解圆锥曲线问题的方法技巧

1、解圆锥曲线问题的方法技巧【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法(1 )椭圆有两种定义。第一定义中，i+2=2a。第二定义中，ri=edir2=ed2。(2) 双曲线有两种定义。第一定义中，几一2 =2a，当ri2时，注意 2的最小值为c-a:第二定 义中，ri=edi, r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与 点到准线距离”互相转化。(3) 抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用

2、韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用点差法”，即设弦的两个端点A(Xi,y”,B(x2,y2),弦AB中点为M(xo,yo)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦 中点与弦斜率的关系，这是一种常见的设而不求”法，具体有：2 2(i) X2 y2 = i(a b 0)与直线相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(Xo,yo)，则有

3、a bXo2ayo0。i2 2(2)=i(a 0,b0)与直线I相交于A、B，设弦AB中点为M(x,yo)则有a bX0-2ay。-02(3)y =2px ( p0)与直线2(2)抛物线C: y =4x上一点l相交于A、B设弦AB中点为M(X0,y0),则有2yk=2p,即yok=p.【典型例题】例1、(1)抛物线 C:yQ到点B(4,i)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为 分析：(i) A在抛物线外，如图，连PF，贝y PH = PF，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。 B在抛物线内，如图，作 QR丄I交于R，则当B、Q、R三点共线=4x上一点 P至到点 A(3,42 )与

4、到准线的距离和最小，则点 P的坐标为时，距离和最小。解：(1)( 2,2 )连PF ,当A、P、F三点共线时，AP +|PH| = AP +|PF最小，此时AF的方程为y 4- 0 (x -1)即 y=2 .2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 、2),(注：另一交点为(12)，它为直线3-12AF与抛物线的另一交点，舍去)1(2)( ,1 )4过Q作QR丄I交于R,当B、Q、R三点共线时， BQ QF| |BQ QR最小，此时 Q点的纵坐标为2 1 11，代入 y =4x 得 x=，二 Q( ,1)44点评：这是利用定义将 点点距离”与点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会

5、。2 2例2、F是椭圆 y1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。43(1) PA + PF的最小值为(2) PA +2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径y-AHi$ W * FQf 0!F丿xPF 或准线作出来考4虑问题。设另一焦点为F；则F(1,0)连A F ,PFPA +|PF| =|PA +2a - PL =2a -(- PA)启 2a - AL =4-45当P是F A的延长线与椭圆的交点时，PA +1 PF取得最小值为4-45。1 作出右准线 I，作 PH 丄 I 交于 H，因 a2=4, b2=3 , c2=1, a=2, c=1, e=

6、,21pf 专|PH ,即2 PF = PH2aXac PA +2PF| =|PA + PH当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为例3、动圆M与圆G：(x+1) +y =36内切，与圆C2：(x-1) +y =4外切,求圆心M的轨迹方程。C M D OB分析：作图时，要注意相切时的 图形特征”：两个圆心与切点这三点 共线（如图中的 A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是 动圆的 半径等于半径”（如图中的 MC =|MD ）。解：如图，MC| = MD , AC MA = MB DB 即6 MA = MB 2MA + MB =8(*)2 2点M的轨迹为椭圆，2a=8, a=4,

7、c=1 , b2=i5轨迹方程为 =11615点评：得到方程（* ）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出.（x 1）2 y （x -1）2 y2 =4，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐!例4、3 ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 si nC-si nB=si nA,求点 A 的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R为外接圆半径），可转化为边长的关系。解:sin C-si nB= 3 si nA32Rsi nC-2Rs inB=2Rs inA53 AB _ AC =三 BC5即 AB

8、 - AC =6（*）点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）/ 2a=6, 2c=10 a=3,c=5,b=42 2所求轨迹方程为x y 1（x3）916点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A（X1,X12）, B（X2, X22）,又设AB中点为M（xy0）用弦长公式及中点公式得出 y。关于X。的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2） M到x轴的距离是一种 点线距离”，可先考虑 M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设

9、A(X1, X12), B(X2, X22), AB 中点 M(xo, yo)|(Xi -x2)2 (x； x；)2 =9 则+x2 =2x02 2Xi +X2 =2yo由得（Xi-X2）21+（X i+X2）2=9即(Xi+X2)-4X1X2 1+(X1+X2)=92 2由、得 2xix2=(2xo) -2yo=4xo-2yo代入得 (2xo) -(8xo -4yo) 1+(2xo) =94 yo - 4xo91 4x；9294yo =4x2 = (4Xo 1)214Xo4Xo +12、9 -1 = 5, yo _ 542425v2 5当 4xo+ 仁3 即 Xo时，(yo)min此时 M(

10、 ,)2424法二：如图，2MM2 = AA2 + BB2 = AF + BF 兰 AB =33 13Ay/BA0MiB1LAMM 2 工一,即 MM j + A-,242MM 15 ,当AB经过焦点F时取得最小值。45 M到x轴的最短距离为54点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消X1, X2，从而形成yo关于xo的函数，这是一种而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形 压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中

11、有缺点，即没有验证 AB是否能经过焦点 F,而且点M的坐标也不能直接得出。2 2例6、已知椭圆 匚 丄 1(2冬m岂5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次m m 1变于 A、B、C、D、设 f(m)= | AB CD| ,( 1)求 f(m),( 2)求 f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对 f(m)的结构不知如何运算，因 A、B来源于 不同系统”，A在准线上，B 在椭圆上，同样 C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段投影”到x轴上，立即可得防f (m) = (XB -Xa) V2 -(XD-Xc) V2= /2|(Xb- Xa) - (XD- Xc )|Iy

12、 c1DF1 BATFx2c=1，左焦点 F1(-1,0)+2 (Xb Xc) - (Xa Xd)=J2(Xb +Xc)此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。2 2解：(1)椭圆1 中，a2=m， b2=m-1，m m -1则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1) 2-m2+m=022/ (2m-1)x +2mx+2m-m =0设 B(x1,y1),C(X2,y2),则 X1 +x2=-(2 乞 m 乞 5)2m -1f(m) =|AB| - CD|卜两(Xb -Xa) -(Xd -Xc)|= V2|(X1 +X2)- (Xa

13、+Xc) 70仪1 +X2 = 72 -2m T(2) f (m)匚 2m1 +1二 22m -1*2 (11 )2m1当 m=5 时,f(m)min10 .2当 m=2 时，f(m)max4、一2935点评：此题因最终需求 xB XC，而BC斜率已知为 1故可也用 点差法”设BC中点为M(xo,yo),通过将BC坐标代入作差，得竺 -y 0，m m 1,x0x0+1 小将yo=xo+1， k=1 代入得 一 -0，m m 1-xm2m -1，可见Xb Xc2m2m -1当然，解本题的关键在于对f(m) = AB CD的认识，通过线段在x轴的投影”发现4、A8f (m) = Xb +Xc是解此

14、题的要点。【同步练习】2 21、 已知：F1, F2是双曲线X2 一 y2 =1的左、右焦点，过 F1作直线交双曲线左支于点A、B,若a bAB =m , ABF 2的周长为( )A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、 若点P到点F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0的距离小1,贝U P点的轨迹方程是( )2 2 2 2A、y =-16x B、y =-32xC、y =16xD、y =32x3、已知 ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且 AB|AC，点B、C的坐标分别为(-1 , 0),(1 , 0)，则顶点A的轨迹方程是()2 222A、x y =1xB、-1(x0

15、)43432 222C、xy1(x : 0)43xD、4-1(x0 且 y = 0)34、过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是( )1 2291 229A、(X -) y = (x -1) B、(X J y =(xn-1)2 42421 2 921 29C、x (y ) (x = -1) D、x (y ) (x 1)4 24225、 已知双曲线 -1上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是 9166、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、 已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点 p(-2, 0)，则弦AB中点的轨迹方

16、程是&过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、 直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=X y2一、10、 设点P是椭圆1上的动点，F2是椭圆的两个焦点，求sin / F1PF2的最大值。25911、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线I与此椭圆相交于 A、B两点，且AB中点M为(-2, 1), AB =43，求直线I的方程和椭圆方程。2 2x y12、已知直线I和双曲线 2 =1(a0,b0)及其渐近线的交点从左到右依次为 A、B、C、a bD。求证：AB = CD。【参考答案】1、CAF2

17、- AF=2a, BF?-BF=2a ,二 AF2 + BF2 AB| =4a, AF2| + BF2 + AB = 4a + 2m,选 C2、C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为 y2=16x，选C3、D/ AB + AC =2汉2，且 AB a|AC点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又 A、B、C三点不共线，即y故选D。设中心为（x, y），则另一焦点为（2x-1 , 2y），则原点到两焦点距离和为4得1,2x1l)2(2y)2 =4 ,. (x )2 y2 二又 ca,. .(x -1)2 y2 ： 2 (x-1)2+y2 )222 227、y =x

18、+2(x2)设 A(X1, y) B(x2, y2), AB 中点 M(x , y)，则2 2y12x1 , y22 2y1 - y2= 2X2,% -y2 =2(X1 -X2),-% _x2(% y2)=2kAB - kMP士22，即 y2=x+212又弦中点在已知抛物线内P, 即 y 2x，即 x+228、4a2 = b2 = 4, c2 = 8,c = 2 2，令 x = 22 代入方程得 8-y2=42二 y =4, y= .，弦长为 49、一、2或-1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-1=02 2- (1-k )x -2kx-2=0r 21 k2 式 0

19、22厂 得 4k +8(1-k )=0, k= J2 = 0J 1-k2=0 得 k= 122210、解：a =25 , b =9 , c =16设F2为左、右焦点,则 F1(-4 , 0)F2(4, 0) 设 PR =帚 PF2 =2,乂只曲2 =B则2=2口2A 亠a _2r1r2cosv - (2c)2-得 2r1r2 (1+cos 0 )=4b4b2 2b2-1+cos 0=2叩2r1r2t ri+2_ 2 r1r2，仃2的最大值为a2- 1+cos 0的最小值为2acos 0 - ,0 _ r :二25一 arccosZ 贝U当二25jr时,2sin取值得最大值1,2b218，即 1+cos 0 25即sin / F