，所以，即，这显然是成立的，且以上每步过程是可逆的，当且仅当时，即时，不等式成立，原命题得证 2.4换元法换元法是对一些结构比较复杂、变量较多、变量关系不甚明了的不等式引入一个或几个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，

14、给证明以新的启迪和解法例4 已知为正数，且，求证:(是大于的正整数)证明 由已知，可设，因为，所以，故 .2.5反证法有些证明不等式的命题，从正面证明不容易，就可以从反面的角度去考虑，即要证明不等式，先假设，由题设及其他性质推出其是矛盾的，从而肯定凡涉及所证不等式为否定命题，唯一性命题，或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时，一般都可以考虑用反证法例5 已知：对于任意的正数，恒有，证明：证明 设，则，取，有与已知相矛盾，所以假设不成立，于是原命题结论成立2.6放缩法放缩法是当直接证明不等式不容易时，借助一个或几个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明的目的. 常用的放缩技巧有：舍掉(

15、或加进)一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；利用均值不等式第3章 微积分在不等式中的应用不等式涉及数量之间大小的比较，而通过比较常能显示出变量变化之间相互制约的关系因此，从某种意义上说, 对不等式的探讨，在数学分析中甚至比等式的推演更为重要许多数学家证明和发现了不少重要的不等式，许多著名不等式在数学分析中都起到了重要的作用所以对不等式的研究无论是实践应用，还是理论分析都有重要的意义本章就从此基点出发，介绍利用微积分法证明不等式的几种方法第1节 利用微分证明不等式 微分在不等式中的应用主要是利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、极值、最值、凸函数法等来证明不等式以下对这些方法分别做详细的介

16、绍.1.1利用微分中值定理证明不等式定理1(微分中值定理） 如果函数，满足下列条件:(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导，则在区间内至少存在一点，使得由于在之间，因此将有一个取值范围，即有一个取值范围，这样就得到了一个不等式因此，可利用在区间内的特点证明不等式 例1 证明：设，则有证明(1) 当时，上式显然成立(2) 当时，设，那么在区间上满足拉格朗日中值定理条件.由于，故有，即，又由于，所以，于是，故当时，有成立1.2利用泰勒公式证明不等式定理（泰勒中值定理） 如果函数中含有的某个开区间内具有直到阶的导数，对意有，其中， 这里是与之间的某个值公式称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰

17、勒公式，而表达式称为拉格朗日型余项利用泰勒公式证明不等式的常用方法是将函数在所给区间的端点或一些特定点（如区间的中点、零点）展开，通过分析余项在点的性质，从而得到不等式例2 证明不等式：当时，证明 利用泰勒中值定理可得函数在点的二阶泰勒展式为，所以，显然另一方面，所以，即1.3利用函数的增减性证明不等式单调函数是一类很重要的函数，经常在不等式证明中使用，运用导数为工具可以判断出函数的单调性.定理3 设函数在上连续，在内可导.(1)如果在内，那么函数在上单调递增；(2)如果在内，那么函数在上单调递减.利用函数的增减性证明不等式的步骤为：通过恒等变换(形)构造出合适的辅助函数（构造辅助函数常用的方

18、法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，令不等号右端为零，左端即为所求的辅助函数）；求在所给区间上的一阶导数，再判别一阶导数在此区间上的符号；有时需求在所给区间端点的函数值或极限，以便作出比较，即可得到所要证明的结果例3 证明：当时，.证明 先证，令，则，由此知当时，是递减的(个别点处，不影响是递减的结论)，所以当时，有，即；再证左边不等式，令 ，则 ，由，知，所以在时，从而当时，为单调递增的，故在时，即综上所述，当时，有1.4利用函数函数的最值和极值函数的最值和极值不仅在实际问题中占有重要的地位，对于证明不等式来说也是一个常用而有效的证明方法函数的最值和极值证明不等式适用在某区间上成立的不等

19、式,与利用函数的单调性证明不等式相似，但二者又有明显的不同，不同处在于对所作的辅助函数的处理上：利用函数的单调性的证明方法比较的是函数的端点值，而该方法是要考虑函数在区间上的最值和极值，需利用最值定理（若函数在上连续，则函数必在该闭区间上取得最大值和最小值，当函数取得最小值时，对任意的有，而当函数取得最大值时，对任意的有）对最值进行判断，从而得出证明结论证明步骤为：通过恒等变形构造合适的辅助函数；求在所给区间上的一阶导数，从而判别一阶导数在此区间上的符号；根据辅助函数在此区间上是否存在极值和最值的比较，得出所需要的结论例4 设，证明不等式成立证明 设，则，由得唯一驻点，由，知，在上的最大值为1

20、，最小值为，故例5 证明：当时，证明 令，则，令，得驻点 (因为是的端点，所以不是驻点) 且当时，；当时，所以是极大值也是最大值，从而得：，即 1.5利用函数凹凸性证明不等式定义1 设在区间上连续若对任意的恒有，则称的图形在上是凹的；若 则称的图形在上是凸的如果函数在内具有二阶导数,那么就可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性,这就是下面的曲线凹凸性的判定定理.定理4 设在上连续,在内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在内,则在上的图形是凹的；(2)若在内,则在上的图形是凸的.利用函数凹凸性证明不等式首要是找到辅助函数，利用辅助函数在所给区间的二阶导数，确定函数的凹凸性 例6 证明不等式成立.

21、证明 构造函数,则,因此，当时，函数是凹函数,则由凹函数的定义有,即 ，从而 1.6微分定义法证明不等式从微分定义出发证明不等式是最“原始”的做法，不易被人想到，但它在证明某些不等式中确有其优势.例7 设且，为实常数，试证证明 因为，利用导数定义得：，由于，所以，即 第2节 利用积分证明不等式2.1利用定积分定义及性质证明不等式运用定积分的定义证明不等式是最基本的做法，一般不会使用，但在解某些不等式时，却会收到良好的结果例1 对任意正整数，证明：证明 设 ，当时，显然为凸函数将区间分成等分,则由定积分定义知，所以. 从式前半部可得，从式后半部可得，故原不等式成立利用定积分的性质证明不等式常用的

22、是当不等式中含有定积分（或被积函数）时，可利用积分性质证明定积分的性质在不等式上的应用所依据的原理是：若于区间上连续函数满足，其中不等号至少对于中某一点处成立，则有例2 证明不等式成立证明 当时，则因为在上均为连续函数，且在内均可导，则由定积分的性质知，2.2利用柯西不等式证明不等式定理（柯西不等式） 若函数在区间上皆可积，则.例3 设函数在上的导数连续，证明： 证明 因为，所以设，则 ， 又因为，所以设， 由与得 ，结论得证2.3利用积分上限函数(原函数法)证明不等式当命题中出现条件在上连续时，可构造积分上限函数，将数值不等式或定积分不等式转化为(积分上限)函数不等式，然后利用函数单调性或定积分的性质或泰勒公式解题例4 设在上连续，且单调递增，证明证明 构造辅助函数，显然，对任意的，有 ，因为单调递增，则，故单调递增，所以，因此结 论 不等式是数学中的重要内容之一，它反映了变量之间很重要的一种关系论证不等式的方法很多，初等方法求解不等式，往往需要较高技巧，但利用微积分的思想证明不等式, 可使不等式的证明过程大大简化, 技巧性降低；同时能够体现高等数学对初等数学的指导作用本文着重介绍用微积分知识证明不等式的几种常用方法，常见的方法有微分中值定理，函数的单调性，极（最）值的判定法，定积分