二项式定理复习课精品教育

1、二项式定理复习课樊加虎一.教案描述教学设想：精心设计例题，用二节课的时间对二项式定理进行复习。除理 清基本概念外，着重训练定理运用中的七个层次，使学生的数学知识和数学 思想都得到训练。1、 会正用.即套用公式，这一层次的思维量较小，但对理解和巩固定理是完全必要的，例题安排上由浅入深，复习方法上以提问或学生练习为主，要做 到正确、熟练。例 1、求X2(2 3x)6的展开式中含X5的项.解：x2C；23(3x)3=4320 x5例 2、求(1 -2x)5(1 3x)4展开式中前三项之和.解：计算时注意每个因式的展开式只须取前三项即可。5422(1-2x) (1 3x) =1-5 2x 10 (-2

2、x) - 1 4 3x 6 (3x)=(1 -10 x 40 x2- )(1 12x 54x2) =1 2x - 26x2仁展开式前三项之和为1，2x-26x2.例 3、求(2x2-3x 1)8展开式中x项.解：若将(2x2-3x - 1)8化为(2x-1)8(x-1)8来确定展开式中x项，解法不甚合理，注意到2x2与x项无关，可转化为求(-3x T)8展开式中x项，即C；(-3x)=-24x，解法较捷。本题较灵活，有助于提高学生转化能力。2、 会反用.逆向思维的训练能加深对定理的理解，培养观察能力，但学生往往不习惯，例题和习题可逐步加深。例 4、求值(1)4nd4nC；4n， C：4 1；(

3、2)1 _2C：+22c：+(_2)ncn.解：原式即为(41)n的展开式，.原式=5n.(2)注意符号问题，原式=(12)n=(一忙 例 5、设函数f (x) =1 5x-10 x2 10 x5x4x5.求f(x)的反函数f(x).解：如果f (x)的表达式中第一项 1 改为-1，则为(1 x)5的展开式.f(X)=(一1 x)52.易得fJ(x) =15x -2 (x R)3、会变用.不少问题需要将数式变形后，再运用二项式定理。这一层次要求学生有一定的分析能力，复习中应引导学生观察数式特征，进行合理变形。 例 6、求(x22-2)3展开式中的常数项.x解：一般有两种变形方法，其一变形为(X

4、2，厶)-？3，其二变形为(X-)6.后xx者较简，其常数项即为第四项T4一C；一20.例 7、设1 -x x2-x3亠 亠x16-x17= a0a1(x 1) a2(x 1)亠a17(x 1)17,求 a2.解：为了比较系数，将左式变形为1 -(x 1) -1 (x T) -12 -(x T)-117.再展开之，展开式中(x 1)2项的系数即为 a2，4、会设项.这是二项式定理中常用的待定系数法，学生应熟练掌握。例 8、( .2，3)100的展开式中含有多少个有理项？100 -r r解：Tr.1=C：002233,耍使其为有理数，即 -=n，- = m(n,m为非负整23得r =2(50 -

5、 n)，且 r=3m. /.r是 6 的倍数，可取 r=0 , 6 , 12,，96 共 17 个.1 1a2C CC1；=C；8=816.2例 9、设(3x3- x2)n展开式的各项系数之和为 t，其二项式系数之和为 h，若 t 272，试求展开式中x2项的系数.解：此题应先定n，令 x =1，得t=4 二而h=2n. 4n2272.得2n=16，1 1.n =4. .1二C；(3x3)4(x)r由= 2得r = 4. x2项系数为32C：3=15、会取值.二项式定理提供了从一般到特殊的思维方法训练的好教材，应抓住 机遇进行这一基本思维方法的训练.例 10、求(x 2y)(2x y)2(x

6、- y)3展开式中各项系数的和.解：设原式=aox6a1x5y - a?x4y2aey6.令x = 1, y = 1，得a0- a1a2丁a6= 216.在熟知基本题的基础上，可适当选择些灵活性的例题例 11、求(153x-y)15展开式中所有无理系数之和.解：考虑到展开式中无理系数为多，可以从反面求有理系数着手。有理系数项为：(3x)15=3x15，(y)15= -y15.，.有理系数之和为3 + (-1) =2.令x = y =1，得展开式各项系数之和为(153 -1)15.展开式中所有无理系数之和 为(153 -1)15-2.例 12、设(1 x x2) a0 aw ，a2nX2n.求a

7、0 a2，a4 a2n的值.解：令 x-1，得a0 a1 a2，a2n- 3.令x = -1，得a。-a1a? -a?n=1.3n+1两式相加得a。a2 a4 ，a2n二- .在取值过程中，要培养学生观察能力例 13、设(1 2x)100= ao- ai(x -1) a2(x -1)2aioo(x.求a1a3 a5：,99的值解：令 x = 2，得ao 6 a?卷：心他二5100.令 x=0，得a a1 a2：；a1oo= 1.6、会构造.关于组合恒等式的证明，通常需要构造一个恒等式，比较其二项展 开式的系数而得。这一层次要求有较强的观察分析能力，是个难点，例题 和习题不宜太难，讲解中应慢慢引

8、导，启发学生思维。例 14、证明下列各式(1)1 +3C：+9C： + +3nJLC；?+3nC：=4n.(2)(C：)2(C：)2(C：)2(C；)2二C；n.证：构造二项展开式(a - b)Can C：anb C：anb2 C；bn.令 a=1,b=3得(13)；-1 C；3 C；32川川C：3；即1 -3C；9C23nJCrnJ-3；C；=4；.构造恒等式(1 x)；(1 - x)；=(1 - x)2n.两边含x；项的系数相等，即Cn C： W V；C： V：clc； CT二C；，0 乞 m； (C)2(C；)2(C：)2 (C；)；二c；.7、会综合 在复习中还应注意与其它数学知识的横

9、向联系，尤其与数列、不等 式和三角的综合运用，这一层次的思维更具有广阔性。例 15、若实数x，y满足x y =1，求证：x5y51 两式相减，得a1a亠a99100516证：人1令x,1y二一：,则22x5y5厂（丄5151524亠展) ()51 22 16 216例 16、已知等差数列an及等比数列bn中，印 ab2，且这两个数列都是递增的正项数列，求证：当 n2时，an bnb2=b,则an=a (n _1)(b a).bn_ia+b an_ib an_i1b a2b a2bn=a(_)二=a(-)二=a(1+)=a1+Cn+Cn()aaaaa出川(一)nJa1(n -1)二a (n -1)(b - a)二anaa利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”（例 15）及“减项放缩法”（例 16 ）较为普遍二教案评析通过以上七个层次的复习，学生一般都能掌握二项式定理解题的常用方 法。数学思想和方法也得到一次系统的训练， 分析和综合能力有所提高， 收到 了复习的实效。二项式定理是高中数学中较为独特的一部分，教材中只简单地讲述定理的 推导、性质及应用。如果没有认真分析教材，复习课往往容易产生简单化倾 向，仅仅要求学生熟记公式、会代公式而言。其实，二项式定理内容虽不多， 但分散于教材及习题的解法却丰富地展示了待定系数法、构造法、取特殊