几何中旋转问题(打印无答案)

1、 熟练运用旋转解决平面几何中的问题平面几何的证题方法多种多样利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果 例 图1中以ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE 求证：(1)BG=CE；(2)BGCE一、按旋转的角度进行区分 1、90°角旋转 例1 E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD上的点，且CEF的周长是2求EAF的大小。 2、60°角旋转 例1 如图3，分别以ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、CD的中点。求证：AMN是等边三角形。 例2 在凸四

2、边形ABCD中，ABC=30°，ADC=60°，AD=DC证明:BD2=AB2BC2练习已知：如图，M是等边ABC内的一个点，且MA=2cm，MB=cm，MC=4cm，求：ABC的边AB的长度。3、旋转到特殊位置例1 如图，在ABC中，ACB=90°，A=25°，以点C为旋转中心将ABC旋转角到A1B1C的位置，使B点恰好落在A1B1上求旋转角的度数思考: 若A=，那么与有何数量关系? 二、按计算要求进行区分1、求角度例2、如图所示，ABC中，ACB=120°，将该图形绕点C按顺时针旋转30°后，得到ABC，则ABC的度数是 。2、求

3、线段间的关系或长度例1操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。图4图5例2、如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH，EF交AD于点H，那么DH的长是 。3、求面积 例1、如图4，ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以AD、BD为半径的圆的，求阴影部分面积。例2、如图所示，AOB中，OA=3cm，OB=1cm，将AOB绕点O按逆时

4、针方向旋转90°到AOB，那么AB扫过的区域的面积是 。图14、进行图形分割例4（厦门）如图6，在四边形ABCD中，A=90°，ABC与ADC互补。（1）求C的度数；（2）若BCCD且AB=AD，请在图上画一条线段，把四边ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由。5、构造平行四边形例5（天津） 已知任意凸四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到： （用“能”或“不能”填空）。若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。三、按旋转类型进行区分1、正三角

5、形类型在正ABC中，P为ABC内一点，将ABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个CP中，此时AP也为正三角形。 图（1-1-a） 图（1-1-b）例1. 如图：（1-1）：设P是等边ABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则APB的度数是_. 图（1-1） 图（1-2） 2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的CP中

6、，此时BP为等腰直角三角形。 图（2-1-a） 图（2-1-b）例2 . 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离 分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。 图（2-1） 图（2-2）例3 . 正方形ABCD中,边长AB=，点E、F分别在BC、CD上,且BAE=300, DAF=150。求AEF的面积。3、等腰直角三角形类型例4如图（4-1），在ABC中，ACB =900，BC=AC，P为ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求BPC的度数。 图（4-1） 例5. 如图（5-1），在ABC中，BAC =900，AB=AC，AB

7、C内一点O，AO=2cm,如果把ABO绕A点按逆时针方向转动900，使AB与AC重合，则O点经过的路径长为_。 图（5-1）例6 如图（6-1），五边形ABCDE中， ABC=AED=900，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积等于_。（2003年宁波市至诚杯竞赛题） 图（6-1） 4、 三角形与圆混合类型 （圆没学，暂时不用做）将CAD绕A点按顺时针方向旋转600到BA，经过旋转变化，将图（3-1-a）中的DC与BD组合在一条直线上，见图（3-1-b）此时BD是个平角，AD为正三角形。 图（3-1-a） 图（3-1-b）例7 如图（7-1），正三角形ABC内接于O，

8、P是劣弧上任意一点，PA=2，则四边形ABPC的面积为_。 图（7-1） 图（7-2）四、与旋转有关的探索型题目1、条件探索型条件探索型的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件.解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解(即执果索因). 例1:（遂宁）如图1,把正方形ACFG与RtACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2, BAC=600,若把RtACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,得ABC，A B分别与AC,AB相交于D、E,如图(乙)所示. ACB至少旋转多少度才能得到ABC?说明理由._G_B_F_C_A(甲)_E_D_G_B_F_

9、C_A(乙)图1.求ACB与ABC的重叠部分(即四边形CDEF)的面积(若取近似值,则精确到0.1)2、结论探索型 结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；解结论探索型题的方法是由因导果.例2:（衡阳市）已知，如图2，平行四边形ABCD中，ABCD，AB=1，BC=，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；OFEDCBA图2在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时

10、针旋转的度数.3、存在性探索型存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论. 例1.（河北）如图11，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转（1）如图12，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图13所示的位置时，线段F

11、E的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由图12EABDGFOMNC图13ABDGEFOMNC图11A( G )B( E )COD( F )注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.例2. （黑龙江鸡西）已知AOB=900，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交

12、于点D、E 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明 图2-1 图2-2 图2-3评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点：1.在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；2.再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到

13、求解的目的.练习部分一、选择题2、(陕西省) 如图，AOB90°，B30°，AOB可以看作是由AOB绕点O顺时针旋转角度得到的，若点A在AB上，则旋转角的大小可以是（ ）A30°B45°C60°D90°BCDEFA7、如图，在RtABC 中，D、E是斜边BC上两点，且DAE=45°，将绕点顺时针旋转90后，得到，连接，下列结论：；其中正确的是（ ）ABOA； B； C；D二、填空题2、（衡阳市）点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135º到点B，那么点B的坐标是 _ 3、 （枣庄市）如图，直线与轴、轴

14、分别交于、两点，把绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是 三、解答题4、（河南）如图，在RtABC中，ACB=90°, B =60°，BC=2点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为.(1) 当=_度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_； 当=_度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_；(2)当=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由5、如图，ABC中，ACB90º，ACBC1，将ABC绕点C逆时针旋转角。(0

15、º90º)得到A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F.(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明(ABC与A1B1C1全等除外)；(2)当BB1D是等腰三角形时，求；(3)当60º时，求BD的长6、（13分） 已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不

16、需证明7已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.(1) 如图1, 连接DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,判断命题:“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确,若正确请说明理由,若不正确请举反例说明;(2) 若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由. 8、将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放.（1）将图1中DEC绕点C顺时针旋转任意角度，则 ACB1+BCA1=_（2）、将图1中绕点C顺时针旋转45

17、6;得图2，点与AB的交点。求出图中ACP1的各个内角的度数； 求证：；（3）、将图2中绕点C顺时针旋转30°到（如图3），点与AB的交点。求出图中CP1 P2的各个内角的度数；线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（4）、将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到（如图4），连结，求证：AB. 9、把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中BF30°，斜边AB和EF长均为4(1)当 EGAC于点K，GFBC于点H时（如图），求GH：GK的值(2) 现将三角板EFG由图所示的位置

18、绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角满足条件：0°<30°（如图），EG交AC于点K ，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论； (3)在下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=，GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(备用图)(图)(图) ACBEDNM图3CBAED图1NMABCDEMN图210、 （海口实验区）在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.（1）、当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=ADBE；（2）、当直线MN绕点C旋转到图2的位置

19、时，求证：DE=AD-BE；（3）、当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.11 已知：将一副三角板(RtABC和RtDEF)如图摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将RtDEF绕点D顺时针方向旋转角(0°90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。（1）当30°时(如图)，求证：AG=DH；（2）当60°时(如图)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；AGDHMEFCBN图4

20、5°60°AEDBCFAGDHMEFCB(N)图图12已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点当绕点旋转到时（如图1），易证（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明BBMBCNCNMCNM图1图2图3AAADDD（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想13、ABC是等腰三角形，MN为AB上两点，如果，试说明AM、MN、NB可构成一个直角三角形的三条边.ACBMN14、已知如图P为正方形ABCD内一点，ABP经过旋转后到达CBQ的位置，（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连结PQ，试判断PBQ的形状；（3）若BPA=135°，试说明点A、P、Q三点在同一直线上；（4）若BPA=135°，AP=3，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积.ADBCPQ15已知RtABC中，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直