抽象函数常见题型和解法

1、抽象函数的常见题型及解法一、抽象函数的定义域1.已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b),求fg(x)的定义域，其方法是： 由a<g(x)<b,求得x的范围，即为fg(x)的定义域。即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为 fg(x)的定义域。1、例1. 已知f(x)的定义域为1 , 4,求f( 2)的定义域. x5,11解：由 1W 2W4,得-1 < <2 xx一 1,1 即-1 W<0 或0<W2 xx一八 1解得 X <-1或x> 一 2一、一，1.函数的定义域为：，1,22 .已知fg(x)的定

2、义域，求f(x)的定义域若已知fg(x)的定义域x (a,b),求f(x)的定义域，其方法是： 由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为 f(x)的定义域。例2. 若已知f(x+2)的定义域为-2, 2,求函数f(x)的定义域.解： f(x+2)的定义域为-2, 2, .-2 <x<2,0Wx+2W4故f(x)的定义域为0 , 43 .已知f (x)的定义域，求fg(x)的定义域先由f (x)的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求 fg(x)的定义域。即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个

3、函数内层函数的值 域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域一4 ,1，例3. 若已知f(x+1)的定义域为2,3 ,求函数f (2)的定义域.x解： f(x+1)的定义域为2,3 ,- -2 <x 3,-1 Wx+1 4即f(x)的定义域为1,4 ./1cc 1 C-1 < -2<4,-3 < -<2xxrr1,1即-3 <_<0或0< <2xx1 ,、1解得 X w- -或x> 3211.函数的定义域为：，323.已知f(x)的定义域，求f (x) + f

4、g(x)的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求fg(x)+ fg(x)的定义域，其方 法是：a (x)b 由 ( )，求得x的范围，即为f (x)+ fg(x)的定义域。ag(x)b例4. 已知f(x)的定义域为卜1 , 2,求g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.1 x 21 x 2解：由题息得：-1 <x< 1,1 x 22 x 1故函数的定义域为-1,1.例5. 已知f(x)的定义域为0, 1,求g(x)=f(x+m)+f(x-m)的定义域.解：由题意得: 解此不等式组，须讨论1-m与m的大小,I一1 一，(1)当1-m<mf P m"时，不等式无

5、解，此时函数关系不存在。21-1(2) 当 1-m=mlP m时,x=m=-.221 一，(3) 当 1-m>m1 |3 0<m<-时，m x 1 m2,，1 一 ,综上，当0<m 时，函数g(x)的止义域为x|m x 1 m.22、 抽象函数的解析式3、 抽象函数的对称性4、 抽象函数的单调性5、 抽象函数不等式的解法简单概括为f的“穿”、“脱”问题。将函数符号加上即为“穿”、将函数 符号去掉即为“脱”，根据函数值相等-先“穿”，根据函数的单调性 一后“脱”。例 1.已知函数 f(x)的定义域是(0,+ 8),当 x>1 时,f(x)>0,且 f(x. y

6、)=f(x)+f(y)。(1)求 f(1)；(2) 证明f(x)在定义域上是增函数；,E 11(3) 如果f( )=-1,求满足不等式f(x)-f( ) 2的x的取值范围。3x 2分析：(1)求抽象函数的值常采用赋值法。(2)应利用单调性定义证明，在作差 f (x2)- f(x1)变形时，注意条件f(x.y)=f(x)+f(y)的应用及拆、添、凑的思想的运用。(3)解抽象函数不等式，实际上就是 f的“穿”、“脱”问题。先“穿”后 “脱”。解：(1)令 x=y=1,得 f(1)=2f(1),故 f(1)=0(2) 任取 x1，x2 (0,+8),且 x1<x2,则区>1,由题意得：f

7、(红)>0x1x1f(x 2) f(x i)=f(臣 x1)-f(x 1)= f( 上)+f(x i)-f(x1)=f( 上)>0Xixixif(x 2)>f(x i)f(x)在(0,+ 8)上的增函数111方法二：令 y=_，得 f(1)=f(x )=f(x)+f( -)=0xxx故* l)=-f(x) x任取 x1，x2C (0,+ 8),且 x1vx2,1. xf(x 2) -f(x 1)= f(x 2)+ f( 一)=f( -2)x1x1由于 x2>1,故 f( &)>0 x1x1f(x 2)>f(x 1)f(x)在(0,+ 8)上的增函数,

8、 、，1,1(3) f(-)=-1,.(一)1+1=-f(-)-f( )=-f()+f( - )=-f()=-f()3333339f(x)-f(2)1f(x)-f( 一-)x 21-f(9)1 f(x) +f()9f(f(xf()9x 2 0 解得：x 1 V10 .x的取值范围为x| x 1JT0例2.定义在R上的函数y = f(x) , f(0) W0,当x>0时，f(x) >1且对任意 a、bC R,有 f(a +b) =f(a) - f(b)。(1)证明：f(0) =1。(2)证明：对任意的xCR,包有f(x) >0。(3)证明f(x)是R上

9、的增函数。(4)若f(x) - f(2x x2) >1,求x的取值范围。(1)证明：令 a=b = 0,则 f(0) =f(0) - f(0)又 f(0)金0. .f(0) =1(2)证明：当 x<0 时，一x>0；f( x)>11 .f(0) =fx +(-x) =f(x) f( x) = 1 af(x)= f( x)又 f(0) =1 且当 x>0 时，f(x) >1 对任意的xCR,恒有f(x) >0(3)设 x1>x2, x1，x2 R 则 x2 x1>0f(x 2 x1)>1 f(x 1) f(x 2) =f(x 2- x1) +x1 f(x 1)= f(x 2x1) f(x 1) f(x 1)= f(x 1)f(x 2-x1)-1Vf(x 1) >0 f(x 2-x1) -1>0 f(x 2) f(x 1) >0 f(x 2