高考题选编---数列与不等式

1、高考题选编-数列与不等式一选择题1（北京卷）如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（A）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9解：由等比数列的性质可得ac（1）（9）9，bb9且b与奇数项的符号相同，故b3，选B2（湖北卷）在等比数列an中，a11，a103，则a2a3a4a5a6a7a8a9=A. 81 B. 27 C. D. 243解：因为数列an是等比数列，且a11，a103，所以a2a3a4a5a6a7a8a9（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）（a1a10）43481，故选A3（江西卷）在各项均不为零的等差数列

2、中，若，则 解：设公差为d，则an1and，an1and，由可得2an0，解得an2（零解舍去），故2（2n1）4n2，故选A4（辽宁卷） 在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于(A) (B) (C) (D)解：因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C。5设Sn是等差数列an的前n项和，若，则（A） （B） （C） （D）解:由等差数列的求和公式可得且,故选A6（天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于A55 B70 C85 D100解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10

3、项和等于=， =，选C.7（江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A） （B）（C） （D）解：运用排除法，C选项，当a-b0时不成立。8(陕西卷)已知不等式(x+y)( + )9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为A.2 B.4 C.6 D.8解：不等式(x+y)()9对任意正实数x，y恒成立，则9，2或4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B9(陕西卷)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0a3),若x1x2,x1+x2=1a,则A.f(x1)f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定解：函数f(x)=ax2+2ax+4(0a3)，二次函数

4、的图象开口向上，对称轴为，0a3， x1+x2=1a(2，1)，x1与x2的中点在(1，)之间，x1x2， x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离， f(x1)0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为 A. B. C. D. 4解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a0，b0）,过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.22.（2009重庆卷文）已知，则的最小值是A2 B C4 D5解:因为当且仅当，且，即时，取“=”号。 . 23.(20

5、09湖南卷理)已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为 A B C D解:如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B。24.（2009天津卷理）设若的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 解:因为，所以，当且仅当即时“=”成立，故选择C.25.（2009天津卷理）,若关于x 的不等式的解集中的整数恰有3个，则（A） （B） （C） （D）解:由题得不等式即，它的解应在两根之间，故有，不等式的解集为或。若不等式的解集为，又由得，故，即. . 26.（2009重庆卷理

6、）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为A B. C D解:因为对任意x恒成立，所以.27.（2010辽宁理数）（6）设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则（A） (B) (C) (D) 解：由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。28.（2010江西理数）5. 等比数列中，=4，函数，则（ ）A B. C. D. 解：考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。29.（2010四川理数）（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0 （B） （C） 1 （D）2解：由,且,作差得an22an1,又S22S1a

7、1，即a2a12a1a1 a22a1.故an是公比为2的等比数列,Sna12a122a12n1a1(2n1)a1则30.（2010天津理数）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（A）或5 （B）或5 （C） （D）解：显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.31.（2010广东理数）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=A35 B.33 C.31 D.29解：设的公比为，则由等比数列的性质知，即。由与2的等差中项为知，即 ，即，即32.（2010福建理数）3设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于

8、A6 B7 C8 D9解：设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。33.（2010浙江理数）（7）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（A） （B） （C）1 （D）2解：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C.34.（2010四川理数）（12）设，则的最小值是（A）2 （B）4 （C） （D）5解： 0224,当且仅当a5c0,ab1,a(ab)1时等号成立. 如取a,b,c满足条件.35.（2010全国卷1文数）（10）设则（A） （B） (C) (D) 解： a=2=, b=In2=,而,所以ab,c=,而,所以ca, 综上cab.解析

9、二: a=2=,b=ln2=, ,，c=，ca1的等比数列，若和是方程的两根，则 .解：和是方程的两根，故有：或（舍）。7. （山东文14）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 .解:函数的图象恒过定点， .或8.（山东文15）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .解：构造函数：。由于当时，不等式恒成立。则，即。解得：。9.（山东理16）函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为 .解：函数的图象恒过定点，10.（2009全国卷理） 设等差数列的前项和为，若,则= .解: 是等差数列,由,得. 11.（2009浙江文）设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等

10、比数列的前项积为，则， ，成等比数列解:对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，成等比数列12.（2009北京理）已知数列满足：则 ；= .解:依题意，得，.应填1，0.13.（2009江苏卷）设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= . 解:有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9.14. (2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为 . 解:（1）若为偶数，则为偶, 故 当仍为偶数时， 故 当为奇数时，,故得m=4。（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=5.15.（2009辽宁卷理）等差数列的前项和为，且则

11、.解:Snna1n(n1)d,S55a110d,S33a13d,6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4,答案16. （2009宁夏海南理）等差数列前n项和为。已知+-=0，=38,则m= .解:由+-=0得到。17.（2009宁夏海南卷文）等比数列的公比, 已知=1，则的前4项和= . 解:由得：，即，解得：q2，又=1，所以，。18.（2009重庆卷理）设，则数列的通项公式= . . 解:由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则19. (2009山东卷理)不等式的解集为 . 解:原不等式等价于不等式组或或,不等式组无解,由得,由得,综上

12、得,所以原不等式的解集为. 20. (2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为 .元. . 解:设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: 则满足的关系为 即:, 作出不等式表示的平面区域, 当,对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元. .

13、21.（2010陕西文数）11. 观察下列等式：1323（12）2，132333（123）2，13233343（1234）2，根据上述规律，第四个等式为 .解：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方所以第四个等式为1323334353（12345）2（或152）.22.（2010辽宁理数）（16）已知数列满足则的最小值为 .解：an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n,所以设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+,所以当n=5或6时有最小值。又因为，的最小值为23.（2010江苏卷）8

14、. 函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5= .解: 在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。24.（2010辽宁理数）（14）已知且，则的取值范围是 .解：画出不等式组表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=23-31=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的交点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=21+32=8.25.（2010安徽文数）(15)若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 . (写出所有正确命题的编号)； ； ； ； 解：令，排除；由，命题正确；，正确；，命题正确。填，.26.（2010安徽理数）13. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为 .解：不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是，易见目标函数在取最大值8，所以，所以，在时是等号成立。所以的最小值为4.27.（2010湖北理数）15.设a0,b0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB