高等数学课件：2-5 函数的微分

1、12.5 2.5 函数的微分函数的微分2一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,2xA 0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx边长由其3,)(00在在这这区区间间内内及及在在某某区区间间内内有有定定义义设设函函数数xxxxfy 定义定义)()(00 xfxxfy 如如果果,0无无关关的的常常数数而而与与是是仅仅依依

2、赖赖于于其其中中xxA )( xoxAy 时可表示为时可表示为当当0 x是是)( xo ,高高阶阶的的无无穷穷小小量量比比 x 即即或或记记作作,dd00 xxxfy 则则称称函函数数)(xfy 在在点点0 x可可微微， xAyxx 0d4由定义知由定义知: :;)(d)1(高高阶阶无无穷穷小小是是比比 xxoyy ;)2(无无关关的的常常数数是是与与xA )()(00 xfxxfy )()(xodyxoxA 5).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处处可可导导在在点点可可微微的的充充分分必必要要条条件件是是在在点点函函数数定理定理证证 (1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点设

3、设xxf),( xoxAy 即即,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数 0)(lim00 xxxfyx. . 即即 )( xoxAy , , (2) 充分性充分性,)(0可可导导在在点点函函数数设设xxf)(lim00 xfxyx .)( 0可可微微在在点点函函数数xxf6可导可导可微可微 .)(d)(xxfyxfy 的的微微分分为为函函数数Axf )(0 xxfyd)(d ).(ddxfxy 所以导数也称为所以导数也称为“微商微商”.,d xx记记作作通通常常把把自自变变量量的的增增量量 7说明说明

4、:0)(0 xf时 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时, xyyd 与是等价等价无穷小,当故当)(ddyoyy 8例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112又如又如,9二二 微分的几何意义微分的几何意义)(xfy 0 xMNTydy)( xo ）yxo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).d,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当yy xx0 P 来计算“微差

5、”。来计算“微差”。可近似代替曲线段可近似代替曲线段可用切线段可用切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当MNMPMx, )()(0 xoxxfy xxfy )(d0以直代曲以直代曲 10三三 微分的运算法则微分的运算法则1 1、函数和、差、积、商的微分法则、函数和、差、积、商的微分法则例如，从函数的商的求导法则例如，从函数的商的求导法则 2)(vvuuvvu 以及以及xuudd 和和在在xvvdd ，即有，即有 )(dvu2ddvxvuxuv xvud)( .dd2vvuuv vuvudd)(d uCCud)(d vuuvuvdd)(d 2dd)(dvvuuvvu 11结论结论：的的微微分

6、分形形式式总总是是函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量无无论论)(,ufyu uufufd)()(d 2 2、复合函数的微分法则、复合函数的微分法则xxgufyd)()(d 此性质称为此性质称为微分的形式不变性微分的形式不变性. . 12例例1 1.d, )eln(2yxyx求求设设 ,ee2122xxxxy .dee21d 22xxxyxx 分析分析xxfyd)(d 解法一：解法一：计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.13例例1 1.d, )eln(2yxyx求求设设 )e(de1d22xxxxy .dee2122xxxxx 解法二解法二: : 利用

7、复合函数的微分法则利用复合函数的微分法则.)ded(e122xxxx )ded(e1222xxxxx )d2ed(e122xxxxxx 14例例2. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd) d() 1 (tt d2cos) d()2( 221xt 2sin21说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意: 数学中的反问题往往出现多值性.)(22 44)(2?)(4sin22)sin(?2242k215例例3 3解解)()e (edxydy 隐函数微分法隐函数微分法 0)(e xyddy0e xdyydxdyyydxdyxy )(edxxydyy e16有有很很小小时时则

8、则当当处处可可导导在在点点若若,)(0 xxxfy .)(0 xxf 00dxxxxyy 四四 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用xxfxfxxf )()()(000 xxfxfxxf )()()(00017例例4 4.1.0253的的近近似似值值利利用用微微分分计计算算解解,)(3xxf 令令,025. 0 xxxfxfxxf )()()(000, 10 x由由得得33025. 01025. 1 025. 0)(1133 xx025. 031113/2 xx025. 0311 0083. 1 18例例5(P86 5(P86 第第6 6题题)(1)(1)解解求求点点可可导导在在设设,

9、)(0 xxfxxfxxfAx )()(lim000)()()()()(000 xoxxfxfxxf xxfxoxxfxfAx )(-)()()(lim0000 xxoxfx )(lim)(-00)(-0 xf 19例例6 6).|(|111很很小小时时利利用用微微分分证证明明xxnxn 解解,1)(nxxf 令令xxfxfxxf )()()(000, 00 x由由得得nx 1xxxnn 0)1(1xxnxn 011)1(11xn 11)158(例例参见参见P20说明说明:0)(0 xf时 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yydyyd 与是等价等价无穷小,当 )()(00 xfxxfxxf )(0)0)()()()(0000 xfxxfxfxxf21)