构造等腰三角形解题的常见途径

1、构造等腰三角形解题的常见途径等腰三角形是研究几何图形的基础，因此在许多几何问题中，常常需要构造等腰三角形才能使问题获解，那么如何构造等腰三角形呢？一般说来有以下几种途径：一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形如图1中，若AD平分BAC，ADEC，则ACE是等腰三角形；如图1中，AD平分BAC，DEAC，则ADE是等腰三角形；如图1中，AD平分BAC，CEAB，则ACE是等腰三角形；如图1中，AD平分BAC，EFAD，则AGE是等腰三角形图1ADCBEECBDABACDEABFCDEG例1如图2，ABC中，ABAC，在AC上取点P

2、，过点P作EFBC，交BA的延长线于点E，垂足为点F求证：AEAP图4FCDEBAM简析要证AEAP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到ABAC，则可以作AD平分BAC，所以ADBC，而EFBC，所以ADEF，所以可得到AEP是等腰三角形，故AEAPCABEDO图3图2FBACDPE例2如图3，在ABC中，BAC、BCA的平分线相交于点O，过点O作DEAC，分别交AB、BC于点D、E试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的猜想理由简析猜想：AD+CEDE理由如下：由于OA、OC分别是BAC、BCA的平分线，DEAC，所以ADO和CEO均是等腰三角形，则DODA，ECEO，故AD+C

3、EDE例3如图4，ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上，且DECD，EFAC求证：EFAB简析由于这里要证明的是EFAB，而AD平分BAC，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DECD的提示下，相当于倍长中线，即延长AD至M，使DMAD，连结EM，则可证得MDEADC，所以MEAC，又EFAC，MCAD，所以MEFM，即CADEFM，又因为AD平分BAC，所以BADEFDCAD，所以EFAB二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形如图5中，若AD平分BAC，ADDC，则AEC是等腰三角形E图5

4、ABCD图6BFDECA例4如图6，已知等腰RABC中，ABAC，BAC90°，BF平分ABC，CDBD交BF的延长线于D求证：BF2CD简析由BF平分ABC，CDBD，并在图5的揭示之下，延长线BA、CD交于点E，于是BCE是等腰三角形，并有EDCD，余下来的问题只需证明BFCE，而事实上，由BAC90°，CDBD，AFBDFC，得ABFDCF，而ABAC，所以ABFACE，则BFCE，故BF2CD三、利用转化倍角，构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形如图7中，若ABC2C，如果作BD平分ABC，则DBC是等腰三

5、角形；如图7中，若ABC2C，如果延长线CB到D，使BDBA，连结AD，则ADC是等腰三角形；如图7中，若B2ACB，如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作ACDACB，交BA的延长线于点D，则DBC是等腰三角形图7BCDABCDABCDAE图8CBAD例5如图8，在ABC中，ACB2B，BC2AC求证：A90°简析由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对ACB2B进行技术处理，即作CD平分ACB交AB于D，过D作DEBC于E，则由ACB2B知BBCD，即DBC是等腰三角形，而DEBC，所以BC2CE，又BC2AC，所以ACEC，所以易证得ACDECD，所以AD

6、EC90°说明本题也可以利用图7的、来构造等腰三角形求解手脑并用巧解题湖北毕保洪随着课程标准深入实施：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实验、自主探索与合作交流成为学习的重要方法”因此，以等腰三角形为背景的动手操作、动脑设计的手脑并用的中考题悄然兴起一、模拟画图例1 已知在如图1的ABC中，AB=AC，A=36°，仿照图1，请你再用两种不同的方法，将ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰三角形的内角度数）解：如图4、图5、图6、图7此题不仅培养同学们的动手能力，

7、而且考查同学们的发散思维能力二、手脑并用例2在平面内，分别用3根、5根、6根火柴，首尾依次相接可以搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示：问: （1）4根火柴能搭成三角形吗?（2）8根、12根火柴分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出图形解：（1）4根火柴不能搭成三角形因为1+1=2不满足三边关系（2）8根火柴能搭成等腰三角形，如图8；而12根能搭成等边三角形，如图9，或等腰三角形，如图10，或直角三角形，如图11此题动手操作性强而且有助于培养同学们探究学习的学习习惯三、动手剪裁例3在劳技课上老师请同学们在一张边长为16cm的正方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形至