多元函数微分学

1、多元函数微分学一、本章提要1 .基本概念多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数， 二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度2 .基本方法二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数隐函数微分法：拉格朗日乘数法3 .定理混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件二、要点解析问题1比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系解析 (1) 多元函数微分学的内容是与一

2、元函数微分学相互对应的由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论如果我们把自变量看成一点P ，那么对于一元函数，点P 在区间上变化；对于二元函数f(x, y),点P(x, y)将在一平面区域中变化.这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成u f(P)，它称为点函数利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成lim f(P) A, lim f(P) f(P0)P P0P P0(2 )二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P的变化从一维区间发展成二维为区域在区间上P 的变化只能有左右两个方向；对区域

3、来说，点的变化则可以有无限多个方向这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源例如， 考察二元函数的极限lim 丁 x 02y 0 x容易看出,如果先让x 0再让y 0 ,那么lim (lim : y 0'x 02x)1ym000,同样，先让0再让x0,也得到23xy2 2y但是如果让(x, y)沿直线ykx(k 0)而趋于(0,0),则有lim (lim - x 0 y 0 , xxy lim x 02y kx x它将随k的不同而具有不同的值,因此极限kx2Fhm_ y x 0x (1 k )xy2 y论并不一定成立.考察函数z f(x, y)xy2x0,2y2y0,0,fx(0,0)

4、lxm0f(0x,0) x0,同样fy(0,0)lim0 f(0,0 yy f(0,0)lym*0所以f(x,y)在(0,0)点可导.然而，我们已经看到极限limx 0 y 0f (x, y). xylim .x 0 x2 V2 y 0 x y不存在，当然 f(x, y)在(0,0)不连续.lim 7 x 02y 0 x不存在,从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂.又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结其实仔细想一想是可多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异, 以理解的.因为偏导数 fx(0,0)实质上是一元函

5、数f(x,0)在x 0处关于x的导数.它的存 在只保证了 一元函数 f(x,0)在点x 0的连续.同理，偏导数fy(0,0)的存在保证了 f(0,y) 在y 0点的连续，从几何意义来看， z f(x,y)是一张曲面，z f(x,0), y 0为它 与平面y 0的交线，z f (0, y) , x 0为它与平面x 0的交线.函数z f (x, y)在(0,0)处的可导，仅仅保证了上述两条交线在(0,0)处连续，当然不足以说明二元函数z f(x,y)即曲面本身一定在(0,0)处连续.(3)在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的.但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导

6、不能保证函数的连续，但若z f (x, y)在(x0, y0)可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式z fx(x0,y°) x fy(x0,y0) y o()其中当 0时，o( )0,从而lim z 0, x 0 y 0因此函数在(x0,y°)可微，那么它在(x0,y0)必连续.函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便.然而我们有一个很简便的充分条件：若f(x, y)在(x0,y0)不仅可导而且偏导数都连续，那么f(x, y)必在(x0,yO)可微.函数f(x, y)的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：dz fx(x, y)dx

7、fy(x, y)dy.(4)二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：极限存在_ 1 连续上 A偏导数存在V / /Z« 一可微 w A 偏导数连续问题2 如何求多元函数的偏导数？解析 求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法.例如，对X求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是 X的一元函数.这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用.对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时， 先复合再求导往往繁杂易错.如果复合关系中含有抽象函数，先复合的方法有时就行不通. 这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性.由

8、于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用.例 1 设 z exy sin y,求,.x y解直接求偏导数yexy sin y ,xz xy .xyxe sin y e cosy , y利用全微分求偏导数dz sin ydexy exydsin yexy sin y(ydx xdy) exy cos ydyyexy sin ydx (xexy sin y exy cos y)d y ,所以zyexy sin y, xexy sin y exy cos y .xy例 2 设 z f (exy,sin y),求二，二. x y解由复合函数求导法则，得f1(exy,sin y)

9、exy y , x f1(exy,sin y)exy xf2(exy,sin y)cos y ,y其中fi, f2分别表示f (exy,sin y) xexy,sin y的偏导数.问题3二元函数的极值是否一定在驻点取得？解析不一定.二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得.例3说明函数f（x,y） 1 9y2在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值.解lxm0f (0x,0) f (0,0)1 ,(x)2 1此极限不存在，所以在（0,0）处f x （0,0） 不存在.同理1ym0f (0,0 y) f (0,0)1ym0而且最大(2)(3)结合实际意义判定最大、最小值.从实际问题所归纳的极值

10、问题通常是条件极值.条件极值和无条件极值是两个不同的概念.例如，二元函数 z x2 y2的极小值（无条件极值）显然在（0,0）点取得，其值为零.此极限不存在，所以，在点（0,0）处，fy （0,0）不存在.但函数f （x, y） 1 xx2 y2f （0,0）1,即f（x, y）在点（0,0）取得极大值1.问题4 在解决实际问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题 有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值?解析在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小 值.最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系.如果连续 函数的最大、最小

11、值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值.又若函数在 区域内可导，那么它一定在驻点处取得. 由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数, （最小）值的存在性是显然的.因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步: 根据实际问题建立函数关系，确定定义域;但是（0,0）显然不是此函数的约束条件xy 1 0下的条件极小值点.事实上x 0, y 0根本不满足约束条件.容易算出，这个条件极小值在点1 11 1,（J,）处取得，其值为，从几何2 22上来看，它们的差异是十分明显的.无条件极小值是曲面22 一z x y所有竖坐标中的取小者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面 x上各点的竖坐标

12、中最小者.我们所说的把条件极值化成无条件极值来处理,22求驻点；并不是化成原来函数的无条件极值，而是代入条件后化成减少了自变量的新函数的无条件极值.例如把条 件y 1 x代入函数z x2 y2,便将原来的条件极值化成了一元函数22_ 2_z x (1 x) 2x 2x 1的无条件极值.用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点，到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件或其他方法判别.但是，若讨论的目标函数是从实际问题中得来，且实际问题确有其值，通 过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点就是极值点，无需再判断.例4求z x25在约束条件y 1 x下的极值.解作辅助函数F(x, y,(1 x

13、y),则有Fx2x,Fy2y解方程组2x2y1 xy12,0,0,0,现在判断P(一)2 2是否为条件极值点:由于问题的实质是求旋转抛物面z2y 5与平面y 1 x的交线，即开口向上的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点1 1、11P(1q)处取得极小值z 问题5方向导数和梯度对于研究函数有何意义?解析二元函数z f(x, y)在点(x, y)处的方向导数 上刻画了函数在这点当自变量沿着l射线l变化时的变化率，梯度 grad z的方向则是函数在点(x,y)处方向导数最大的射线方向.因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助.例5求函数u xy2z在点P(1

14、, 1,2)处函数值下降最快的方向.解负梯度方向是函数值下降最快的方向，因, u . grad u i x2y z i 2xyz jgrad u(1,-1,2) 2i4j故所求方向为grad(1,-1,2)2i 4j k .三、例题精选求函数,2x y2ln(1 x2y2)的定义域，并作出定义域图形.要使函数有意义，需满足条件2x112-y2 0,y 2x,x y2 0,即 x2 y2 1,2x y 1,(x,y) (0,0),O_2x.y 1x2y 2x定义域如图阴影部分所示.设 f(u,v) eu sin v,求 df(xy,x解一因为 f(u,v) eusinv,所以f (xy, xy)

15、exy sin(xyexy sin(xy)exy cos(xy)，xexy sin(xy)exy cos(xy)，所 df(xy,x y)ysin(x y)cos(xy) exydxxsin(xy) cos(x y) exydy .解二由复合函数求导法则得f V xye sin(x v xy)yexy cos(xy)，所以df (xy, xf v _xye sin(x v yy) exy ysin(xy)xexy cos(xy)，y)cos(x y)dxexy xsin(x y) cos(x y) dy.f (x, y, u) xy xF (u),其中 F为可微函数，且u ' ,验证z

16、zx y z xy . xy证 这是带有抽象符号的函数，其复合关系如图所示.同理有zy xyy设 f (x, y, z)F(u)dF uxdu ydF xF(u) y duexyz2,其中dF ux5 y F(u)dF, duxy y尤 2xyduz z(x, y)由方程xy dFx duxF(u)xxyz 0所确定，求fx(0,1, 1).解 f (x, y, z) exyz2对x求偏导，并注意到z是由方程所确定的x, y的函数，得fx x, y,z(x,y)exyz22ex yz xF面求_z ,由F (x, y, z) xx y z xyzFxFzCy，代入得1 yxfx x, y, z

17、(x, y)x 2e yz八 x 1 zy 2e yz ,1 yxfx(0,1, 1) e0(1)22e0 1 ( 1)(1)5.例10求曲面x22y223z 21平行于平面x4y6z0的切平面方程.解析 此题的关键是找出切点.如果平面上的切点为(x0,yo,zo),则曲面过该点的法向量可由x0,y0,z0表示.要使所求的切平面与已知平面平行，一定有切平面的法向量与已知平面的法向量对应坐标成比例.于是切点的坐标可找出.解设曲面一2_2_ 2_F(x,y,z) x 2y 3z 21 0平行于已知平面的切平面与曲面相切于（x0,y0,z0）,故该切平面的法向量nFx(Xo,yo,Zo),Fy(x0

18、, 丫。，)，Fz (x0, 丫。，)过(xo, yo，Zo)的切平面方程为2xo(x xo) 4yo(y y0) 6z°(z z0) 0,该切平面与已知平面 x 4y 6z 0平行，所以2x°4 y0 6zo, 146又由于(x0,yo,z0)在曲面上，所以 222x0 2y0 3z021,联立与式，解得x011,x021,y012,y022,z012.z022.将这两组值分别代入，最后得到切平面方程为及x 4y 6z 21 0,x 4y 6z 21 0.322例11 求函数z x 4x 2xy y的极值.解 第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点z 23x 8x 2

19、y 0, x2x 2y 0, y解出x10,X22,y10, y22.第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下:222zzzA2BCxx yy6x 822B2 AC结论(0,0)8 02 02 012 0是极值点，且为极大值点(2,2)4 02 02 012 0不是极大值点因此，函数的极大值为 z（0,0） 0.例12求曲线y lnx与直线x y 1 0之间的最短距离.解一 切线法.若曲线上一点到已知直线的距离最短，则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相 切；反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线.据此，我们先求y lnx的导数1 人,一，、，一，口y -

20、,令y 1 （已知直线上的斜率为 1）,得 xx 1,这时y 0,故曲线y ln x上点（1,0）到直线x y 1 0的距离最短，其值为1 0 112( 1)2解二 代入条件法（利用无条件极值求解）.设（x, y）为曲线ln x上任意一点,则点（x, y）到已知直线的距离为y ln x代入上式得易知x In x 1 0(x0),故 dx ln x 10,得x 1,这是函数u x ln x 1在(0,)内唯一驻点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在.于是由式得所求的最短距离为d 工 1 ln1 172.2解三 拉格朗日乘数法.设（x, y）为曲线y lnx上任意一点，则该点到直线的距离为x y

21、 112 ( 1)2xy x1y 2'显然，在上式中 y引入辅导函数12121F(x,y) x y xy x y - (y lnx),222解方程组Fx（x,y） x y 1/x 0,Fy（x, y） y x 10,y In x 0,，得（1,）0 .因为 0,故x 1,代入，得y 0,于是（1,0）是唯一 x可能的极值点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在，故曲线 y lnx上点（1,0）到已知直线的距离最短，其值为d = 1 0 1 V2 .四、练习题1 .判断正误 fx xg, ygfx x,yx x)y y0fx x, V。x x0表达式成立;解析 fx xq, Vq表示f（

22、x, y）在（x。，y。）对x的偏导数；fxx,yx -表示f (x, y)对x的x xoy y。偏导数在（xoy。）处的值；fx x, y。x x。表示f（x, y）先固定y y。后，函数f（x,y。）在 x x。处的导数.由偏导数定义及偏导数意义可知，三个表达式是相等的.(2)若z f(x, y)在Xo, yo处偏导数存在，则z f (x, y)在x°, yO处一定可微;解析由可微的充分条件知，只有z f(x, y)在点Xo,yo处的两个偏导数存在且连续时,函数z f (x, y)在该点一定可微.例如f (x, y)2xy /-22 , (x, y)x y0 ,(x,y)(0,0

23、)在(o, o)处偏导数存在，但不可微.(0,0) 若xo, yo为z f(x, y)的极值点，则 xo,yo 一定为驻点；()解析偏导数不存在的点也可能是极值点.例如z Z y2在(0, 0)处取得极小值，但zxzyx在(0,0)处偏导数不存在，不是驻点.(4)fx0就是函数f(x,y)在(0,0)处沿x轴方向的方向导数.(，)x y 0解析 沿x轴方向的方向导数 cos0 cos .l x y 2 x2 .选择题 设f(x,y) 2xy 2 ,则下列式中正确的是( C ); x y(A) f x,y f(x,y)； (B) f(x y, x y) f (x, y); x(C) f(y, x

24、) f(x,y)；(D) f(x, y) f(x,y).解析 f (x, y) 2 xy 2是关于x , y的对称函数，故 f (y,x) f (x, y). x y2 一 x一. z(2)设 z e cosy ,贝U( D )；x yxx xxx -(A) e sin y ； (B) e e sin y ； (C) e cosy ； (D) e sin y .2解析 一 ex cosy , ex sin y .xx y2已知f(x y,x y) xy2,则(c )；(A) 2x 2y; (B)x y； (C) 2x 2y (D) x y.解析 设x y u, x y v,2则 f (x y,

25、 x y) x2 ,、/、上a r一、y =(x y)(x y)变换为 f (u, v) uv .ffufvv u , xuxvxf _v v y所以-=(v u) (v u) x y2v 2x 2y .一 33 一 函数z x y 3xy的驻点为（B ）；(A) (0,0)和(1,0)；(B) (0,0)和(1,1)； (C) (0,0)和(2,2)； (D) (0,1)和(1,1).3x2 3y 0, 解析求两个偏导数x一 3y2 3x 0, y所以驻点为（0,0）和（1,1）.x 0,与 x 1,y 0, y 1,一 一22函数z x y 1的极值点为（D ）.(A) (0,0); (B

26、)(0,1)；(C)(1,0)； (D)不存在.解析求两个偏导数zx zy2x 0,得驻点为(0, 0),2y 0,22又因为 A z 2, B z 0, Cxx y2,则B2 AC 4 0,所以，驻点不是极值点，极值点不存在.3.填空题vy x21的定义域为一 22，、( x, y) y x 1；要使函数有意义，应满足1 >0,即 y > x21已知f(x, xy) x2xy2x yu,则f(x,x y) x2xyx(x y)xu ，关于x的偏导数(f) xx=2x2设 z ln(xy2),则dzdx设x2z Inu所以dz u从而曲面zFydudzdz udu y1 dx1dy

27、 = dxarctan(-)在点M (1,1,-)处的切平面方程为4F(x, y,z)Fxx1(-)2x曲面的切平面方程为(5)设 z ezxy解一令 F (x, y, z)arctan(y),xezy2xd)2xFxFy(1,11(x 1)2(y 1)(T2z0.x1 ezFz 1Fyx,所以FyFzx1 ez解二设z z(x, y),两边对y求偏导数，有+ ez =xy y即=x zy 1 e4.解答题(1)设可微函数f (x,u),u(x,t),t一 4 dzsin x,求； dx解偏导数为dzdx f+一dtdx(2)设 zx2从而一 cost . tf(x2y2所以，原结论成立.、几 22设x z从而Fz2 .y ),且f (u)可微,z _ dzx du证明z y- xx 0.yf(u)，