二次函数中考大题总结及答案详解

1、、解答题（共 30 小题）1. （ 2012?凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y= - /+bx+c经过 A、B 两点，并与 x 轴交于另一点 C （点 C 点 A 的右侧），点 P 是抛物线上一动点.（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2） 若点 P 在第二象限内，过点 P 作 PD 丄轴于 D，交 AB 于点 E.当点 P 运动到什么位置时，线段 PE 最长？此 时 PE 等于多少？（3） 如果平行于 x 轴的动直线 I 与抛物线交于点 Q,与直线 AB 交于点 N，点 M 为 OA 的中点，那么是否存在这样 的直线

2、 I,使得 MON 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.A、B 两点，与 y 轴交于点 C,点 0 为坐标原点，点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形(1)求抛物线所对应的函数解析式;(2)求ABD 的面积;(3)OCEF 为矩形，且 0F=2 , EF=3,3. （2012?丽水）在直角坐标系中，点A 是抛物线 y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点 O 作 OB 丄 OA,交抛物线于点 B,以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC.（1）如图 1,当点 A 的横坐标为时，矩形 AOBC 是正方形；（2）如图 2,当点 A 的横坐

3、标为-丄时，11求点 B 的坐标；2将抛物线 y=/作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 y=- x2,试判断抛物线 y= - x2经过平移交换后，能否经过A, B, C 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由.4. （2012?乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m, m）,点 B 的坐标为（n,- n）,抛物线经过 A、0、B 三点，连接 OA、OB、AB，线段 AB 交 y 轴于点 C.已知实数 m、n（mvn）分别是方程 x2-2x-3=0 的两根.（1）求抛物线的解析式；（2） 若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、B 重合），直线 PC 与抛

4、物线交于 D、E 两点（点 D 在 y 轴右侧），连接 OD、BD.1当厶 OPC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；2求厶 BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标.3. （2012?丽水）在直角坐标系中，点A 是抛物线 y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点 O 作 OB 丄 OA,交抛物图甲图乙(备用图)5.(2012?兰州)若 X1、X2是关于一元二次方程ax2+bx+c (a0的两个根，则方程的两个根X1、X2和系数 a、b、c有如下关系：X1+x2=-上，X1?x2=.把它称为一元二次方程根与系数关系定理.如果设二次函数y=ax2+bx+c (a 工0的图象与 x 轴的两个交

5、点为 A (X1, 0), B (X2, 0).利用根与系数关系定理可以得到AB=|X1- X2|=. ，I ，.参考以上定理和结论，解答下列问题: 设二次函数 y=ax2+bx+c (a0)的图象与 x 轴的两个交点 A (X1, 0), B (X2, 0),抛物线的顶点为 C,显然 ABC(1) 当厶 ABC 为直角三角形时，求 b2- 4ac 的值;(2) 当厶 ABC 为等边三角形时，求 b2- 4ac 的值.6.(2012?兰州)如图，RtAABO 的两直角边OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、 B 两点的坐标分别为(-3, 0)、( 0, 4

6、),抛物线 y 毛 x2+bx+c 经过点 B，且顶点在直线上.(1) 求抛物线对应的函数关系式；(2) 若把 ABO 沿 x 轴向右平移得到 DCE，点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E,当四边形 ABCD 是菱形时， 试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；(3) 在(2)的条件下，连接 BD，已知对称轴上存在一点 P 使得 PBD 的周长最小，求出 P 点的坐标；(4)在(2)、( 3 )的条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点(点 M 与点O、B 不重合)，过点 M 作/ BD 交 x 轴于点 N,连接 PM、PN，设 OM 的长为 t, PMN 的面积为 S

7、,求 S 和 t 的函数关系式，为等腰三角形.4c并写出自变量 t 的取值范 围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M 点的坐标；若不存在，说明理由.图甲图乙(备用图)7.(2012?荆门)已知：y 关于 x 的函数 y= ( k- 1) x2- 2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点.(1) 求 k 的取值范围；(2)若 xi， x2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足(k- 1)xi2+2kx2+k+2=4xix2.求 k 的值；当 k$N+2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值.8 (2012?荆门)如图甲，四边形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、

8、y 轴的正半轴上，顶点在 B 点的抛物线交 x 轴 于点 A、D，交 y 轴于点 E,连接 AB、AE、BE .已知 tan / CBE=, A (3, 0) , D (- 1, 0) , E (0, 3).|3|(1)求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标；(2)求证：CB 是厶 ABE 外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点 P,使以 D、E、P 为顶点的三角形与 ABE 相似，若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由;(4) 设厶 AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度(0vtm0).分别过点 A，点 B 作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x2于点 C、 点 D .直

9、线OC 交直线 BD 于点 E，直线 OD 交直线 AC 于点 F，点 E、点 F 的纵坐标分别记为y, yF.特例探究填空：当 m=1,n=2 时，yE=_ , yF=_;当 m=3,n=5 时，yE=_ , yF=_.归纳证明对任意 m, n (nm0),猜想 yE与 yF的大小关系，并证明你的猜想.拓展应用(1)若将 抛物线 y=x2”改为 抛物线y=ax2(a 0) ”其他条件不变，请直接写出y与y的大小关系；(2) 连接 EF , AE.当 S四边形OFEA=3SAOFE时，直接写出 m 与 n 的关系及四边形 OFEA 的形状.备用图16.(2012?黄石)已知抛物线 Ci的函数解

10、析式为 y=ax2+bx- 3a (b 0,请证明 x+丄2并说明 x 为何值时才会有X+2=2 .K|x(3)若将抛物线先向上平移 4 个单位，再向左平移 1 个单位后得到抛物线 C2,设 A ( m, y1) , B ( n, y2)是 C2上 的两个不同点，且满足： / AOB=90 , m 0, n0)与 x 轴相交于点 B、C,与 y 轴相交IT于点 E,且点 B 在点 C 的左侧.(1) 若抛物线 C1过点 M (2, 2),求实数 m 的值；(2) 在(1)的条件下，求 BCE 的面积；(3)在(1)条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使 BH + EH 最小，并求出点 H 的坐

11、标；(4) 在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由.19.（2012?怀化）如图，抛物线 m： y=（ x+h）2+k 与 x 轴的交点为 A、B,与 y 轴的交点为 C,顶点为 M（ 3, ）,44将抛物线 m 绕点 B 旋转 180得到新的抛物线 n,它的顶点为 D;（1）求抛物线 n 的解析式；（2） 设抛物线 n 与 x 轴的另一个交点为 E，点 P 是线段 ED 上一个动点（P 不与 E、D 重合），过点 P 作 y 轴的垂 线，垂足为 F，连接 EF.如果 P 点的坐标为（x，y），

12、PEF 的面积为 S,求 S 与 x 的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围，并求出 S的最大值；（3） 设抛物线 m 的对称轴与 x 轴的交点为 G,以 G 为圆心，A、B 两点间的距离为直径作OG ,试判断直线 CM 与OG 的位置关系，并说明理由.20.（2012?湖州）如图 1,已知菱形 ABCD 的边长为2；，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在坐标原点.点 D 的坐标为 （-帀，3）,抛物线 y=ax2+b （a0经过 AB、CD 两边的中点.（1）求这条抛物线的函数解析式；（2） 将菱形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向匀速平移（如图 2），过点 B 作

13、 BE 丄 CD 于点 E，交抛 物线于点 F，连接 DF、AF .设菱形 ABCD 平移的时间为 t 秒（0vtV；）1是否存在这样的 t，使 ADF 与厶 DEF 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；2连接 FC,以点 F 为旋转中心，将FEC 按顺时针方向旋转 180 得厶 FEC,当厶 FEC 落在 x 轴与抛物线在 x 轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求 t 的取值范围.（写出答案即可）21.(2012?呼和浩特)如图，抛物线 y=ax2+bx+c ( av0)与双曲线 尸上相交于点 A, B,且抛物线经过坐标原点， 点 A 的坐标为(-2, 2)，点 B 在

14、第四象限内，过点 B 作直线 BC / x 轴，点 C 为直线 BC 与抛物线的另一交点，已 知直线 BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍，记抛物线顶点为 E.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算 ABC 与厶 ABE 的面积；(3) 在抛物线上是否存在点 D，使 ABD 的面积等于ABE 的面积的 8 倍？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.22.(2012?衡阳)如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形 ABCD 的顶点 A, D 在抛物线上，且 AD 平行x 轴，交 y 轴于点 F, AB 的中点 E 在 x 轴上，B 点的坐标为(2,

15、 1),点 P ( a, b)在抛物线上运动.(点 P 异于点 O)(1)求此抛物线的解析式.(2)过点 P 作 CB 所在直线的垂线，垂足为点R,1求证：PF=PR;2是否存在点 P,使得 PFR 为等边三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；3延长 PF 交抛物线于另一点 Q,过 Q 作 BC 所在直线的垂线，垂足为 S,试判断RSF 的形状.y2Q厂3FA23.(2012?黑龙江)如图，抛物线 y= - x2+bx+c 经过坐标原点，并与 x 轴交于点 A (2, 0).(1)求此抛物线的解析式；(2)写出顶点坐标及对称轴；(3)若抛物线上有一点 B，且 SOAB=8，求

16、点 B 的坐标.24.(2012?荷泽)牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10 元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查,得到如下数据：销售单价 x (元/件)20 30 40 5060每天销售量(y 件)50040030C200100(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？(利润=销售总价-成本总价)(3)荷泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35 元/件,那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该 工艺品每天获得的利润最大?25.(2012?荷泽)如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1), B (2, 0),

17、O ( 0, 0),将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90得到 ABO.(1) 一抛物线经过点 A、B、B,求该抛物线的解析式；(2)设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 P,使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由.26.(2012?可南)如图，在平面直角坐标系中， 直线 yx+1 与抛物线 y=ax2+bx- 3 交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上, 点 B 的纵坐标为 3.点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点(不与 A、B 点重合)，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C,作 PD 丄 AB

18、于点D .(1) 求 a、b 及 sin/ ACP 的值；(2) 设点 P 的横坐标为 m.用含有 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值;2连接 PB,线段 PC 把厶 PDB 分成两个三角形， 是否存在适合的m 的值，直接写出 m 的值，使这两个三角形的面积之比为 9: 10?若存在，直接写出 m 的值；若不存在，说明理由.(3)在(2)的条件下，试指出四边形在 550 之间每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位:元）有基础价和浮动价两部分组成， 其中基础价与薄板的大小无关， 是固定不变的.浮动价与薄板的边长成正比例.

19、营销过程中得到了表格中的数据.薄板的边长（cm）2030出厂价（元/张）5070（2）已知出厂一张边长为40cm 的薄板，获得的利润为 26 元（利润=出厂价-成本价） 求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式.当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？I* /j 3.C t） *参考公式：抛物线： y=ax2+bx+c （a 工0的顶点坐标为（- ；一，-）2a 4a28.（2012?杭州）当 k 分别取-1, 1, 2 时，函数 y= （ k- 1） x2- 4x+5 - k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明 理由；若有，请求出最大值.27. （2012?可北）某

20、工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位:cm)29.(2012?杭州)在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k (x2+x- 1)的图象交于点 A (1, k)和点 B (-1k).(1) 当 k= - 2 时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x的取值范围;(3)设二次函数的图象的顶点为0,当厶 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值.30.(2012?海南)如图，顶点为 P (4, - 4)的二次函数图象经过原点(0, 0),点 A 在该图象上，OA 交

21、其对称轴I 于点 M，点 M、N 关于点 P 对称，连接 AN、ON,(1) 求该二次函数的关系式；(2) 若点 A 在对称轴 I 右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：1证明：/ ANM= / ONM ;2 ANO 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A 的坐标；如果不能，请说明理由.,2).答案与评分标准一.解答题(共 30 小题)1. ( 2012?凉山州)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y= - /+bx+c经过 A、B 两点，并与 x 轴交于另一点 C (点 C 点 A 的右侧)，点 P 是抛物线上一动点.

22、(1) 求抛物线的解析式及点 C 的坐标；(2)若点 P 在第二象限内，过点 P 作 PD 丄轴于 D，交 AB 于点 E.当点 P 运动到什么位置时，线段 PE 最长？此 时 PE 等于多少？(3) 如果平行于 x 轴的动直线 I 与抛物线交于点 Q,与直线 AB 交于点 N，点 M 为 OA 的中点，那么是否存在这样的直线 I,使得 MON 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.二次函数综合题。(1 )首先求得 A、B 点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与的坐标；(2)关键是求出线段 PE 长度的表达式，设 D 点横坐标为 t,则可以将 P

23、E 表示为关于 t 的二次函数，利用 二次函数求极值的方法求出 PE 长度的最大值；(3)根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线 I 的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线 I 是否存在，并求出相应 Q 点的坐标注意 MON 是等腰三角形”，其中包含三种情况，需要逐一讨论，不能漏解.解：(1) 直线 y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，/ A (- 4, 0), B (0, 4)x 轴另一交点 C抛物线y= - x2+bx+c经过 A、B 两点，可得-16- 4b+cpQb=4抛物线解析式为 令 y=0，得-x2- 3x+4=0,y= x2-3x

24、+4 .,2).解得 Xi= 4, X2=1 , / C (1 , 0).(2) 如答图 1 所示，设 D (t, 0)./ OA=OB , / BAO=45； E (t, t), P (t, t2 3t+4).PE=yp yE= t2 3t+4 t= t2 4t= ( t+2)2+4,当 t= 2 时，线段 PE 的长度有最大值 4,此时 P ( 2, 6).(3) 存在.如答图 2 所示，过 N 点作 NH 丄 x 轴于点 H .设 OH=m ( m 0) , / OA=OB, / BAO =45 , NH=AH=4 m, yQ=4 m.又 M 为 OA 中点， MH=2 m. MON 为

25、等腰三角形: 若 MN=ON，贝 U H 为底边 OM 的中点,- m=1, yQ=4 m=3.3若 ON=OM=2 ,则在 RtANOH 中,根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2,即 22= (4 m)2+ m2, 化简得 m2- 4m+6=0 , / = 8v0 , 此时不存在这样的直线 I ,使得 MON 为等腰三角形.综上所述，存在这样的直线 I ,使得 MON 为等腰三角形.-3+V132,3）或（3-V132,3）或（347172,2 ）或（-3-Vn2所求 Q 点的坐标为（由-XQ2 3XQ+4=3 ,解得XQ=点 Q 坐标为（7 土应22,3）或（,3);若 MN=OM=2

26、,则在 RtAMNH 中,根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2,即 22= (4 m)2+ (2 m)2,化简得 m2-6m+8=0，解得：m1=2 , m2=4 (不合题意，舍去)2 yQ=2 , 由XQ-3XQ+4=2 , 解得XQ=- -点 Q 坐标为（,2)或(二, 2);考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：(1)在矩形 OCEF 中，已知 OF、EF 的长，先表示出 C、E 的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解 析式.(2)根据(1)的函数解析式求出 A、B、D 三点的坐标，以 AB 为底、D 点纵坐标的绝对值为高，可求出 ABD 的面积.(3 )首先根据旋转条件

27、求出G 点的坐标，然后将点 G 的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可.解答：解：(1) 四边形 OCEF 为矩形，OF=2, EF=3,点 C 的坐标为(0, 3),点 E 的坐标为(2, 3).把 x=0, y=3; x=2, y=3 分别代入 y= - x2+ bx+c 中，侍，,34+解得，,抛物线所对应的函数解析式为y= - x2+2x+3 ;(2)/y=- x2+2x+3= -( x- 1)2+4,抛物线的顶点坐标为 D (1, 4), ABD 中 AB 边的高为 4,令 y=0，得-x2+2x+3=0 ,解得 X1=- 1, X2=3 ,所以 AB=3 -( - 1) =4

28、, ABD 的面积=2 用4=8;a(3) AOC 绕点 C 逆时针旋转 90 CO 落在 CE 所在的直线上，由(2)可知 OA=1 ,点 A 对应点 G 的坐标为(3, 2),当 x=3 时，y= - 32+2 3+3=0 艺 2 所以点 G 不在该抛物线上.点评：这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识，考查的知识点不多，难度适中.3.(2012?丽水)在直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=x2在第二象限上的点，连接 OA，过点 O 作 OB 丄 OA,交抛物线于点 B,以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC.(1)如图 1,当点 A 的横坐标为 -1 时，矩形 AOBC 是正方形;

29、(2)如图 2,当点 A 的横坐标为-丄时，2求点 B 的坐标; 将抛物线 y=x2作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线y= - x2,试判断抛物线 y=- x2经过平移交换后，能否经过A,B, C 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由.考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：(1)过点 A 作 AD 丄 x 轴于点 D，根据正方形的对角线平分一组对角可得/ AOC=45所以/ AOD=45从而得到 AOD 是等腰直角三角形，设点 A 坐标为(-a, a),然后利用点 A 在抛物线上，把点的坐标代入解 析式计算即可得解；(2)过点 A 作 AE 丄 x 轴于点 E,

30、过点 B 作 BF 丄 x 轴于点 F，先利用抛物线解析式求出 AE 的长度，然后 证明 AEO和厶 OFB 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 OF 与 BF 的关系，然后利用点 B 在抛物 线上，设出点 B 的坐标代入抛物线解析式计算即可得解； 过点 C 作 CG 丄 BF 于点 G,可以证明AEO 和厶 BGC 全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=OE,BG=AE，然后求出点 C 的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点 A、B 的抛物线解析式，把点 C 的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C,如果经过点 C,把抛物线解析式转化

31、为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可.解答：解：(1)如图，过点 A 作 AD 丄 x 轴于点 D,矩形 AOBC 是正方形， / AOC=45 / AOD=90 - 45 =45； AOD 是等腰直角三角形，设点 A 的坐标为（-a,a） （a0,则（-a）2=a,解得 ai= - 1, a2=0 （舍去），点 A 的坐标-a= - 1,故答案为：-1;（2）过点 A 作 AE 丄 x 轴于点 E,过点 B 作 BF 丄 x 轴于点 F, 当 x=-吉时，y=（-号）2专,即OE=2 ,AE=2 ,2!岡/AOE +ZBOF=180-90 =90/AOE +ZEAO=90:ZEAO

32、=ZBOF,又/ZAEO =ZBFO=90, AEO OFB ,110 F=AE=g=斎E0=丄=2，2设 OF=t，贝UBF=2t, t2=2t,解得：t1=0 （舍去），t2=2 ,点 B （ 2, 4）;过点 C 作 CGBF 于点 G,/ZAOE +ZEAO=90 ZFBO+ZCBG=90 ZAOE=ZFBO,ZEAO =ZCBG,irZAEO=ZGO*在厶 AEO 和厶 BGC 中，彳ZEAO=ZCBG,HAO=CG AEO 也 BGC （AAS）,CG=OE=寺BG=AE冷.11|3|1 17XT -协专，yc=4+4= 4，点 C （二亠） ,设过 A （-2, 2）、B （2,

33、 4）两点的抛物线解析式为y= - x* 1 2+bx+c,由题意得，4解得经过A、B 两点的抛物线解析式为y= - x2+3x+2 ,L,所以点 C 也在此抛物线上,故经过 A、 B、C 三点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2亠当y=-（、2+3 心+2=2 2平移方案：先将抛物线个单位得到抛物线 y= -（x -丄）考点：二次函数综合题。分析：(1 )首先解方程得出 A, B 两点的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；(2)首先求出 AB 的直线解析式，以及 BO 解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP 时,时，点 P 在线段 0C 的中垂线上，当 OC=PC 时分别

34、求出 x 的值即可； 利用 SABOD=SAODQ+SABDQ得出关于 x 的二次函数，进而得出最值即可.解答：解(1)解方程 x2-2x- 3=0,彳得 Xi=3 , X2= - 1 ./ mvn,/ m= - 1, n=3 (1 分) A (- 1, - 1), B (3,- 3).T抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx.- b-3=9a - 3b.抛物线的解析式为尸長.(4 分)(2)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b.1= - k4b3=3k+b.解得：_.,_直线 AB 的解析式为尸一冬-冷.当 OP=PC2731&2- C 点坐标为（0,鸟.（6 分）2 直线 OB

35、 过点 O(0, 0) , B (3, 3),-直线 OB 的解析式为 y= x .- OPC 为等腰三角形, OC=OP 或 OP=PC 或 OC=PC.设 P (X, X),(i )当 OC=OP 时,(iii )当 OC=PC 时，由-过点 D 作 DG 丄 x 轴，垂足为 G,交 OB 于 Q,过 B 作 BH 丄 x 轴，垂足为设 Q (x, x), D (x,SBOD= SODQ+SABDQ=2DQ?OG+丄 DQ?GH ,2 2=DQ (OG+GH),/ 0vxv3,一时，S 取得最大值为 ，此时 D （,Iz3；).(13 分)W2勺4P1普普）（ii）当 OP=PC 时，点解

36、得舍去-P 在线段 OC 的中垂线上,解得- P3(三-，x2=0 （舍去）.3P点坐标为P1（乎普)或 P2(, ) 或 P344(9 分)|=5列出方程，解方程即可求出b2- 4ac 的值;二次函数的最值求法得出.5.(2012?兰州)若 xi、X2是关于一元二次方程 ax2+bx+c (a0的两个根，则方程的两个根有如下关系：X1+ X2=-, x1?x2.把它称为aa点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质和三角形面积求法等知识,求面积最值经常利用的图象与 x 轴的两个交点为 A (xi, 0), B (x2, 0).利用根与系数关系定理可以得到A、B 连个交点间的距

37、离为:AB=|X1-X2|= .I y f i参考以上定理和结论，解答下列问题:设二次函数 y=ax2+bx+c (a 0)为等腰三角形.的图象与 x 轴的两个交点 A (xi, 0), B (X2, 0),抛物线的顶点为 C,显然 ABC求 b2- 4ac 的值;(1)当ABC 为直角三角形时,b2- 4ac 的值.考点：抛物线与 x 轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。分析:(1 )当厶 ABC 为直角三角形时，由于 AC=BC，所以 ABC 为等腰直角三角形，过 C 作 CE 丄 AB 于 E,则jT 2AB=2CE.根据本题定理和结论， 得到 AB=b|,根据

38、顶点坐标公式，得到 CE=|I _7b，- 4acX1、X2和系数 a、b、c元二次方程根与系数关系定理.如果设二次函数y=ax2+bx+c(a 工0|=5列出方程，解方程即可求出b2- 4ac 的值;(2)当厶 ABC 为等边三角形时，解直角ACE,得 CEpjAE 哼起，据此列出方程，解方程即可求出b2-4ac 的值.解：(1)当 ABC 为直角三角形时，过 C 作 CE 丄 AB 于 E，贝 U AB=2CE .抛物线与 x 轴有两个交点，=b2-4ac 0,贝 U lb2- 4ac|=b2- 4ac.J匕-4QGJ/ - 4恥/ a0, AB=Z严二11-,|a|a22又 CE=|色一

39、山 丈一处,4a4ab2- 4ac=4;(2 )当 ABC 为等边三角形时，由(1)可知 CE=屈，b2-V. 二/ b2- 4ac0,b2- 4ac=12.1 /丿0C本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与 x 轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强,解答:点评:难度中等.所求函数关系式为 尸|/一詈計 46.(2012?兰州)如图，RtAABO 的两直角边OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、(1) 求抛物线对应的函数关系式;(2) 若把 ABO 沿 x 轴向右平移得到 DCE，点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E,当四边形 AB

40、CD 是菱形时, 试判断点C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接 BD，已知对称轴上存在一点 P 使得 PBD 的周长最小，求出 P 点的坐标；(4)在(2)、( 3 )的条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点(点 M 与点 O、B 不重合)，过点 M 作/ BD 交 x轴于点 N,连接 PM、PN，设 OM 的长为 t, PMN 的面积为 S,求 S 和 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范 围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M 点的坐标；若不存在，说明理由.k5: /月0考点：二次函数综合题。分析：(1)根据抛物线 y=卫/十比

41、十 Q 经过点 B ( 0, 4),以及顶点在直线 x 学上，得出 b, c 即可；3丛(2)根据菱形的性质得出 C、D 两点的坐标分别是(5, 4)、(2, 0)，利用图象上点的性质得出x=5 或 2 时,y 的值即可.(3)首先设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，求出解析式，当 x 三时，求出 y 即可；(4)利用 MN / BD，得出 OMNOBD，进而得出念型，得到 ONt，进而表示出PMN 的面积,OB 0D2利用二次函数最值求出即可.解答：解：(1)抛物线尸討十曲经过点B (0 4) c=4,5T顶点在直线 X=飞上，B 两点的坐标分别为(-3,0)、(0, 4),抛物

42、线 yP+bx+c 经过点B，且顶点在直线X：上.所求函数关系式为 尸|/一詈計 4加423 ；3(2)在 RtAABO 中，OA=3, OB=4,二 AB=do 梓+0B2二 5，四边形 ABCD 是菱形，/ BC=CD = DA=AB=5, C、D 两点的坐标分别是(5, 4)、(2, 0),当 x=5 时，y=f 天 5 殳弓 X5+ 4 二 4，当 x=2 时，y 語 X 2? - 十 4=0，点 C 和点 D 都在所求抛物线上；(3)设 CD 与对称轴交于点 P,则 P 为所求的点,设直线 CD 对应的函数关系式为y=kx+b,则呼412ktb=0(4)/ MN /BD ,OMNOB

43、D ,设对称轴交 x 于点 F ,得 ON-,S 存在最大值.点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键.7.（2012?荆门）已知：y 关于 x 的函数 y= （ k- 1） x2- 2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点.（1）求 k 的取值范围;（2）若 X1, X2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足（k- 1） x12+2kx2+k+2=4x1X2.1求 k 的值；当 k$N+2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值.考点：抛物线与 x 轴的交点；一次函数的定义；二次函数的最值。（1 ）分

44、两种情况讨论，当 k=1 时，可求出函数为一次函数，必与x 轴有一交点；当 kl 时，函数为二次函数，若与 x 轴有交点，贝 U（2）根据（k- 1） x/+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k 的方程，求出 k 的值； 充分利用图象，直接得出 y 的最大值和最小值.令 y=0 得(k- 1) x2- 2kx+k+2=0 .综上所述，k 的取值范围是 kW2（3 分）（2）/冷枚2,由（1）知 kv2 且 k=1 .由题意得(k- 1) X12+ (k+2) =2kx1. ( *)(4 分) 将(*)代入(k- 1) X12+2kx2+k+2=4x1X2中得:由 S=-2+

45、丄顾，此时，点 M 的坐标为（0,).分析:解答：解：（1）当 k=1 时，函数为一次函数y= - 2x+3,其图象与 x 轴有一个交点.（1 分）当kl时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点,=(-2 k)2-4(k-1) (k+2) Q解得 k2即 kW2且 k=1.（2 分）当2,S 取最大值是0512k （xi+X2） =4x1x2.（5 分）又:X1+ X2-, X1X2=,k-1k-19k I L-L1? I.2k?=4?=.（6 分）k- 1k-1解得：ki= - 1, k2=2 （不合题意，舍去）.所求 k 值为-1.（7 分）2如图，/ k1= - 1, y=-

46、2x2+2x+ 仁-2 （x-二）2+上.2 2且-1 xwi.（8 分）由图象知：当 x= - 1 时，y最小=-3;当 x=-_时，y最大=上.（9 分）22y 的最大值为上，最小值为-3.（10 分）2x 轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键.&(2012?荆门)如图甲，四边形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在 B 点的抛物线交 x 轴 于点 A、D，交 y 轴于点 E,连接 AB、AE、BE .已知 tan / CBE), A (3, 0) , D (- 1, 0) , E (0, 3).3(1)求抛物线的解析式及顶点B

47、 的坐标；(2) 求证：CB 是厶 ABE 外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P 为顶点的三角形与 ABE 相似，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(4) 设厶 AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度(0vt3时，AOE 与厶 ABE 重叠部分的面积为 s,求 s 与 t 之间 的函数关系式，并指出 t 的取值范围.本题考查了抛物线与:二次函数综合题。:代数几何综合题；压轴题；分类讨论。(1)已知 A、D、E 三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点(2)过 B 作 BM 丄 y 轴于 M，由 A、B、E 三点坐标，可判

48、断出 BME、 AOE 都为等腰直角三角形，易证得/BEA=90即厶 ABE 是直角三角形，而 AB 是厶 ABE 外接圆的直径，因此只需证明 AB 与 CB 垂直即可.BE、AE 长易得，能求出 tan / BAE 的值，结合 tan / CBE 的值，可得到 / CBE= / BAE，由此证得/ CBA= / CBE+ / ABE= / BAE+ / ABE=90 ；此题得证.(3) ABE 中，/ AEB=90 tan / BAE，即 AE=3BE，若以 D、E、P 为顶点的三角形与ABE 相似，那么该三角形必须满足两个条件：有一个角是直角、 两直角边满足 1: 3 的比例关系；然后分情

49、况进行求解即可.(4)过 E 作 EF / x 轴交 AB 于 F，当 E 点运动在 EF 之间时，AOE 与厶 ABE 重叠部分是个五边形；当 E 点运动到 F点右侧时， AOE 与厶 ABE 重叠部分是个三角形.按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解.(1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a (x-3) (x+1).将 E (0, 3)代入上式，解得：a=- 1 . y= x2+2x+3.则点 B ( 1, 4).(2)证明：如图 1，过点 B 作 BM 丄 y 于点 M，则 M ( 0, 4).在 RtAAOE 中，OA=OE=3, / 1= / 2=45 ； AE=QOA2+0E2

50、=3.在 RtAEMB 中，EM = OM OE=1 = BM ,图甲B 的坐标./MEB =ZMBE=45BE=E於纭应./BEA=180 Z1 /MEB =90: AB是厶ABE 外接圆的直径.在 RtAABE 中，tan / BAE=Il_=_=tan / CBE,AE 3/BAE =ZCBE.在 RtAABE 中，/ BAE+Z3=90, / CBE +Z3=90. / CBA=90 即 CB 丄 AB. CB 是厶 ABE 外接圆的切线.,cos/ BAE=11;10 10若以 D、E、P 为顶点的三角形与ABE 相似，贝 U DEP 必为直角三角形；1DE 为斜边时，P1在 x 轴

51、上，此时 P1与 O 重合;由 D (- 1, 0)、E (0, 3)，得 OD=1、OE=3，即 tan / DEO=tan / BAE，即 / DEO= / BAE满足 DEOBAE 的条件，因此 O 点是符合条件的 P1点，坐标为（0, 0）.2DE 为短直角边时，P2在 x 轴上;若以 D E、P为顶点的三角形与ABE相似，则/DEP2=/AEB=90曲DP2E=sin/BAE= 1 ;宀严 + 3=/，贝 V DP2=DE Pin/ DP2E=i=10, OP2=DP2- OD=9即：P2(9, 0);3DE 为长直角边时，点 P3在 y 轴上;贝 y EP3=DEPOS/DEP3=

52、I II- y= - 2x+6.EF / x 轴交 AB 于点 F，当 y=3 时，得 x, F23V10若以 D、E、P 为顶点的三角形与ABE 相似，贝 U / EDP3=/AEB=90 cos/ DEP3=COS/BAE=.;10综上，得:Pl（0，0），P2（9，0），P3（ 0,） .(4)解:设直线 AB 的解析式为 y=kx+b.0),B （1 , 4）代入，得3kt-b=0k+b-4解得情况一：如图2,当 0V，设 AOE 平移到 DNM 的位置，MD 交 AB 于点 H , MN 交 AE 于点 G .贝UON=AD=t, 过点 H 作 LK 丄 x 轴于点 K，交 EF 于

53、点 L .由厶 AHD FHM , 得AD_HKFN_HL，即HKt _-:- -:K .2_t(3)解：RtAABE 中，/ AEB=90 , tan/ BAEJ, sin/ BAE=而 DE =,OP3=EP3- OE 千;过点 E 作射线，3).23IG2eR5LHB337Px圏CE图2Vf.c Ed3 3-IQ解得 HK=2t.2_S阴=SMNDGNASA HAD=情况二：如图 3,当兰Vt3丄(3t)2 292.t?2t= 212rBc/ r1讯rDO(3 t)2二(3 t)2二 t2 3t+222S阴=SAIQA SAVQA=- -X ( 3 t)(3 t)9. (2012?江西)

54、如图，已知二次函数L 仁y=x2-4x+3 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边)，与 y 轴交于点C.(1) 写出 A、B 两点的坐标；(2) 二次函数 L2： y=kx2- 4kx+3k ( k0,顶点为 P.1直接写出二次函数 L2与二次函数 Li有关图象的两条相同的性质；2是否存在实数 匕使厶 ABP 为等边三角形？如果存在，请求出 k 的值；如不存在，请说明理由；3若直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点，问线段 EF 的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：(1)已知抛物线的解析式，当函数值为0 时

55、，可求得 A、B 的横坐标，由此得解.(2)直接从系数的变化情况来进行分析；2当厶 ABP 为等边三角形时，P 点必为函数的顶点，首先表示出P 点纵坐标，它的绝对值正好是等边三角形边长的3 倍，由此确定 k 的值；23联立直线 y=8k 和抛物线的解析式，求出E、F 两点的坐标，然后判断 EF 是否为定值.解答：解：(1)当 y=0 时，x2- 4x+3=0 ,/ X1= 1 , x2=3 ；即: A (1, 0), B (3, 0)；(2)二次函数 L2与 L1有关图象的两条相同的性质:(I)对称轴都为直线 x=2 或顶点的横坐标为 2;(n)都经过 A (1 , 0), B (3, 0)两

56、点；2存在实数 k，使 ABP 为等边三角形./y=kx2- 4kx+3k=k (x-2)2- k,顶点 P (2,- k)./A (1 , 0) , B ( 3, 0) , AB=2要使ABP 为等边三角形，必满足| - k|辺,k=砺；3线段 EF 的长度不会发生变化.直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点，kx2- 4kx+3k=8k,/kMQ x2-4x+3=8,xi= - 1 , x2=5 ,EF=X2 xi=6 ,线段 EF 的长度不会发生变化.点评：该题考查了二次函数的性质、函数图象交点坐标的求法、等边三角形的性质等知识，虽然题目较长，但难度 适中，适合训练.10.(2

57、012?嘉兴)某汽车租赁公司拥有20 辆汽车据统计，当每辆车的日租金为400 元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各项支出共4800 元.设公司每日租出工辆车时，日收益为 y 元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)(1)公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为1400 - 50 x 元(用含 x 的代数式表示)；(2) 当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？(3) 当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？考点： 二次函数的应用。分析： (1)根据当全部未租出时，每辆租金为：400+20X50=1400 元

58、，得出公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为：1400 - 50 x ；(2 )根据已知得到的二次函数关系求得日收益的最大值即可；(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0 .即：50 ( x- 14)2+5000=0 ,求出即可.解答： 解: (1) 某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400 元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加1 辆；当全部未租出时，每辆租金为：400+20 50=1400 元，公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为：1400 - 50 x;故答案为：1400 - 50 x;(2 )根据题意得出：y=x

59、 (- 50X+1400) - 4800,=-50 x2+1400 x- 4800,=-50 (x- 14)2+5000.当 x=14 时，在范围内，y 有最大值 5000.当日租出 14 辆时，租赁公司日收益最大，最大值为 5000 元.(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0.即: 50 ( x- 14)2+5000=0 ,解得 X1=24, xz=4 , x=24 不合题意，舍去.当日租出 4 辆时，租赁公司日收益不盈也不亏.点评：本题考查了列代数式及二次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式或函数关系式是解题关

60、键.11. (2012?嘉兴)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是抛物线：y=x2上的动点(点在第一象限内)连接 OP,过点 0 作 OP 的垂线交抛物线于另一点 Q.连接 PQ,交 y 轴于点 M.作 PA 丄 x 轴于点 A, QB 丄 x 轴于点 B.设点 P 的横 坐标为 m.(1) 如图 1,当 m=.-时，1求线段 OP 的长和 tan / POM 的值；2在 y 轴上找一点。，使 OCQ 是以 OQ 为腰的等腰三角形，求点 C 的坐标；(2) 如图 2,连接 AM、BM，分别与 OP、OQ 相交于点 D、E.1用含 m 的代数式表示点 Q 的坐标；2求证：四边形 ODME 是