高等数学教案8

1、泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 胡中永 年 月 日课 题向量及其线性运算课 时2教学目的理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示.掌握向量的线性运算.理解单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.重点难点重点 向量的概念.难点 空间思想的建立.教学方法讲解课 型新课教 学 过 程 与 内 容备 注一、向量的概念1. 向量是既有大小,又有方向的量.2. 在数学上，常用有向线段来表示向量.3. 在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）.4. 向量的表示方法有,等等.5. 向量相等:如果两个向量大小相等,方向相同.6. 向量

2、的模:向量的大小,记为、.7. 模为1的向量叫单位向量；模为零的向量叫零向量，零向量的方向是任意的.8. 平行向量:或，零向量与任何向量都平行.二、向量的线性运算1. 加减法:三角形法则及平行四边形法则2. 向量与数的乘法:.其满足的运算规律有结合律、分配律.设表示与非零向量同方向的单位向量,那么.定理1 设向量那么向量平行于的充分必要条件是:存在唯一的实数,使 .例1在平行四边形中,设,试用和表示向量、和,这里是平行四边形对角线的交点.三、空间直角坐标系1. 将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）,其符合右手规则.2. 各轴名称,坐标面的概念以及卦限的划分

3、.3. 空间点的坐标表示方法,关于坐标轴、坐标面原点的对称点的表示法.通过坐标把空间的点与一个有序数组对应起来.四、利用坐标作向量的线性运算1. 向量在坐标系上的分向量与向量的坐标2. 向量运算的坐标表示例2 求解以向量为未知的元的线性方程组 其中a=(2,1,2),b=(-1,1,-2).例3 已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数-1,在直线AB上求点M,使.五、向量的模、方向角、投影设向量r=(x,y,z) 则. 非零向量r与三条坐标轴的夹角、称为向量r的方向角.性质1 向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦,即 ，即.性质2 两个向量的和在轴上的投

4、影等于两个向量在该轴上的投影的和,即.性质3 向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法,即备 注作 业 4、15、17、19教学后记泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 胡中永 年 月 日课 题数量积 向量积课 时2教学目的掌握向量的数量积和向量积的运算.重点难点重点 数量积与向量积.难点 向量积.教学方法讲解课 型新课教 学 过 程 与 内 容备 注一、两向量的数量积1. 实例: 物理上,物体在常力作用下沿直线的位移为,力所作的功为,其中为与的夹角.2. 定义: ,其中为向量与的夹角.3. 性质(1) ;(2) 两个非零向量与垂直()的充分必要条件为;(3)

5、 ;(4) ;(5) ,其中为常数.4. 几个等价公式(1) 坐标表示式:设,则.(2) 投影表示式:;(3) 两向量的夹角可以由式求解.例2 已知三点,和,求.二、两向量的向量积1. 定义: 设向量是由向量与按下列方式定义的,的模为,式中为向量与的夹角;的方向垂直于与的平面,指向按右手规则从转向.注：数量积得到的是一个数值,而向量积得到的是向量.2. 公式:.3. 性质 (1) ;(2) 两个非零向量与平行()的充分必要条件为;(3) ;(4) ;(5) ,其中为常数.4.几个等价公式(1) 坐标表示式:设,则.(2) 行列式表示式:.例5 已知三角形的顶点分别为:、和,求三角形的面积.备

6、注作 业 1、3、6、9教学后记泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 胡中永 年 月 日课 题曲面及其方程课 时2教学目的了解曲面方程的概念.会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程.了解常用二次曲面的方程及其图形.重点难点重点 曲面与方程的概念,截痕法.难点 求方程与画图形.教学方法讲解课 型新课教 学 过 程 与 内 容备 注一、曲面方程的概念定义 如果曲面与三元方程 （1）有下述关系:(1) 曲面上任一点的坐标都满足方程（1），(2) 不在曲面上的点的坐标都不满足方程（1）,那么方程（1）就叫做曲面的方程,而曲面就叫做方程（1）的图形.例1 建立球心在

7、,半径为的球面的方程.例3 方程表示怎样的曲面？二、旋转曲面1. 旋转曲面的定义定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴.2. 旋转曲面的方程例5 将坐标面上的双曲线，分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.三、柱面定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹叫做柱面,定曲线叫做柱面的准线,动直线叫做柱面的母线.特征: 三个变量中若缺其中之一（例如）则表示母线平行于轴的柱面.常用的柱面:(1) 圆柱面:（母线平行于轴）;(2) 抛物柱面:（母线平行于轴）.四、二次曲面(1) 二次曲面的定义三元二次方程表示的曲

8、面叫做二次曲面.(2) 截痕法用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线（即截痕）的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌,这种方法叫做截痕法.(3) 几种特殊的二次曲面椭圆锥面 椭球面单叶双曲面 双叶双曲面椭圆抛物面 双曲抛物面备 注作 业 3、5、10 教学后记泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 胡中永 年 月 日课 题空间曲线及其方程课 时2教学目的了解空间曲线方程的概念.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标面上的投影,并会求方程. 重点难点重点 几类特殊的空间曲线的方程. 难点 空间曲线在坐标面上的投影. 利用向量积知识解题.教学方法讲解课

9、型新课教 学 过 程 与 内 容备 注一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线，即特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。例1 方程组表示怎样的曲线?例2 方程组表示怎样的曲线？二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数：当给定时，就得到曲线上的一个点，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的一般方程为（3）消去其中一个变量（例如z）得到方程（4）曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上。此柱面（垂直于平面）称为投影柱面，投影柱面

10、与平面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为同理可以求出空间曲线在其它坐标面上的投影曲线。在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线。例4 已知两球面的方程为和，求它们的交线C在面上的投影方程.例5 设一个立体由上半球面和锥面所围成,求它在面上的投影.备 注作业 3、4、5、8教学后记泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 胡中永 年 月 日课 题平面及其方程课 时2教学目的掌握平面方程及其求法.会求平面与平面之间的夹角,并会利用平面间的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题.会求点到平面的距离.重点难点平面

11、的点法式方程及一般式方程.利用向量积知识解题.教学方法讲解课 型新课教 学 过 程 与 内 容备 注一、平面的点法式方程垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量.平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直.已知平面上的一点和它的一个法线向量,对于平面上的任一点,有向量,即.代入坐标式有此即平面的点法式方程例1 求过点且以为法线向量的平面的方程。例 2 求过三点、的平面方程.二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示.平面的一般方程为.反之,任何的三元一次方程,例如,都表示一个平面,该平面的法向量为.注：(1) 平面过原点. (2) :表示一个平行于轴的平面；同理,或:分别表示一个平行于

12、轴或轴的平面.(3) :表示一个平行于面的平面；同理, 或:分别表示平行于面和面的平面.例3 求通过轴和点的平面的方程.例4 设一平面与轴的交点依次为、三点，求这平面的方程（a0,b0,c0）.三、两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.设平面1和平面2的法向量依次为,则它们的夹角的余弦为.注： (1) 两平面垂直.(2) 两平面平行.(3) 平面外的一点到平面的距离为.例5 求两平面和的夹角.例6 一平面通过两点M1(1,1,1)和且垂直于平面，求它的方程.作 业 3、5、9 教学后记泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 胡中永 年 月 日课 题空

13、间直线及其方程课 时2教学目的掌握空间直线方程及其求法.会求直线与直线、直线与平面之间的夹角,并会利用直线、平面的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题.会求点到直线的距离.重点难点重点 空间直线的点向式方程.直线与直线及平面的位置关系.难点 利用平面束、向量积和位置关系等知识解题.教学方法讲解课 型新课教 学 过 程 与 内 容备 注一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线,故其一般方程为二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量.已知直线上的一点和它的一方向向量.设直线上任一点为,那么与平行,由平行的坐标表示式有,此即空间直线的对

14、称式方程（或称为点向式方程）.设,就可将对称式方程变成参数方程（为参数）注：直线的三种形式的方程可以互化,按具体要求写相应的方程.三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角.设两直线和的方向向量依次为和,两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算。.注：(1) 两直线和垂直.(2) 两直线和平行.四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,直线与它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为.设直线的方向向量为,平面的法线向量为,直线与平面的夹角为,那么.注：(1) 直线与平面垂直(2)直线与平面平行.过平面直线的平面束方程为例6

15、 求过点且与直线垂直相交的直线方程.例7 求直线在平面上的投影直线的方程备 注作 业 2、5、8、12教学后记泰山学院数学与统计学院教案教研室： 统计学 教师姓名： 胡中永 年 月 日课 题空间解析几何习题讲解课 时2教学目的熟练掌握空间直线、平面的方程，直线与直线及平面的位置关系，会利用直线、平面的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题.重点难点重点 空间直线、平面的方程的求解，直线与直线及平面的位置关系的建立.难点 二次曲面方程的求解.教学方法讲解课 型习题课教 学 过 程 与 内 容备 注1.设向量平行于，的夹角平分线，且，求 。2.以向量与为边做平行四边形，试用与表示边上的高向量。3求直线与平面的交点。4.设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面，求该平面法线的的方向余弦.5.求与两平面 和的交线平行, 且 过点 的直线