2019-2020学年福建省三明市高三(上)期末数学试卷(理科)

1、第1页（共 20 页）2019-2020学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷（理科）12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的21. (5 分)设集合 A x|x 4x 30 , B x|2x 30，则 A|B ()A . ( 3, |)B. (3,3)3c.(1,2)3D. (- , 3)22i2. （ 5 分）设 i 是虚数单位，则复数2i1 i.在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B .第二象限C.第三象限D.第四象限C. 2几何体的体积是（）! :i : J1_J-LULXrTL_.-氐TiT1ri!A .ITi!1:4B.8C.

2、 4D. 8335. （5 分）函数 y3si n(2x1 图象的一条对称轴方程是( )A .x B.x-C. x -D. x -126326.（5 分）已知向量 a , b 满足 1rra| 1 , |b|近,|油 b |JB，贝 y a, b 的夹角为（A .-B .-C.2D. 3-4334、选择题：本大题共3. （ 5 分）已知函数 f（x）x21,x, 0，则x 2,x01f (log2-)的值为(4. （ 5 分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该第2页（共 20 页）7. ( 5 分)若在如图所示的程序框图中输入n 3，则输出的 i 的值是（)

3、第3页（共 20 页）不等式 f(3 x2)f(12x）-0 的解集为（）c.& (5 分)F列函数中,同时满足条件奇函数;值域为R;图象经过第四象限”的xB . yeC.9. ( 5 分) 已知数列 an满足 an 1a 2 ,且 a?。a1ag的值为（C.10210 . （5 分）已知抛物线 y 4x 的焦点为F,过F的直线与抛物线交于A,B,点M在线段AB上，点 C 在 0M 的延长线上，且|MC| 2|OM | .则 ABC 面积的最小值为C. 8D . 1011 . （5 分）已知函数 f（x）是定义在R上的增函数，且其图象关于点（2,0）对称，则关于 x 的A. 4 ,)B

4、 . 4 , 2C . 2 , 4D. (, 212 .（5 分）已知三棱锥 A BCD 外接球的表面积为 8 , AB ACBD CD , BC 2AD ,第4页（共 20 页）第5页（共 20 页）直线AD与平面 BCD 所成角为，则AB等于（）3A . 1B . 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.313._（ 5 分）曲线 y x 2x 在点（1, 1）处的切线方程是 _.x y 2, 014._（5分）已知实数x,y满足约束条件 x y 4, 0 ,则 z 3x y 的最大值为_x015.（5 分）已知直线 I 过原点且倾斜角为，其中（才，

5、/，若 P（x,y）在 I 上，且满足条2 2件 3x 3y 10 xy（xy 0），则 cos 的值等于 _.16. （5 分）已知F是双曲线 C 的一个焦点，P是 C 上的点，线段PF交以 C 的实轴为直径的圆于A,B两点，且A,B是线段PF的三等分点，贝 U C 的离心率为 _ .三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分.|17.（12 分）在各项均为正数的等比数列 a.中，已知 a2 , 8a22a.（1）求数列an的通项公式；（2） 设

6、 bna 2n，求数列bn的前n项和 Tn.118. （12 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，AB/CD , AB BC AD -CD 2 ,P为 CD2中点，将ADP沿AP折到 ASP 的位置，连结 SB , SC,如图 2.副02（1）求证：SB AP ;1第 4 页(共 20 页)（2） 若 SB 6，求平面 SAP 与平面 SBC 所成锐二面角的大小.19. （12 分）某公司设计的太阳能面板构件的剖面图为三角形，设顶点为A,B, C ,已知AB 2AC，且 BC 4 （单位：m）.第7页（共 20 页）(1 )若 cosC ,求 ABC 的周长；4(2)根据某客户需求，ABC

7、的面积至少为 6m2请问该公司设计的太阳能面板构件能否满足该客户需求？说明理由.2 220. (12 分)已知M是圆 O:x y 4 上的动点，设LOT 1 uiurHN 丄 HM , N 的轨迹为E.2(1 )求 E 的方程;xOy 中，以 O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已x h知直线 I 的参数方程为2(t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos 3 .y 弓(1 )求 C 的直角坐标方程;(2)求 I 被 C 截得的线段长.选修 4-5:不等式选讲M在x轴上的射影为H，动点 N 满足(2)圆 O 及曲线E与y轴的四个交点，自上而下记为A，B，C，D，直线AM，DM与x

8、轴分别交于P，Q，直线BP与E的另一个交点为T,求证：C , Q ,T三点共线.21 ( 12 分)9已知函数 f(x) x xlnx 2k 2, k(1)证明:(2)若存在1f (x)在区间(-，)上单调递增；21a,b(r,)，使得 f(x)与 g(x) kx 在a, b的值域相同，求实数 k 的取值范围.(二)选考题：本题满分10分请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.选修 4-4:坐标系与参数方程22. (10 分)在平面直角坐标系23.已知正数x2 2,y, z 满足 x yz24 .(1)证明:y,22 ;(2)若-x2，求 z 的最大值.1第

9、 4 页(共 20 页)2019-2020学年福建省三明市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的B x|2x 3 0(| ,A| B (| , 3),故选：D.I解答】解：由总诜代1 i，故选：A.C. 211f (log 2 / f( 1) 2故选：B.几何体的体积是（）、选择题：本大题共1. （ 5 分）设集合 Ax|x24x 30 , Bx|2x 30，则 A|A . ( 3,-)23，|)3C.(1,)2D. (- , 3)2【解答】解：Q 集合 Ax|x4x0 (1,3),2. （ 5

10、 分）设 i 是虚数单位，则复数2i1 i在复平面内所对应的点位于A 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限则复数在复平面内所对应的点的坐标为:1 i（1,1），位于第一象限3. （ 5 分）已知函数f(x)21,x, 0，则2,x01f (lOg2-)的值为(【解答】解：因为1lOg2-4. （ 5 分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该第9页（共 20 页）：I：i：II |= r r =T= = ! ! ! ! !Xl i 1!1卜斗斗+C. 4【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为，底面为直角三角形的三棱柱体.如图所示:2故选：C .5.

11、 （ 5 分）函数y 3si n(2x6）1 图象的一条对称轴方程是（C.x3【解答】解：由 2x当 k 0 是，x3故函数 y 3sin(2x6）1 图象的一条对称轴方程是故选：C .6. （ 5 分）已知向量b 满足 |a| 1 , |b|冨 b| 5，则 a , b 的夹角为（）2C. 一3【解答】解：由 iai i,|b|2 , |3a b|第10页（共 20 页）r r r r r r所以(3a b)29a26ag b29 16 12 cos 2 5,化简得 6 2 cos 6 ,解得 cosi0，n 3，3 是奇数，n 8，i 1 ； n 1，8 是偶数，n 4 , i 2 ； n

12、 1，4 是偶数，n 2，i 3 ；n 1，2 是偶数，n 1，i 4 ；又 0 ,，所以34，所以 a,b 的夹角为n 3，则输出的i 的值是（C. 5故选：D.第11页（共 20 页）故不合题意;故选：C .a2n 1,a21ai故选:2已知抛物线 y4x 的焦点为F,过F的直线与抛物线交于A,B，点M在线段AB上，点 C 在 OM 的延长线上，且|MC| 2|OM | .则 ABC 面积的最小值为（）D. 10【解答】解：方法一：由题意可知|MC | 2|OM |，所以 SABC2SOAB,求 ABC 面积的最小值即求 OAB 面积的最小值,n 1，输出 i 4 .故选：B.&

13、（5 分）下列函数中，同时满足条件“ 奇函数；值域为R;图象经过第四象限”的A. yxx【解答】解: 对于对于B, 明显 y对于 C , 函数 y1x限，故符合题意;XeA，由双勾函数的性质可知，其图象不经过第四象限,xe 为偶函数，故不合题意;1在定义域上为奇函数，其单调递增，其值域为x故不合题意;R，图象经过第四象对于D，当 x 0 时，ex1 , 0ex1 ,故此时 exex0 ,即函数图象不经过第四象限,9. （ 5 分）已知数列a.满足1a 2，且a205，则印 ag的值为（C.D.10【解答】解：Qan 1an2,a.an 12(n2),an 1an 10(n2)，又 a20ai又

14、 a20a21比02,10. (5 分)C. 8第12页（共 20 页）2 2设直线AB的倾斜角为，则SOABP-,2s in 2第 9 页(共 20 页)所以 SABCP 4 ,当且仅当 sin 1，即 时，取最小值为 4,2方法二：由抛物线y24x，焦点 F(1,0),当直线斜率不存在时，不妨设A为第一象限的点，可得A(1,2)， B(1, 2)，1则M点为(1,0)，所以 C(3,0)，所以 SABC- 4 24，2当直线的斜率存在时，设直线方程为y k(x 1)(k 0)，所以 SOAB2 ,由(1)可知 SABC2S所以 SABC4 ,综上可知：ABC 面积的最小值 4,故选：A.则

15、 xx，yk(x2y4xyj,B(X2,2 k24y?),设 A(x ,k2，1)，得2(2 k 4)x所以|AB|为x2pO 到直线AB的距离 d4(k2|k|厂 k21)2SOAB2 |AB| dkk2，1211. (5 分)已知函数 f(x)是定义在R上的增函数，且其图象关于点(2,0)对称，贝 U 关于x的不等式 f(3 x )f(1 2x)-0 的解集为()A . 4 ,)B. 4 , 2C. 2 , 4D. (, 2【解答】解：Q f(x)的图象关于点(2,0)对称，g(x) f(x 2)关于原点对称，即 g(x)为奇函数，且在R上单调递增，由 f(3 x ) f (1 2x)-0

16、 可得 g(5 x )g(3 2x)-0 ,2g(5 x )-g(3 2x) g(2x 3),25 x 2x 3 解得4剟x 2. 故选：B.12. (5 分)已知三棱锥 A BCD 外接球的表面积为 8 , AB AC BD CD , BC 2AD ,直线AD与平面 BCD 所成角为，则AB等于()3A . 1B . 2C. 3【解答】 解：取 BC 的中点 O , Q AB AC BD CDAO BC , DO BC , AO DO ,Q直线AD与底面 BCD 所成角为-，ADO3.AO DO AD ,Q BC 2AD ,AO BO CO DO，即 O 为三棱锥外接球的球心，第 10 页(

17、共 20 页)Q 三棱锥外接球的表面积为4 R 8 , R 2 .第15页（共 20 页）AB . （ 2）2（ 2）22 ,故选：B.4 小题，每小题 5 分，共 20 分.313.（ 5 分）曲线 y x 2x 在点（1, 1）处的切线方程是x y 20【解答】解：y 2 3x2y lx i1而切点的坐标为（1, 1）3曲线 y x 2x 在 x 1 的处的切线方程为 x y 2 0故答案为：x y 20 x y 2, 0 x y 4, 0 ,则 z 3x y 的最大值为 x0【解答】 解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影所示;平移目标函数 z 3x y 知，当目标函数过点B时，z 取

18、得最大值;y 20，求得 B(3,1)；y 4 0所以 z 的最大值为 zmax3 3 1 10 .故答案为：10.14. （5 分）已知实数x,y满足约束条件10、填空题：本大题共第16页（共 20 页）件 3x2，其中（亍？），若p（x,y）在I上，且满足条3y210 xy（xy 0），则 cos 的值等于_ .10 【解答】解：由 直线 I 过原点且倾斜角为，其中（小），tan ,3x223y 10 xy(xy 0)得到:yXy21 (込x-，则10tan1 tan2即自厶1 tan解得 tan3 或 tan(4,2)，tansin联立cos2sin解得 cos故答案为:2cos10 .

19、1016.( 5 分)已知F是双曲线C 的一个焦点,P是 C 上的点，线段PF交以 C 的实轴为直径B是线段PF的三等分点，贝 U C 的离心率为-7【解答】解：如图：OFc , OAa , PF3AB ,设 OMm , MF OMa , 3 a22mc22m可得：2 2 29a c 8m , a2c22a c22m22m ,消去m可得：5c25a26、2a c22a,的圆于A,B两点，且A,；l2 2,-c m m a,5M是PF的中点，也是AB的中点,第17页（共 20 页）6)2三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生

20、都必须作答 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题:共 60 分.|即 5b26 2ab，即 5b 6.2a , 25(c2a2) 72a2,25c297a2，解得 e225，所以 e975故答案为：_97因为所以解得4，又因为q 0 ,所以 q因为2，所以务n2 , nN(2 )由(1)知 bn2n2n .则 Tn(222) (24) (21 2(22n)(22n2 )(2462n)2(2n1)n(2n 2)1n26)217. （12 分）在各项均为正数的等比数列an中，已知 a 2, 8a22a.（1 ）求数列an的通项公式；（2）设 bna 2n，求数列bn的前n项和

21、人.【解答】解：（1）设an的公比为q, q 0,358a22a4a6，所以 8&q 2ag ag ,第 13 页（共 20 页）第20页(共 20 页)所以数列bn的前 n 项和为 Tn2n 1n2n 2 .118.(12 分)如图 1，在四边形 ABCD 中，AB/CD , AB BC AD CD 2 ,P为 CD 2中点，将ADP沿AP折到 ASP 的位置，连结 SB, SC ,如图 2.1 02(1) 求证：SB AP ;(2)若 SB6，求平面 SAP 与平面 SBC 所成锐二面角的大小.【解答】 解：(1)证明：取AP中点 0,连结 SO , BO ,1Q 在四边形 ABC

22、D 中，AB/CD , AB BC AD CD 2 ,2P为 CD 中点，将ADP沿AP折到 ASP 的位置，连结 SB , SC ,ABP, APS 都是边长为 2 的等边三角形，SO AP , BO AP ,QSO|BO O ,AP平面 SBO ,Q SB 平面 SBO, SB AP .(2)解：Q ABP, APS 都是边长为 2 的等边三角形，SO BO 3, Q SB 6 ,SO2BO2SB2,SO BO ,以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为y轴，OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系,平面 SAP 的法向量用(0 , 1, 0),S(0 , 0,3) ,B(0 ,3 , 0)

23、 , C( 2 ,3 , 0),nr-urn-SB (0 ,3 ,.3) , SC ( 2 ,3 ,.3),设平面 SBC 的法向量 n (x ,y, z),则 nuUU屁3空,取 y 1,得 n(0, 1, 1),ngSC 2x 3x 3z 0设平面 SAP 与平面 SBC 所成锐二面角为，.r r.:第21页(共 20 页)则|mgi|1 雄则 cos r r-45 ,| m |g n |返219. (12 分)某公司设计的太阳能面板构件的剖面图为三角形，设顶点为A,B, C ,已知AB 2AC，且 BC 4 (单位：m).1(1 )若 cosC ,求 ABC 的周长；4(2)根据某客户需

24、求，ABC 的面积至少为 6m2请问该公司设计的太阳能面板构件能否满足该客户需求？说明理由.【解答】解：(1)由题意可知：c 2b , a 4,厂a2b2c216 b24b21cosC -2ab8b423b 2b 160,解得：b 2, c 4 ,ABC 的周长为 10;(2)以 BC 所在的直线为x轴，线段 BC 的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示：，则 B( 2,0) , C(2,0)，设点 A(x,y),Q AB 2 AC ,(x 2)2y22 (x 2)2y2,化简得：(x 10)2y2詈 (y 0),108点A的轨迹是以点 P( , 0)为圆心，半径为-的圆，去掉与x轴的两个交

25、点，33要使 SABC最大，则 BC 边上的高取最大值8,ABC3所以 ABC 面积的最大值为：148 166 ,233故该公司设计的太阳能面板构件不能满足该客户需求.第 16 页（共 20 页）LOT1 uiurHN HM , N 的轨迹为E. 2(1 )求E的方程；x轴分别交于P, Q，直线BP与E的另一个交点为T,求证:【解答】解：（1）设 N（x,y） , M （Xo, y），则 H （人,0）,uiur 1 uuuu Q HNHM , 22 2Q M是圆 O:x y 4 上的动点,2x24y24，即y21,42E的方程为一y21；41)知,A(0,2) , B(0,1) , C(0,

26、 1) , D(0, 2),4 上的动点，设M在x轴上的射影为H，动点 N 满足（2）圆 0 及曲线E与y轴的四个交点，自上而下记为A,B, C ,D，直线AM,DM与C , Q ,T三点共线.xxoxyox2y，（2）证明：由已知及（uuuuiur设 P(x , 0) , QX, 0)，则 AP (x2),DQ2 220. (12 分)已知 M 是圆 O:x y第 16 页（共 20 页）Q AD是圆 0 的直径，点M在圆上，uuu uiurAP DQ，即 APgDQX1X240 , 即卩XtX24 ,直线BP的方程为 y1x 1 ,X1与椭圆EX212方程联立可得（丄 1）21 ,整理得4

27、石2为 422(,2)xx 0(*),4x1x1区,2),因为a,b(寸)，所以函数 f(x)在a , b上单调递增.第24页(共 20 页)2Xxlnx 2k 2, k R .值范围.【解答】解：(1)因为 f (X) x2xlnx 2k 2，所以 f (x) 2XInx 1 ,1令 t(x) 2Xlnx 1，则 t (X)2X1当X(一，)时，t (X) 0 恒成立，t(x)单调递增，211所以 t(x) t( ) In2 0,即 f (x) 0 在(丄，)上恒成立,2221(2 )由(1)知，f(x)在(1,)上单调递增.设 T(X3, y3)，由方程(*)解得X32XiyaXi1 24

28、Xi24 2 ,即8xiXi4即T (2-，2-)，Xi4 xi4uuuCT2(8 Xi2xi)(_2，2)，Xi4 Xi4uuu 又CQ4戸.(X2,1) (,1)，则uurCT22XI-2Xiuuu-CQ4uuruuu，故 CT /CQ ,(i)证明:(2)若存在1f (X)在区间21a,b(真，:)上单调递增;)，使得 f (X)与 g(x) kx 在a,b的值域相同，求实数k 的取Q ,T三点共线.C ,2i. (i2 分)已知函数 f(x)第25页(共 20 页)当 k 0 时,g(x)0 ,所以不存在区间1a, b (，)使得 f(x)与 g(x)在a , b上的 Je值域相同.当

29、 k 0 时,若存在区间a,b1(e，)使得 f(x)与 g(x)在a, b上的值域相同,则f(a) a2f(b) b2alna 2kblnb 2k2 kb2 ka因为 f (a)1 1 f()-2 2k0，而 kb 0,所以 k 0 不符合题意.当 k 0 时,若存在区间a,b1(e)使得 f(x)与 g(x)在a , b上的值域相同.al nablnb2k 2 ka2k 2 kb即关于x的方程xl nx 2k1kx 在区间(r,)上存在两个不相等的实数根,e于是有 k(x 2)xlnx因为 x1(.e)，所以 x0 ,所以上式可变形为kx2xlnx 2 x 2 令h(x)x2xlnx 2，则 h (x)2x 3x 4 2lnx2， (x 2)2再令 F2(x) x3x4 2lnx，贝 U F (x)(2x 1)(x2),1因为 x ( i,)上单调递增,因为 h()时，F(x)F (1)0 ,所以 h(x) 0 ,1)时，F(x)F (1)0，所以 h (x)0 ,h (1)1,4e e2 .102 10ln10所以 FF(x)在),(x)0 ,12h(x)单调递增;h(x)单调递减;(i)当 x (1,所以 h(x)min1(ii)当 x