数控技术 第八章 轨迹插补

1、第八章 轨迹插补8.1 概述概述8.1.1 插补插补（Interpolation）插补：在轨迹起点和终点之间的数据密化。插补：在轨迹起点和终点之间的数据密化。8.1.2 插补插补方法方法硬件插补：硬件插补：软件插补：软件插补：脉冲增量插补：脉冲增量插补：数据采样插补：数据采样插补：每走一每走一“步步”的的行程是固定的行程是固定的，每走一，每走一“步步”的时间由系统控制，从而控制系统的运行速度。的时间由系统控制，从而控制系统的运行速度。多用于步进电机系统中。多用于步进电机系统中。每走一每走一“步步”的的时间是固定的时间是固定的，每走一，每走一“步步”的行程由系统控制，从而控制系统的运行速度。的行

2、程由系统控制，从而控制系统的运行速度。多用于伺服电机系统中。多用于伺服电机系统中。插补算法由专门的硬件电路实现。插补算法由专门的硬件电路实现。插补算法由计算机中运行的软件插补算法由计算机中运行的软件程序进行控制。程序进行控制。8.2 脉冲增量插补脉冲增量插补8.2.1 逐点比较法逐点比较法被控对象每走一步，都和规定的轨迹进行比较，被控对象每走一步，都和规定的轨迹进行比较，由比较结果决定下一步的移动方向。由比较结果决定下一步的移动方向。8.2.1.1 直线插补直线插补YXOE(Xe,Ye)A(Xa,Ya)B(Xb,Yb)eeYXYX直线方程为：直线方程为：以第一象限为例：以第一象限为例：A点在直

3、线的上方，则点在直线的上方，则B点在直线的下方，则点在直线的下方，则取判别函数取判别函数0aeaeY XX Y 0aeaeY XX Y eeFYXXY F 0，点在直线的上方，向，点在直线的上方，向 + X或或 Y方向走一步；方向走一步；F 0 ， 向向 + X或或 Y方向走一步。方向走一步。计算机迭代算法：计算机迭代算法：eeejieiejjijjejieiejjiiieiejjijiXFFFYFFFXFYXXYFYYYYFYXXYFXXXYXXYFFYX ,0 ,0 )1(1 )1(1 ),( ,1,1,11,即即：走走一一步步，则则若若沿沿走走一一步步，则则若若沿沿值值的的设设第第一一象

4、象限限中中的的点点逐点比较法直线插补的其他象限情况逐点比较法直线插补的其他象限情况Xe,YeX0,Y0X0,Y0X0,Y0X0,Y0Xe,YeXe,YeXe,YeYXIIVIIIIIF = 0, -XF = 0, -XF = 0, +XF = 0, +XF 0, +YF 0, -YF 0, -YF 0, +Y8.2.1.2 圆弧插补圆弧插补YX(Xe,Ye)(X0,Y0)F0原心在原点的原心在原点的圆的方称为：圆的方称为：0)()(202022 YXYX选判别函数选判别函数)()(202022YXYXF 则以第一象限逆圆为例：则以第一象限逆圆为例： F0，点在圆弧外，向，点在圆弧外，向X走一步

5、；走一步； F=0，点在圆弧上，向，点在圆弧上，向X走一步；走一步； F0，点在圆弧内，向，点在圆弧内，向+Y走一步。走一步。 12)()1(1 12)()1(1 )( ),( ,2020221,1,202022,11202022,jjijijijjijijijiiiiijijiYFYXYXFYYYXFYXYXFXXXYXYXFFYX走走一一步步，则则若若沿沿走走一一步步，则则若若沿沿值值的的设设第第一一象象限限中中的的点点计算机迭代算法计算机迭代算法逐点比较法圆弧插补的其他象限情况逐点比较法圆弧插补的其他象限情况XYOF 0F 0F 0F 0F 0F 0F 0F 0F 0F 0F 0F 0F

6、 0F 0F 0F 0IIVIIIII8.2.1.3 逐点比较法插补的特点逐点比较法插补的特点误差小于一个脉冲当量；误差小于一个脉冲当量；运算直观，输出脉冲均匀，输出脉冲的速度运算直观，输出脉冲均匀，输出脉冲的速度变化小；变化小；适用于使用步进电机驱动的开环数控系统；适用于使用步进电机驱动的开环数控系统；不适用于高速度、高精度、多轴联动的场不适用于高速度、高精度、多轴联动的场合。合。8.2.2 数字积分法数字积分法DDA Digital Differential Analyzer8.2.2.1 数字积分原理数字积分原理tYY=f(t)Y0ti-1tiYi-1Yi函数函数Y=f(t)的积分的积分

7、 tdttfS0)(若时间间隔若时间间隔t=ti-ti-1足足够小，则够小，则S离散化为：离散化为： tniitXdttfS011)(t取最小单位取最小单位“1”，则则 niiXS118.2.2.2 DDA直线插补直线插补OXVyVxV(Xe,Ye)Yt 时间内在时间内在X,Y方向上的方向上的位移量为：位移量为：tVYtVXyx 设直线长度设直线长度22eeYXL 对于直线有：对于直线有：LYVVLXVVeyex , 即即LVKYKYLVVXKXLVVeeyeex , 其中其中则则tYKYtXKXee 所以，各坐标轴的位移量为：所以，各坐标轴的位移量为： nietnietenietnieteY

8、KtYKdtKYYXKtXKdtKXX11101110取取取取在硬件在硬件DDA电路中，若积分累加器的字长为电路中，若积分累加器的字长为n位，则当累加器内的数值到达位，则当累加器内的数值到达2n时，就有一个时，就有一个溢出脉冲，终点坐标值越大（长轴），则该轴溢出脉冲，终点坐标值越大（长轴），则该轴方向上溢出脉冲的速度越快，即该轴的运行速方向上溢出脉冲的速度越快，即该轴的运行速度越快。度越快。若某轴终点坐标为若某轴终点坐标为m（单位为脉冲当量），则（单位为脉冲当量），则累加累加2n次之后，该轴方向上的溢出脉冲个数必次之后，该轴方向上的溢出脉冲个数必然为然为m个。个。此时，此时，nK21 DDA直

9、线硬件插补器流程：直线硬件插补器流程：X轴被积函数轴被积函数XeX轴积分累计器轴积分累计器Y轴积分累加器轴积分累加器Y轴被积函数轴被积函数YetX轴溢出脉冲轴溢出脉冲Y轴溢出脉冲轴溢出脉冲插补迭代插补迭代控制脉冲控制脉冲YX8.2.2.3 DDA圆弧插补圆弧插补P(X,Y)AVVyVxYXO图中所示第一象限逆圆图中所示第一象限逆圆KXVYVRVPVVAOPyxx , 得得由图中由图中 逆圆逆圆tXKtVYtYKtVXyx 对于对于n位硬件累加器，取位硬件累加器，取nK21 ，则，则tXYtYXmiinmiin 112121顺圆顺圆tXKtVYtYKtVXyx DDA第一象限逆圆硬件插补器流程：

10、第一象限逆圆硬件插补器流程：X轴被积函数轴被积函数YiX轴积分累计器轴积分累计器Y轴积分累加器轴积分累加器Y轴被积函数轴被积函数XitX轴溢出脉冲轴溢出脉冲X方向方向Y轴溢出脉冲轴溢出脉冲+Y方向方向插补迭代插补迭代控制脉冲控制脉冲YXDDA第一象限逆圆硬件插补过程：第一象限逆圆硬件插补过程：v X轴被积函数初始值置轴被积函数初始值置Y0， Y轴被积函数初始值置轴被积函数初始值置X0 ；v X轴积分累加器溢出到轴积分累加器溢出到X方向，方向， Y轴积分累加器溢出到轴积分累加器溢出到+Y方向；方向；v X轴方向每发出一个进给脉冲，轴方向每发出一个进给脉冲，Y轴被积函数轴被积函数 寄存器值减寄存器

11、值减1； Y轴方向每发出一个进给脉冲，轴方向每发出一个进给脉冲，X轴被积函数轴被积函数 寄存器值加寄存器值加1；v 当其中一个轴到达终点后，该轴不再迭代，当其中一个轴到达终点后，该轴不再迭代， 该方向到达终点。另一个轴也到达终点时，该方向到达终点。另一个轴也到达终点时， 迭代停止，插补结束。迭代停止，插补结束。DDA圆弧插补其他象限情况：圆弧插补其他象限情况：圆弧方向圆弧方向顺圆顺圆逆圆逆圆象限象限IIIIIIIVIIIIIIIVX轴轴进给方向进给方向Y轴轴进给方向进给方向X轴被积函轴被积函数修正符号数修正符号Y轴被积函轴被积函数修正符号数修正符号8.2.2.4 硬件硬件DDA插补存在的问题及

12、改进方法插补存在的问题及改进方法 加工工件的最大尺寸受累加器的字长的限制；加工工件的最大尺寸受累加器的字长的限制； 因为累加器的字长固定，造成速度不均。可因为累加器的字长固定，造成速度不均。可以使用以使用“左移规格化左移规格化”加以改善；加以改善； 长轴的脉冲先溢出，短轴的脉冲后溢出。使长轴的脉冲先溢出，短轴的脉冲后溢出。使用用“预置初值预置初值”减小加工误差。减小加工误差。8.2.2.5 软件软件DDA插补插补 随着加工程序段行程的变化而自动随着加工程序段行程的变化而自动改变积分改变积分累加器的溢出基值累加器的溢出基值，以提高脉冲发生率，稳定，以提高脉冲发生率，稳定脉冲输出速度，并可以增大加

13、工工件的尺寸；脉冲输出速度，并可以增大加工工件的尺寸；直线插补以位移量最大的坐标轴分量直线插补以位移量最大的坐标轴分量（长轴）为溢出基值（长轴）为溢出基值圆弧插补以半径圆弧插补以半径R为溢出基值为溢出基值积分累加器预置一定的初值积分累加器预置一定的初值，可以使被积函，可以使被积函数值较小的坐标轴提前发生位置变化，从而改数值较小的坐标轴提前发生位置变化，从而改善加工轨迹，提高插补精度。善加工轨迹，提高插补精度。直线插补预置溢出基值直线插补预置溢出基值(位移量最大的位移量最大的坐标轴分量坐标轴分量)的一半，的一半，“四舍五入四舍五入”；圆弧插补预置溢出基值（半径圆弧插补预置溢出基值（半径R ）减）

14、减1，即即 R1。软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例未置初值未置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例未置初值未置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例未置初值未置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例未置初值未置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例未置初值未置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例未置初值未置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例未置初值未置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例未置初值未置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例未置初值未置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举

15、例未置初值未置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例未置初值未置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例未置初值未置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例置初值置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例置初值置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例置初值置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例置初值置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例置初值置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例置初值置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例置初值置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例置初值置初值软件软件DDA

16、DDA圆弧插补举例圆弧插补举例置初值置初值软件软件DDADDA圆弧插补举例圆弧插补举例置初值置初值DDADDA插补的特点：插补的特点：运算速度快，脉冲分配均匀，易于实现多坐标运算速度快，脉冲分配均匀，易于实现多坐标联动和描绘多种平面函数；联动和描绘多种平面函数；需要采取必要的措施才能保证插补精度；需要采取必要的措施才能保证插补精度；脉冲增量插补的特点总结：脉冲增量插补的特点总结：控制简单，用于步进电机驱动的开环系统中；控制简单，用于步进电机驱动的开环系统中；由于受到步进电机运行频率的限制，速度较低；由于受到步进电机运行频率的限制，速度较低；步长（脉冲当量）是确定的，所以精度较低；步长（脉冲当量

17、）是确定的，所以精度较低；必须解决控制脉冲的生成问题，若使用软件定必须解决控制脉冲的生成问题，若使用软件定时，系统的运行速度将受到较大的影响；时，系统的运行速度将受到较大的影响；有其他的改进方法，例如针对逐点比较法的最有其他的改进方法，例如针对逐点比较法的最小误差法，针对小误差法，针对DDADDA的以割线代替切线的的以割线代替切线的DDADDA方法、方法、二阶近似二阶近似DDADDA方法等。方法等。8.2.3 数据采样插补数据采样插补数据采样插补用于闭环或半闭环的系统中，系统数据采样插补用于闭环或半闭环的系统中，系统的采样周期为固定值，该插补方法的实质是求出每的采样周期为固定值，该插补方法的实

18、质是求出每个周期的各坐标轴个周期的各坐标轴指令位置增量指令位置增量。早期数控系统中的早期数控系统中的CPU数学运算能力较差，尤其数学运算能力较差，尤其是不能计算三角函数，限制了插补方法，所以使用是不能计算三角函数，限制了插补方法，所以使用多种近似方法来代替三角函数的计算，在一些参考多种近似方法来代替三角函数的计算，在一些参考资料中有大篇幅的叙述。随着目前计算机技术的发资料中有大篇幅的叙述。随着目前计算机技术的发展，已经没有必要再采用这些方法了。展，已经没有必要再采用这些方法了。8.2.3.1 数据采样直线插补数据采样直线插补Pi+1PiZXYZXYPeP0FT设某直线的起点坐标为设某直线的起点

19、坐标为P0（X0，Y0，Z0），终点坐），终点坐标为标为Pe（Xe，Ye，Ze）。则该直线的方向余弦为：）。则该直线的方向余弦为： 202020020202002020200coscoscosZZYYXXZZZZYYXXYYZZYYXXXXeeeeeeeeeeee 每个采样周期中，每个采样周期中，X、Y、Z轴的指令位置增量轴的指令位置增量XX、YY、ZZ分别为分别为FT在三个轴方向上的投影：在三个轴方向上的投影： coscoscosTTTFZFYFX则指令位置的迭代算法为：则指令位置的迭代算法为： ZZZYYYXXXiiiiii111PiPi+1FTi+1i+1A AB BY YX XO OR

20、i i8.2.3.2 数据采样三角函数法圆弧插补数据采样三角函数法圆弧插补由由A到到B的一段圆弧，的一段圆弧，Pi和和Pi+1为圆弧上连为圆弧上连续的两个插补周期的续的两个插补周期的轨迹点。轨迹点。Pi坐标为坐标为（Xi，Yi），），Pi+1坐坐标为（标为（Xi+1，Yi+1）。）。合成的周期进给量为合成的周期进给量为FT。为每个周期进为每个周期进给对应的圆心角。圆给对应的圆心角。圆弧半径为弧半径为R。 则三角函数圆弧插补的迭代公式为：则三角函数圆弧插补的迭代公式为： sincossincoscossin sinsinsincossinsincoscos coscos1111iiiiiiiii

21、iiiiiXYRRRRYYXRRRRXRFT因为因为的值很小，可以的值很小，可以取取。和和可可以以求求出出为为： cossin , )2(sin21RFT 数据采样三角函数法圆弧插补的最大进给速度数据采样三角函数法圆弧插补的最大进给速度由于是使用两端在圆弧上的直线段（弦）去由于是使用两端在圆弧上的直线段（弦）去逼近圆弧，所以存在弦高差逼近圆弧，所以存在弦高差。将余弦函数按。将余弦函数按幂级数展开，并取幂级数展开，并取 ，则，则表示为：表示为：RFT RFRRT882cos122 可见，进给速度愈快，则造成的弦高差愈大。可见，进给速度愈快，则造成的弦高差愈大。 若系统允许的最大弦高差为若系统允许的最大弦高差为，则周期进给速，则周期进给速度度FT应该满足如下条件：应该满足如下条件： RFT8 min 4500008mmRTRF 例如，例如，取为取为1m，采样周期，采样周期T=8ms，可以编程，可以编程的最大的最大F进给速度应该满足如下条件：进给速度应该满足如下条件：8.2.3.3 多坐标数据采样插补多坐标数据采样插补对于超过三轴的插补速度控制，应该针对具体的对于