(整理)第一类曲面积分

1、精品文档 精品文档 第四节 对面积的曲面积分（第一类曲面积分） 曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分. 一对面积的曲面积分（第一类曲面积分）的基本概念与性质 设有一曲面型构件 二的物体，在点（x, y,z）处的密度为f x, y,z，求此物体的质量. 求解的方法是，将曲面三分为若干个小块.迁j （ i =1,2川）n ）,其面积分别记为 Si （i =1,2,川n）,在小块曲面厶Zj上任意取一点 M i, i, i ，若密度函数 f x, y,z是 连续变化的则可以用点 M , i, i处的密度近似小块 ASi上的密度.于是小块厶Zi的质量 为f i, i, i ASi

2、，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值即 n m 八 f i, i, i .-：Si i a 当 n n 个小的曲面的直径的最大值 ；- -；0 0 时，上面的式子右端的极限值如果存在， 则将此 极限值定义为曲面的质量即 n m =lim f , i, i 2 . 总之，以上解决问题的方法就是：先把它分成一些小片，估计每一小片上的质量并相加 最后取极限以获得精确值这同积分思想相一致.为此我们定义对面积的曲面积分. 定义 13.313.3 设函数f x,y,z是定义在光滑曲面（或分片光滑曲面）1 上的有界函数.将曲 面分为若干个小块迂=1,2,HI, n）,其面积分别记为 厶Si

3、 i =1,2,.,n ,在小块曲面厶二 上任意取一点M i, i，若极限 n iim0 f i, i, is 存在，则称此极限值为函数 f x, y,z在曲面匕上对面积的曲面积分 （或称第一类曲面积 分）记为 11 f x, y, z ds .即 y y n ! f x,y,z ds=li,m0 f i, i, i S . - i=1 其中表示所有小曲面厶 Zi的最大直径，f x,y,z称为被积函数，3 称为积分曲面. 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质.如 精品文档 精品文档 1) . f x,y,z _g x, y,z ds 二 f x,y,z ds 一 g x,y, z

4、ds; Y y y 2) kf x, y,zds=k f x, y, z ds; 3) f x,y,z ds 二 f x,y,z ds 亠 i if x, y, z ds. 耳三 耳 Z2 二 对面积的曲面积分( (第一类曲面积分) )的计算 设积分曲面由单值函数 Z = z X, y确定，曲面在坐标面 xoy上的投影为 Dxy，函数 z =z x, y在Dxy具有连续偏导数(即曲面 二是光滑曲面)按照对面积的曲面积分的定义 有 n ! f x,y,z dS =lim f i, i, i -Si 0 i 4 设对曲面匕的第i块.迁i在坐标面xoy上的投影为.h i，则.-：Si可以表示为下面的

5、二 重积分： 1 fx x,y,z fy2 x, y, z dxdy 有二重积分的中值定理有 S = J+ziGis)+zyGi,Ui 近 i 其中i, i, i是小曲面ASi上的任意一点， i, i为* i内任意一点，所以 n _ ” f (x, y,zds = lim 送 f (冷i,匚i 片1 + 乖,%勺)+ WG ,Hi,匚i 的 i m 注意到i = z i, i，从而得到二重积分的计算公式 jjf (x, y, z dS = U f (x, y, z(x, y )阳 1 +z：(x, y )+z：(x, y Jdxdy 龙 Dxy 这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面 三的方程

6、是Z二zx, y，曲面的面积元素 为dS = 1 + z； + z： dxdy，曲面在坐标面 XOY上的投影是Dxy,于是对面积的曲面积分 就化为二重积分了.将这个过程简单归纳如下： 1) 用x,y的函数z二z x, y代替z ； 2) 用 J1 +z； +z：dxdy 换dS ； 3) 将曲面投影到坐标面XOY上得到投影Dxy 精品文档 精品文档 简单地说就是“一代二换三投影” x2 y2 二a2的顶部. 图 1313- -1616 曲面匕的方程为z = .a2 -x2 -y2 ,它在坐标面xoy上的投影为圆形的闭区域: 2 2 2 2 x y _a -h . 所以 膺=Dmlfdxdy 利

7、用极坐标计算上面的积分，得到 例 13.1613.16 计算曲面积分 dS Z z ，其中曲面匕是由平面 z = h 0 ： h ： a 解: + z2 + z2 x y ff I dS z Dxy ardrd 2 2 a -r 2 2 a -r 1,2 2 =2- a In a - r IL 2 、 精品文档 精品文档 例 13.1713.17 计算曲面积分 2，其中曲面1是由平面x y z =1以及三个 匕 1 x y 2 坐标面所围成的四面体的表面. 精品文档 精品文档 解：如上图，曲面 三由曲面3行2匸3匸4组成，其中 二2匸3行4分别是平面 x y z=1 , x=0, y=0, z

8、 二 0 上的部分. dy 2 (1 + x + y ) 所以 dS 1、 f 1 ) ff - =(1Tn 2 )+(1 In2)+ In 2一 +J3 In 2 - i 2(1+x + yf _ i 2丿 i 2丿 =+伍_1)n2 2 习题 13.413.4 1. 计算n(x y z)dS.其中匕为上半球面z = a2 - x2 - y2. 2. 计算I ： ii|xyz|dS.其中匕为曲面 x2 y2介于二平面z=0,z=1之间的部分. y 3. 计算.(x2 y2)dS.其中3是锥面z =x2 y2及平面z=1所围成的区域的整个边 界曲面. 1 4. 求抛物面壳Z=2(X2，y2)(

9、0-Z-1)的质量，此壳的面密度的大小为二Z.if A a Z2 dS 1 x y dy 2 1 y = 1-1 n2; ff dS 1 x y dx = 1-1 n2; dS dS 2 (1 + x + y ) =Aln2j 1 1J 0dZ0 1 1丄 精品文档 精品文档 2 2 2 求面密度为0的均匀半球壳x y - z 参考答案 第五节 对坐标的曲面积分 一对坐标的曲面积分的概念和性质 为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明. 1. 曲面的侧 在曲面匕上的任意一点P处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向 n, 当点P在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量 n也随着

10、连续变动，这种连续变动又回 到P时，法线向量n总是不改变方向，则称曲面 匕是双侧的，否则，称曲面是单侧的如 著名的 Mobius 带就是单侧曲面. 今后我们只讨论曲面是双侧的 .例如曲面z = z x, y，如果z轴的正方向是竖直向上的， 则有上侧和下侧.又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分. 我们可以通过曲面上的法向量的 指定来确定曲面的侧. 例如对于曲面z二z x, y ,若取定的法向量n是朝上的，那么实际上 就是取定曲面为上侧； 对于封闭曲面，若取定的法向量n是由内指向外的，则取定的曲面是 外侧选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面. 2 二a (z_0)对于z轴的转动惯量. 6. 1 计算 2

11、dS .其中为四面体 (1 x y) x，y，z_1, x_0, y_0 及 z_0 的边界 5. 1. 2. 1255 -1 420 3. ,2 1 - Tl 2 4. 5. 2 (6 3 1) 15 4 1: a4 3 a 6. 于门册于门册2. 精品文档 精品文档 2. 流向曲面一侧的流量 设稳定的不可压缩的液体以速度 v 二P X,y,zi Q x,y,z j Rx,y,z k 流向有向曲面 3,求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量.其中函数 P x, y,z ,Q x, y,z , R x, y, z都是曲面匕上的连续函数. 如果流体流过平面上的一个面积为 A 的闭区域，且流体在闭

12、区域上各点处的流速为常向 i 量v,又设n是该平面上的单位法向量， 那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个 底面积为 A，斜高为|v|的斜柱体，其体积即流量为 I- I V = Av cos - Av n 这就是通过闭区域 A 流向n所指的一侧的流量. 1 Dxy 二 xy 11 -x2 - y2 dxdy xy 所以精品文档 精品文档 11 xyzdxdy = 2 11 xy . 1 一 x2 一 y2 dxdy D xy =2 11 r sin :r cos J J - r2 rdrd : xy H 1 _ =2 o2sin 2% r 1 -r2dr _2_ _15 习题 13.51

13、3.5 1. 计算iixz2dydz.其中匕是上半球面 z= R X2 y2的上侧. X 2 2 2. 计算iizdxdy xdydz ydzdx其中三为柱面x - y = 1被平面z=0及z = 3所截部 分的外侧 3. 计算I I(V z)(x y)2dxdy.其中匕为半球面x2 y2 z2 = 1 (y 一 0)朝y轴正向的一 侧. 2 2 2 4. 求矢量场F =xyi yzj xzk穿过在第一卦限中的球面 x y z =1外侧的通量. 5. 计算.i .ix2y2zdxdy.其中匕是球面x2 y2 z2二R2的下半部分的下侧. 参考答案 4 n 15 3 TL 16 空R7 105

14、第六节两类曲面积分之间的联系 设有向曲面 二有方程z=zx,y给出，二在坐标面xoy上地投影区域为 Dxy，函数 z = z x, y在区域Dxy上具有连续的一阶偏导数， R x, y, z是曲面二上的连续函数。如果 曲面二取上侧，则由对坐标的曲线积分的计算公式，有1. 2. -R5 15 3. 4. 5. 精品文档 精品文档 ! ! R x, y,z dxdy ： i i R x, y, z x, y dxdy , 工 Dxy 另一方面，上侧曲面 1 的方向余弦为 故由对面积的曲面积分地计算公式，有 ! R x,y,z cos dS R x, y, z x, y dxdy 工 Dxy 由此可

15、见， 11 R x, y,z cos dS 11 R x,y,z dxdy. (13-6-1) Y Y 如果取曲面 Z 的下侧，则有 R x, y, z cos dS = R x, y,z x, y dxdy , 工 Dxy 注意此时 COSY = 一1 ，因此(13-6-1)式仍然成立. I x2 y2 类似地，可以得到 II P x, y,z cos： dS I I P x, y, z dxdy. (13-6-2) y x I IQ x, y,z cos dS = Q x, y, zdxdy . (13-6-3) 合并上面的(13-6-1), (13-6-2)和(13-6-3)，得到 11

16、 Pdydz Qdzdx Rdxdy 二 Pcost 11 Qcos ： Rcos dS . 其中cos，cos ： ,cos 是有向曲面 匕上点x, y, z处的方向余弦. 这两类曲面积分的联系可以用下面的向量形式表示： 11 v ndS 11 v d S - * _ 其中v=P,Q,R, n= cos，cos ： ,cos 为有向曲面 3 上点x, y, z处的法向量. d S = ndS =dydz,dzdx, dxdy称为有向曲面元素 COS 2 如如 1 x y ；COS = 1 1 x2 y2 -zy 精品文档 精品文档 例 13.20 13.20 计算曲面积分 niz2 x dy

17、dz -zdxdy ,其中二是旋转抛物面 y精品文档 精品文档 1 2 2 “2x 7介于平面-0与-2之间的部分的外侧 图 1313- -1818 解：曲面上点x,y,z处的法线向量的方向余弦为 x y -1 - ，cos ， cos 1 x2 y2 1 x2 y2 1 x2 y2 所以由两类曲面积分之间的联系，可以得到 IIZ2 xdydz-zdxdy 二 z2 x - x -zdxdy . 曲面匕在坐标面xoy上的投影区域为 Dxy =x2 y2 _4.所以 ! z2 x -x - zdxdy y =Tj(x2 +y2 2 +xx)1(x2 +y2dxdy D xy _ 二x2 Dxy 11 P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy y 化为对面积的曲面积分 .其中匕是抛物面z=8 -（x2 y