4..　垂径定理

1、24.1.2垂径定理垂径定理如图，如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥，求赵州桥主桥拱的半径（精确到拱的半径（精确到 0.1 m）1创设情境，导入新知创设情境，导入新知 学习目标：学习目标： 1、理解圆的轴对称性 2、掌握垂径定理及其推论 3、能利用垂径定理进行相关的计算和证明 学习重点：学习重点：垂径定理及其推论请请拿出准备好的圆形拿出准备好的圆形纸片，沿着它的纸片，沿

2、着它的任意一条任意一条直径直径对折对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么得到什么结论？结论？2探究新知探究新知（笔记）（笔记）可以发现：可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线直线都都是它的对称轴是它的对称轴【针对训练】A如图，如图，ABAB是是O O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CDCD，使，使CDCDABAB，垂足为，垂足为E E在折叠的过程中你能发现图中有哪些相等的线段和弧？在折叠的过程中你能发现图中有哪些相等的线段和弧？OABCDE 线段：线段： AE=BE弧弧:AC=BC,AD=BD2探究新知探究

3、新知证明证明:连接连接OA,OB,OA,OB, 做一做做一做则则OA=OB.CDABAE=BE.点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直线关于直线CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B 重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.OBDECA我们把这个结论称为垂径定理我们把这个结论称为垂径定理3获得新知获得新知（1）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平：垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.DOCAEBABCD, AB是直径是直径,CE=DE, AC =AD, CB=DB.（2

4、）符号语言：）符号语言：（3）垂径二字是何意？垂径一定是直径吗？）垂径二字是何意？垂径一定是直径吗？笔记：笔记：定理中的两个条件定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦过圆心，垂直于弦）缺一不可！垂缺一不可！垂径本质是径本质是过圆心，可以是直径、半径、过圆心的直线过圆心，可以是直径、半径、过圆心的直线下列哪些图形可以用垂径定理？下列哪些图形可以用垂径定理？DOCAEBDOCAEB图图1图图2图图3图图4OAEBDOCAEB【针对训练】3获得新知获得新知 垂径定理垂径定理：垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并且平弦，并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.DOCAEB笔记：笔记：24.1.2垂

5、径定理垂径定理（1 1）垂径定理的推论：）垂径定理的推论： 平分弦（平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分）的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条孤弦所对的两条孤. .3获得新知获得新知笔记：笔记：（3）为什么要在推论中加）为什么要在推论中加不是直径不是直径的限制？的限制？（2）任意两条直径都互相平分却不一定垂直任意两条直径都互相平分却不一定垂直不是直径不是直径根据垂径定理与推论根据垂径定理与推论“知二推三知二推三”对于一个圆和一条直线对于一个圆和一条直线, ,若具备若具备: :(1)(1)过圆心过圆心; ;(2)(2)垂直于弦垂直于弦; ;(3)(3)平分弦平分弦; ;(4)(4)平分弦所对的

6、优弧平分弦所对的优弧; ;(5)(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧. .上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论. .3获得新知获得新知笔记：笔记：【针对训练】4 4、已知：如图，在以、已知：如图，在以O O为圆心的两个同为圆心的两个同心圆中，大圆的弦心圆中，大圆的弦ABAB交小圆于交小圆于C C，D D两点，两点，ACAC BDBD（= =，），）证明：证明：过点过点O O作作OEABOEAB，垂足为垂足为E E， OEAB AEAEBEBE，CECEDEDE。 AEAECECEBEBEDEDE。 ACACBDBDE.ACDBO

7、【针对训练】= 已知：在已知：在 O中，中，AC,AB为互相垂直的两条相为互相垂直的两条相等的弦，等的弦，OD AB, OE AC求证：四边形求证：四边形ADOE为正方形。为正方形。ADBCOE 达标检测例例1 1 、如图，已知在、如图，已知在O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8 8厘米，圆心厘米，圆心O O到到ABAB的距的距离为离为3 3厘米，求厘米，求O O的半径。的半径。4利用新知解决问题利用新知解决问题COAB变式变式1 1 如图，已知如图，已知O O的半径为的半径为5 5厘米，圆心厘米，圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3 3厘米厘米 求弦求弦ABAB的长。的长。4利用新知

8、解决问题利用新知解决问题COAB变式变式2 2 如图，已知如图，已知O O的半径为的半径为5 5厘米，弦厘米，弦ABAB的长为的长为8 8厘米，求圆心厘米，求圆心 O O到到ABAB的距离。的距离。4利用新知解决问题利用新知解决问题COAB24.1.2垂径定理垂径定理例例2 (20132 (2013兰州中考兰州中考) )如图是一圆柱形输水管的横截面如图是一圆柱形输水管的横截面, ,阴影部分阴影部分为有水部分为有水部分, ,如果水面如果水面ABAB宽为宽为8cm,8cm,水的最大深度为水的最大深度为2cm,2cm,则该输水管则该输水管的半径为多少？的半径为多少？ 4利用新知解决问题利用新知解决问

9、题OABCD2RR变式：如图是一圆柱形输水管的横截面变式：如图是一圆柱形输水管的横截面, ,阴影部分为有水部分阴影部分为有水部分, ,如果如果截面直径为截面直径为1010，水面，水面ABAB宽为宽为8cm8cm，则该输水管内水的最大深度为，则该输水管内水的最大深度为多少？多少？ 4利用新知解决问题利用新知解决问题OABCD（笔记）（笔记）垂径定理基本图形的垂径定理基本图形的四变量四变量、两关系两关系1.1.四变量四变量: :如图如图, ,弦长弦长a,a,圆心到弦的距离圆心到弦的距离d,d,半径半径r,r,弧的中点到弦弧的中点到弦的距离的距离( (弓形高弓形高)h,)h,这四个变量知任意两个可求

10、其他两个这四个变量知任意两个可求其他两个. .2a( )2OACDB2.两关系两关系: +d2=r2;h+d=r.如图，如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥，求赵州桥主桥拱的半径（精确到拱的半径（精确到 0.1 m）1创设情境，导入新知创设情境，导入新知ACDBOAB=37米米CD=7.23米米半径半径R=？它的跨度（弧所对的弦长）是它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m37 m，拱高（弧的，拱高（弧的中点到弦的距离）为中点到弦的距离）为 7.23 m7.23 m内容内容（1 1）圆的轴对称性）圆的轴对称性（2 2）垂径定理）垂径定理（3 3）推论）推论（4 4）利用垂径定理解决问题）利用垂径