第五章,5.1.1,任意角

1、本文格式为word版，下载可任意编辑第五章,5.1.1,任意角 5.1 任意角和弧度制 5 1.1 任意角 学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念.3.理解并把握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合 学问点一 任意角 1角的概念： 角可以看成平面内一条射线围着它的端点旋转所成的图形 2角的表示： 如图所示：角 可记为或或aob，始边：oa，终边：ob，顶点 o. 3角的分类： 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 学问点二 角的加法

2、与减法 设 ， 是任意两个角， 为角 的相反角 (1)：把角 的终边旋转角 . (2)：() 学问点三 象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那 么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；假如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限 思索 锐角第一象限角小于 90的角三者有何不同？ 答案 锐角是第一象限角也是小于 90的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于 360的角，还可以是负角，小于 90的角可以是锐角，也可以是零角或负角 学问点四 终边相同的角 全部与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 s|k360，kz

3、，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和 思索 终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 答案 终边相同的角不肯定相等，它们相差 360的整数倍；相等的角终边相同 1其次象限角是钝角( ) 2终边与始边重合的角为零角( ) 3终边相同的角有很多个，它们相差 360的整数倍( ) 一、任意角的概念 例 1 (多选)下列说法，不正确的是( ) a三角形的内角必是第一、二象限角 b始边相同而终边不同的角肯定不相等 c钝角比第三象限角小 d小于 180的角是钝角、直角或锐角 答案 acd 解析 a 中 90的角既不是第一象限角，也不是其次象限角，故 a 不正确； b 中始边相同而终

4、边不同的角肯定不相等，故 b 正确； c 中钝角是大于100的角，而100的角是第三象限角，故 c 不正确； d 中零角或负角小于 180，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故 d 不正确 反思感悟 理解与角的概念有关问题的关键 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小另外需要把握推断结论正确与否的技巧，推断结论正确需要证明，而推断结论不正确只需举一个反例即可 跟踪训练 1 经过 2 个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是( ) a60，720 b60，720 c30，360 d60，720 答案 b 解析 钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转

5、过的角度都是负的，而212 36060，2360720，故钟表的时针和分针转过的角度分别是60，720. 二、终边相同的角 例 2 已知 1 845，在与 终边相同的角中，求满意下列条件的角 (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)360720之间的角 解 由于1 84545(5)360， 即1 845角与45角的终边相同， 所以与角 终边相同的角的集合是 |45k360，kz， (1)最小的正角为 315. (2)最大的负角为45. (3)360720之间的角分别是45，315，675. 反思感悟 终边相同的角的表示 (1)终边相同的角都可以表示成 k360(kz)的形式 (2)终边相

6、同的角相差 360的整数倍 跟踪训练 2 (1)若角 2 与 240角的终边相同，则 等于( ) a120k360，kz b120k180，kz c240k360，kz d240k180，kz 答案 b 解析 角 2 与 240角的终边相同， 则 2240k360，kz， 则 120k180，kz. (2)下列角的终边与 37角的终边在同始终线上的是( ) a37 b143 c379 d143 答案 d 解析 与 37角的终边在同始终线上的角可表示为 37k180，kz，当 k1 时，37180143. 三、象限角及区域角的表示 例 3 (1)(多选)下列四个角为其次象限角的是( ) a200

7、 b100 c220 d420 答案 ab 解析 200360160，在 0360范围内，与200终边相同的角为 160，它是其次象限角，同理 100为其次象限角，220为第三象限角，420为第一象限角 (2)如图所示 写出终边落在射线 oa，ob 上的角的集合； 写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合 解 终边落在射线 oa 上的角的集合是 |k360210，kz 终边落在射线 ob 上的角的集合是 |k360300，kz 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 |k360210k360300，kz (同学) 反思感悟 (1)象限角的判定方法 依据图象判定利用图象实际操作时，依据是终边相

8、同的角的思想，由于 0360之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系 将角转化到 0360范围内在直角坐标平面内，在 0360之间没有两个角终边是相同的 (2)表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界 其次步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角 和 ，写出最简区间x|x，其中 360. 第三步：起始、终止边界对应角 ， 再加上 360的整数倍，即得区域角集合 跟踪训练 3 已知角 的终边在图中阴影部分内，试指出角 的取值范围 解 终边在30角的终边所在直线上的角的集合为s 1 |30k180，kz，终边在18075105角的终边所在直

9、线上的角的集合为 s 2 |105k180，kz，因此，终边在图中阴影部分内的角 的取值范围为|30k180105k180，kz 确定 n 及 n 所在的象限 典例 已知 是其次象限角： (1)求角 2 所在的象限； (2)求角 2 所在的象限 解 (1)方法一 是其次象限角， k36090k360180(kz) k2 360452 k2 36090(kz) 当 k 为偶数时，令 k2n(nz)，得 n36045 2 n36090， 这表明 2 是第一象限角； 当 k 为奇数时，令 k2n1(nz)，得 n360225 2 n360270， 这表明 2 是第三象限角 2 为第一或第三象限角 方

10、法二 如图，先将各象限分成 2 等份，再从 x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为 2 的终边所在的区域，故2 为第一或第三象限角 (2)k36090k360180(kz) k7201802k720360(kz) 角 2 的终边在第三或第四象限或在 y 轴的非正半轴上 素养提升 分类争论时要对 k 的取值分以下几种状况进行争论：k 被 n 整除；k 被 n 除余 1；k 被 n 除余 2，k 被 n 除余 n1.然后方可下结论几何法依据数形结合，简洁直观通过该类问题，提升规律推理和直观想象等核心素养 1与30终边相同的角是( ) a330 b15

11、0 c30 d330 答案 d 解析 由于全部与30终边相同的角都可以表示为 k360(30)，kz，取 k1，得330. 22 020是( ) a第一象限角 b其次象限角 c第三象限角 d第四象限角 答案 c 解析 2 0205360220， 所以 2 020角的终边与 220角的终边相同，为第三象限角 3与460角终边相同的角可以表示成( ) a460k360，kz b100k360，kz c260k360，kz d260k360，kz 答案 c 解析 由于460260(2)360， 故与460角终边相同的角可以表示成 260k360，kz. 4若手表时针走过 4 小时，则时针转过的角度为

12、( ) a120 b120 c60 d60 答案 b 解析 由于时针是顺时针旋转， 故时针转过的角度为负数， 即为412 360120. 5.已知角 的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角 的集合是_ 答案 |k36045k360150，kz 解析 观看图形可知，角 的集合是 |k36045k360150，kz 1学问清单： (1)任意角的概念 (2)终边相同的角 (3)象限角、区域角的表示 2方法归纳：数形结合、分类争论 3常见误区：锐角与小于 90角的区分，终边相同角的表示中漏掉 kz. 1(多选)下列四个角中，属于其次象限角的是( ) a160 b480 c960 d1 53

13、0 答案 abc 解析 160是其次象限角； 480120360是其次象限角； 9603360120是其次象限角； 1 530436090不是其次象限角 2与457角的终边相同的角的集合是( ) a|457k360，kz b|97k360，kz c|263k360，kz d|263k360，kz 答案 c 3下面各组角中，终边相同的是( ) a390，690 b330，750 c480，420 d3 000，840 答案 b 解析 由于33036030，75072030， 所以330与 750终边相同 4若 是第四象限角，则 180 是( ) a第一象限角 b其次象限角 c第三象限角 d第四象

14、限角 答案 c 解析 可以给 赋一特别值60， 则 180240，故 180 是第三象限角 5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( ) a|45120 b|120315 c|45k360120k360，kz d|120k360315k360，kz 答案 c 解析 如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|45k360120k360，kz 650角的始边与 x 轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转 3 周，所得的角是_ 答案 1 030 解析 顺时针方向旋转 3 周转了(3360)1 080. 又 50(1 080)1 030，故所得的角为1 030. 7与2 020角终边

15、相同的最小正角是_；最大负角是_ 答案 140 220 解析 由于2 0206360140， 140360220， 所以最小正角为 140，最大负角为220. 8在 0360范围内，与角60的终边在同一条直线上的角为_ 答案 120，300 解析 与角60的终边在同一条直线上的角可表示为 60k180，kz. 所求角在 0360范围内， 060k180360， 解得 13 k73 ，kz， k1 或 2， 当 k1 时，120， 当 k2 时，300. 9已知 1 910. (1)把 写成 k360(kz,0360)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求 ，使 与 的终边相同，且7200.

16、解 (1)1 9106360250，它是第三象限角 (2)令 250n360(nz)， 取 n1，2 就得到符合7200的角 250360110，250720470. 故 110或 470. 10写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合 解 先写出边界角，再按逆时针挨次写出区域角，则得 (1)|30k360150k360，kz (2)|210k36030k360，kz 11(多选)角 45k180(kz)的终边落在( ) a第一象限 b其次象限 c第三象限 d第四象限 答案 ac 解析 当 k2m1(mz)时， 2m180225m360225， 故 为第三象限角； 当 k2m(mz)时，m3

17、6045， 故 为第一象限角 故 在第一或第三象限 12若 是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( ) a90 b90 c360 d180 答案 c 解析 方法一 特例法，取 30，可知 c 正确 方法二 由于 是第一象限角，所以 k36090k360(kz)，所以 270k360360360k360(kz)，故 360 是第四象限角 13终边与坐标轴重合的角 的集合是( ) a|k360，kz b|k18090，kz c|k180，kz d|k90，kz 答案 d 解析 终边在坐标轴上的角大小为 90的整数倍， 所以终边与坐标轴重合的角的集合为|k90，kz 14若角 满意 180360，角 5 与 有相同的始边与终边，则角 _. 答案 270 解析 角 5 与 具有相同的始边与终边， 5k360，kz，得 4k360，kz， k90，kz， 又 180360，180k90360， 解得 2k4，又 kz，k3.当 k3 时，270. 15设集合 m x x k2 18045，kz，n x x k4 18045，kz，那么( ) amn bnm cmn dmn 答案