2018版高中数学苏教版必修五学案：3.4.1基本不等式的证明

1、34基本不等式阿 w 常3 . 4.1 基本不等式的证明【学习目标】1理解基本不等式的内容及证明2 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3能初步运用基本不等式证明简单的不等式.f问题导学知识点一算术平均数与几何平均数思考 如图，AB 是圆 0 的直径，点 Q 是 AB 上任一点，AQ = a,AB 于 Q,连结 AP, PB.如何用 a, b 表示 PO, PQ 的长度?IL| APTERT1IE THIRD第 3 章不等式BQ = b，过点 Q 作 PQ 垂直n_ a+ b梳理abw-(ao, b0).当对正数 a, b 赋予不同的值时，可得以下推论：2 2a + b2a + b(1)

2、 abw()w(a,bR);(2) - +2(a, b 同号);a bb ab a当 ab0 时，舌+孑 2;当 ab ab+ bc+ ca(a, b, c R).题型探究类型一常见推论的证明例 1 证明不等式 a2+ b2 2ab(a, b R).引申探究2 2a + b2a + b 证明不等式()乂厂(a, b R).平均数,均数两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，即a + bW厂.其几何意义如图中的PO PQ.知识点二基本不等式及其常见推论_ a + b思考 如何证明不等式.ab0, b0)?反思与感悟(1)本例证明的不等式成立的条件是a, b R，与基本不等式不同.(2)本例使

3、用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法.跟踪训练 1 已知 a, b, c 为任意的实数，求证：a2+ b2+ c2ab+ be + ca.类型二用基本不等式证明不等式例 2 已知 x, y 都是正数.求证：(1)+X 2;x y2,23,33 3(2)(x+ y)(x + y )(x + y ) 8xy .反思与感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1) 策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”(2) 注意事项：多次使用基本不等式时， 要注意等号能否成立； 累加法是不

4、等式证明中的一种常用方法, 证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式 模型，再使用.跟踪训练 2 已知 a， b，c 都是正实数，求证：(a + b)(b + c) (-c+ a)8abc.类型三用基本不等式比大小例 3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x（a, b，x 均大于零），则 x 与号的大小关系是 _ .a+ b _反思与感悟基本不等式一厂 ,ab 一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.跟踪训练 3 设 a b 1, P = lg a Ig

5、b, Q=lg a；b,R= lga+，贝 U P, Q, R 的大小关系是 _.x1._ 若对任意 x0,x2+3x+三a 恒成立，则 a 的取值范围为 _2.若 0a0, b0，给出下列不等式：(a+b)a+1其中恒成立的是_.（填序号）p-规律与方法-1.两个不等式 a2+ b22ab与导 .ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取a+ b _a+ b = ”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当 a = b 时，一 , ab;另一方面：当?=,ab 时，也有 a = b.2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、 式合理地拆成两项或多项或恒等式变形配 凑成适当的数、式，以便

6、于利用基本不等式.当堂训练 a2+ 1a :4; a2+ 96a.0,答案精析问题导学知识点一 思考 PO = AB =号.易证 Rt APQs Rt PBQ，那么 PQ2= AQ QB , 即 PQ = ab.梳理 算术几何知识点二 思考Ta+ b 2 ab = ( a)2+ (*jb)2- 2 . a b =(a 飞；b)?0,当且仅当 a = b 时，等号成立， a + b 2 ab,当且仅当 a= b 时，等号成立.题型探究例 1 证明/ a2+ b2 2ab= (a b)2 0, a2+ b2 2ab.引申探究证明 由例 1，得 a2+ b22ab, 2(a2+ b2) a2+ b2

7、+ 2ab,a+ b2a + b两边同除以 4，即得(工)2w，当且仅当 a= b 时，取等号 跟踪训练 1 证明 / a2+ b22ab; b2+ c22bc;c2+ a22ca,2 2 2- 2(a + b + c ) 2(ab+ bc+ ca),即 a?+ b?+ c?ab+ bc+ ca,当且仅当 a= b= c 时，等号成立.例 2 证明/ x, y 都是正数,xy+x2化2,x y , x y即y+X2,x y当且仅当 x= y 时，等号成立./ x, y 都是正数， x+ y 2. xy0,x2+ y22 Jx2y20, x3+ y32 X3y30.(X+ y)(x2+ y2)(

8、x3+ y3) 2.xy2.曲2 . x3y3= 8x3y3,即(x+ y)(x2+ y2)(x3+ y3) 8x3y3,当且仅当 x= y 时，等号成立.跟踪训练 2 已知 a, b, c 都是正实数，求证：(a + b)(b + c) (c+ a)8abc.证明/ a, b, c 都是正实数，a + b 2 ab0, b+ c 2 bc0 , c+ a 2 ca0.(a+ b)(b+ c)(c+ a) 2 ab 2 bc 2 ca = 8abc.即(a+ b)(b+ c)(c+ a) 8abc,当且仅当 a= b= c 时，等号成立.例 3a+ bxW2解析第二年的产量为 A+ A a= A(1 + a),第三年产量为 A(1 + a)+ A(1 + a) b = A(1 + a)(1 + b).若平均增长率为 x,则第三年产量为A(1 + x)2.依题意有 A(1 + x)2= A(1 + a)(1 + b),/ a0, b0, x0,(1 + x)2= (1 + a)(1 + b)b