余弦定理的六种证法

1、余弦定理的六种证法C法一(平面几何)：在 ABC中，已知AC二b,BC二a,及.C，求c。过 A 作 AD _ BC于 D,是 AD = AC sinC 二 BC sin C ,CD = AC cos = b cosc,在 Rt. ：ABD 中，AB? = AD2 BD2 = (bsin c)2 (a - bcosc)2 = a2 b2 - 2abcosc ,法二（平面向量）：2AB AB =(AC BC) (AC BC) = AC 2AC BC BC = AC 2|AC|BC| cos(180 -B) BC2 二 b2 -2abcosB a2，即:c2 =a2 b2 -2abcosc法三（解

2、析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于 MBC的AC=b，CB=a，AB=c，贝V A，B，C 点的坐标分别为 A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0）.2 2 2|AB| =(acosC b) +(asi nC 0)2 2 2=a cos2C 2abcosC+b +a sin2C即 c2=a2+b2 2abcosC .=a2+b2 2abcosC，法四（利用正弦定理）：先证明如下等式：sin2 A sin2 B - sin2C = 2sin Asin BcosC证明：sin2 A sin2 B - sin2 C1co2A 1 co2B 1co2C=+2 2

3、2-1 c o c2A c o2SB 1_C 0 " 2 22- ccsA B ccsA-B c c sC=c c C c c(sA - B )- c c(A + B )】=2s i nAs i Bc cC故式成立，再由正弦定理变形，得'a =2Rs i nA小= 2RsirB(2)c = 2 Rs i C结合、(2)有a2 b2 - c2=4R2si$AsinB-si$C2二 4R 2s i nAs i nBc cC=2abc cC.即 c2 = a2 + b2 - 2abccsC .同理可证 a2 二 b2 c2 -2bcccsA ； b2 二 c2 a2 -2caccs

4、B.法五(用相交弦定理证明余弦定理)：如图，在三角形 ABC中，/ A=a, AB=a , BC=b , AC=c。现在以B 为圆心，以长边 AB为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能 保证C点在圆内。BC的延长线交圆B于点D和E这样以来，DC=a-b , CE=a+b , AC=c。因为 AG=2acoa ，所以 CG=2acosa -c。根据相交弦定理有：DO CE=AC< CG，带入以后就是(a-b)(a+b)=c(2acos ac)化简以后就得 b2=a2+c2+2accos a。也就是我们的余弦定理。法六(面积解释)：如图9,以厶ABC的三边为边长向外作三个正方形，,交AB

5、于K。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证(最好是将看作是旋转而成)，进而可得-;同理 二亠"亠;，所以直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上两正方形面积之和。0此处还有一个副产品: h 见川.等价于，无需用到相似，轻松可得射 影定理。图9图10假若不是直角三角形呢？如图ABC的三高的延长线将三个正方形分为 6个矩形，而，则且两两相等= $皿卫=此g% B二£口刖r = 口必匚“ C绻加=Elai =肚cog A.一:一丨丄匚 u_Z：m_丨，轻松可得余弦定理。例1:证明余弦定理勾股定理只是对于直角三角形成立，很有必要将之推广到一般三角形的情形，这样在使用 的

6、时候才方便。在第一章中已经介绍了面积法证明余弦定理了，下面再介绍三种面积证法。证明勾股定理主要用到平移，而证明余弦定理则可能需要用旋转余弦定理证明1 :如图1，将 ABC绕点B旋转一个较小角度二得到 DBE，贝Uqf _ rf 亠 p I, c* r* -AC* * DE sin cf UABC由面积关系得 心朋g =+ 中海心即21 ABDB sino-4-lMCB啊(占一 a) + CBEBsinsin(5 + 1 o131,”1 jb sina c sin(giu B cos er cossin or) + a sin c即arc (sin B coscos B sin.迫1，化简得图1图2如果认为证法1较麻烦，也还有简单的证法。余弦定理证明2 :只要注意到:亠； i '，丄二厂三二三匚了三二匸三口 ，立马可得 二 AT 一】 一証；:':。AE余弦定理证明3 :如图3,在厶ABC中，设三边长度为a,b,c,在AB边上取点E,使得,BD = CD=CE=在AB边上取点D,使得 亡;易得 AE3A CDBAAC