大变形扭转剪应变定义的误差分析

1、北 京 交 通 大 学 学 报第29卷第4期V ol . 29N o . 4文章编号:1673-0291(200504-0010-03大变形扭转剪应变定义的误差分析王志乔, 金 明(北京交通大学土木建筑工程学院, 北京100044摘 要:以变形前互相垂直线元角度改变量的正切为工程剪应变的度量, 考虑圆杆塑性大变形扭转的Sw ift 效应或轴向伸长效应, 从变形分析角度指出, 实心圆杆大变形扭转时从变形分析角度给出的定义能够准确描述剪应变, 而由小变形推广得到的两种定义将产生误差. 黄铜实心圆杆塑性大变形扭转的结果进一步表明, 在小变形情况下, 三种剪应变定义均适用, 随着变形的增加, 由小变形

2、推广得到的两种剪应变定义将产生的误差也增加. 关键词:大变形; 扭转; 剪应变; S wift 效应中图分类号:O 343. 3 文献标识码:AAnalysis of Shear Strain Under Large Torsion DeformationW A NG Z hi_qiao , JIN Ming(S ch o o l of Ci vil Eng ine ering and A rchite cture , Beijing Jia otong Univ ersity , Beijing 100044, C hina Ab s tra ct :The m eas ur em ent

3、of she ar strain in thi s paper i s the tang ent of the angle change of tw o li nes , wh ich are perpend icular at i nitial . C o nsi derin g the S wift e ffe ct of a s o lid bar at fi nite torsi o nal d eforma -tio n , the exact des criptio n o f s he ar strain o f a so lid bar at fi nite torsi o n

4、al d eform ati on i s edu ced throu gh the de form ati on analy sis . Then , the disc repancy of the diff erent d efiniti on s of the s hear strain at larg e strain is s ynthetic ally analy z ed . Finally , the exam ple of bras s sh ow s that the d iscr epancy of the last tw o definiti o ns of she a

5、r strain w ill incre ase with d eform ati on dev el o pm ent . Ke y w ord s :large de form ati on ; torsi on ; she ar strain ; S wift e ffe ct 工程和科学技术的发展要求建立合理的大应变本构模型. 过去人们常常采用试件的单向拉伸试验来标定大变形本构模型中的参数. 拉伸过程中, 试件将近入颈缩阶段, 这对实验数据、结果的准确性产生很大的影响. 而扭转大变形试验的局部化效应不明显, 需要能更准确地描述材料在大变形条件下的力学性能, 所以很多学者进行大变形扭转试

6、验和理论研究1-7试验和理论结果1-5表明, 纯扭转大变形时, 随着塑性变形的发展, 圆杆(管试件将不断的伸长、变细, 这种现象被称为Sw ift 效应或轴向伸长效应. 圆管的Sw ift 效应比圆杆的S wift 效应明显. 本文作者将以圆杆大变形纯扭转为例, 对考虑Sw ift 效应后, 如何描述工程剪应变这一问题进行讨论. 在圆杆(管大变形扭转试验和变形分析1 剪应变的定义1. 1 小变形情况弹性小变形时, 略去高阶小量, 工程剪应变定义为8中, 一个关键的量为剪应变,为了描述剪切变形的大小, 可选取角度改变量为剪应变度量; 一般采用tan 作为工程剪应变. 本文作者以变形前互相垂直线元

7、角度改变量的正切为工程剪应变的度量.收稿日期:2004-04-06; 修回日期:2005-03-16=tan (1基金项目:国家自然科学基金资助项目(90205007; 北方交通大学“十五”专项基金(TJ 2002J 0180资助项目作者简介:王志乔(1978 , 男, 河北唐山人, 博士生. e mail :loveme chanic s 163. com金明(1963, 男, 辽宁鞍山人, 副教授, 博士.式中, 为相互垂直线元间的角度改变量, 为的初始值. 对于小变形受扭实心圆杆, 工程剪应变定义为8=r 0l (2式中, 为试件标距间的相对转角, r 0、l 0分别为试件初始半径和标距

8、长度. 1. 2 大变形情况当实心圆杆材料进入大变形扭转时, 如何准确定义工程剪应变, 分三种情况讨论.(1考虑实时变化, 定义真实剪应变为11=l(3式中, r 、l 分别为试件当前的半径和标距长度.(2为了避免实时测量r 和l 的变化, 定义剪应变为3-5, 7r 02=l (4(3基于应变积累的观点, 定义积分形式的剪应变为2, 63=2d zd t (5式中, d z为变形率张量中的分量. 2 理论分析从变形分析的角度, 分析剪应变的准确描述及各定义之间的差异. 2. 1 变形分析由于圆杆的轴对称性, 设直角坐标系(O , X 1, X 2, X 3和柱坐标系(O , R , ,Z .

9、 变形前物质点的坐标为(R , ,Z ,矢径为P ; 变形后物质点坐标为(r , ,z , 矢径为Q . 用柱坐标表示矢径P 、Q 为P =R co s e 1+R sin e 2+Z e 3Q =rco s e 1+sin e 2+z e (63式中, e 1、e 2和e 3为直角坐标系的单位基向量.由文献9(, 初始构形下的基矢为P R ( c o s s in 0P =-Rsin R co s 0P Z 01(e 1e 2 (7e 2基矢的单位向量为(e R c os si n 0e 1e -sin c o s 0e Z =(1(e 2(8e 3共轭基矢为(P R co s s in 0

10、P =-R sin R c o s 0e 2(9PZ1(e 1e 3由式(6(, 当前构形下(Q 对坐标(r ,z 的基矢为Q rc os sin 0Q =-rsin rc os 0(10Q z1(e 1e 2e 3其单位向量为(e r(co s si n 0e =-s in c o s 0(11e z1(e 1e 2e 3设Q r、Q 和Q z分别为Q r 、Q 和Q z 的共轭基矢. 试验1-5表明, 实心圆杆在大变形扭转过程中将会变长、变细, 即产生S w ift 效应.故取位移模式为r =mR=+Z(12z =Z 式中, m 表示径向的变化, 表示单位长度的转角,表示轴向的伸长比. 利

11、用式(10、式(12得Q R =m c o s (+Z e 1+sin (+Z e 2Q =mR -sin (+Z e 1+c o s (+Z e 2Q Z =mR -s in (+Z e 1+c o s (+Z e 2+e 3(13变形前物质微元d P ,变形后为d Q . 两者关系为d Q =F ·d P(14F =Q k P k(k =R , ,Z (15式中, F 为变形梯度.右C au chy _Gre en 变形张量C =F T·F ,由式(8、式(9、式(13和式(15, 得C =m 2e 22R e R +m e e +m R e e Z +m 2R e 2

12、222Z e +(m R + e Z e Z (162. 2 剪应变的定义取剪应变的度量为变形前相互垂直线元的角度改变量的正切. 取变形前实心圆杆表面相互垂直的轴向和环向矢量分别为M =e Z 、N =R e . 变形后, M 、N 分别变为m 、n . 令m 、n 之间的夹角为,则c os =(F ·M ·(F ·N |m |n |=|F ·M |F ·N |=T·C ·N(M T·C ·M (N T ·C ·N 1/2(17将式(16代入式(17, 并考虑式(12, 得c o s

13、=r 22+2(18M 、N 间角度的改变量为=2-.则剪应变为=tan =(19式(19右端分子、分母同时乘以实心圆杆的初始长度l 0, 可得=r l 0l =1(200l这就是实心圆杆大变形扭转的工程剪应变的定义式, 即式(3. 此定义是考虑S wift 效应后进行变形分析得到的, 是变形前相互垂直线元角度改变量的正切的准确值, 为真实的工程剪应变. 2. 3 讨论(1三种定义的关系2为小变形的定义.比较式(3、式(4,可知1与2的关系为2=m1(21若考虑大变形扭转时圆杆伸长变细, 即>1、m <1, 所以1<2.由式(6、式(11和式(12, 得变形速度为V =d t

14、 =m r e r +e +z e z (22速度梯度为9V =F ·F-1=V i Q i=m m e e m r r +m e e +z e z -z (e r e -e e r +e z(23应变率张量为d =2(V +(V T=m m e m r e r +m e e +z e z +112e e z +2z e (24 令d 1z =2.由式(20, 真实剪应变1对时间的导数为1=1r -+2d z(25将式(25积分, 考虑式(5关于3的定义,得3=1+1-rd t (26由于圆杆变长、变细, 所以1<3.若材料不可压缩, 由式(21、式(26可得3/2, 32=1

15、3=1+21dt (27 (2定义2、3的适用范围和不足在小变形的情况下, 即=1,剪应变不随时间变化时, 由式(21、式(26得, 1=2=3. 此时, 三种定义均适用. 当变形较大时, 2、3将产生误差, 右C auch y -Green 应变C 对时间的导数与应变率张量d 的关系为C =2F T·d ·F(28当小变形时, F 为单位张量, 有C 2d d t(29将式(29推广到大变形的定义, 3将不准确. 3 实例分析为了定量分析,考虑Sw ift 效应时三种剪应变的差别, 以文献1中的黄铜实心圆杆扭转试验数据为基础, 利用式(27进行分析, 见图1. 图1中各种

16、剪应变均为圆杆最外层的剪应变, 其中实线为真实剪应变1的试验结果, 虚线是关于2的剪应变-轴向伸长曲线, 点线为关于3的剪应变-轴向伸长曲线. 从图1中可以看出, 当变形很小时, 2、3与1很接近. 随着变形的发展, S wift 效应较明显, 2、3表示的剪应变偏大.当Sw ift 效应(-1 ×100%达10%时, 2表示的剪应变误差达15%左右, 3表示的剪应变误差达8%左右. 为了准确标定大变形本构模型中的参数 , 应当采用真实剪应变.图1 1, 2, 3与S wift 效应的关系曲线Fi g . 1 C urve s for the relati ons hip betw e en 1,