高等数学：D1_3函数的极限

1、一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :函数的极限 定义定义1 . 设函数f在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 Axf)(则称常数 A 为函数f当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0,0当),(0 xx时, 有若记作 Axf)(Axfxx)(lim0一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限例

2、例1. 证明)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0CC因此CCxx0lim总有例例2. 证明1)12(lim1xx证证:( )f xA1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时 , 必有1) 12()(xAxf因此( ),f xA只要,21x1)12(lim1xx例例3. 证明211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时 , 必有2112xx因此211lim21xxx1 x例例4. 证明: 当00 x证证:( )f xA0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此( ),f x

3、A只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有ox0 xx2. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf右极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim0020200,( ).xxxf xA当时，有12min(,) 取，得证。0:lim( )00,xxf xA证明“”由，对，当000( ).0 xxf

4、 xAxx时，有而0000 xxxxxx与和等价，故得证。0“”由条件，对，分别有10010,( );xxxf xA当时，有例例6. 设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理 3 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .XXAAoxy)(xfy A二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限定义定义2 . 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0X,)(,AxfXx有时

5、当则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线,0 xxf当)(A 为函数例例7. 证明. 01limxx证证:01xx1取,1X,时当Xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x即,1xoxyxy1.10的水平渐近线为xyyx1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(lim( )xf xA,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几

6、何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，oxyx21x21定理 1 如果 存在, 那么这极限是唯一的 证明， x x f B A 时的极限 当 都是 设 0 , , ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 A x f x x 时有 当 则 , ) ( 0 , 0 2 0 2 B x f x x 时有 当 故有 同时成立 时 则当 取 ， x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1 . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( B x f A x f B x f A x f B A . . 即其极限唯一 的

7、任意性得 由 B A (1)(2)1.唯一性唯一性三三. 函数极限性质函数极限性质)(lim0 xfxx2.局部有界性局部有界性定理定理2 若极限 )(lim0 xfxx存在， 则使得当有证明证明 00,M 和000,当00 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 x当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,A则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A则存在( A 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 若,0)(lim0

8、Axfxx则存在使当时, 有.2)(Axf推论推论:23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 x, ),(0 x),(0 xx0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分析分析:定理定理 4 . 若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx则. 0A)0(A证证: 用反证法.则由定理 1,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0A(同样可证0)(xf的情形)思考: 若定理 4 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf0000lim( ),(), ()lim()lim( )nxxnnnnxxf xxfxxx nNf xf xf x如果存在，为函数的定义域内任一收敛于 的数列 且满足：那么相应的函数值数列必收敛，且4. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定理定理5证证.)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当则则Axfxx )(lim0设设.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有时时使当使当对上述对上述,)( Axfn从而有从而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又内容小结内容小结1. 函数极限的或X定义及应用2. 函数极