2015年数学高考模拟试卷1

1、2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第卷 （必做题 分值160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知全集，集合，则 2如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则z2的模为 3抛物线的焦点坐标是 4已知直线，则“”是“”的 条件5当向量，时，执行如图所示的程序框图，输出的值为 6为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为 788618915787定义在R上的偶函数（其中为常

2、数）的最小值为2，则 8设不等式组表示的平面区域为，是区域D上任意一点，则的最小值是 9已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 10已知，则= 11已知，若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是 12已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是 13已知等差数列的公差不为，等比数列的公比是小于的正有理数若，且是正整数，则等于 14在等腰三角形中，在线段上，（为常数，且），为定长，则的面积最大值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤1

3、5（本小题满分14分）函数的部分图象如图所示（1）写出及图中的值；（2）求在区间上的最大值和最小值16（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱中， 为正方形，是菱形，平面平面（1）求证：平面；（2）求证：；（3）设点分别是的中点，试判断四点是否共面，并说明理由17（本小题满分14分）如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角（1）求的长度；（2）在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？18（本小题满分16分）已知椭圆E：的离心率为，且过点右焦点为F，点N（2,0）（1）求椭圆E的方程；

4、（2）设动弦AB与x轴垂直，求证：直线AF与直线BN的交点M仍在椭圆E上19（本小题满分16分）已知函数（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）当时，求证：；（3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论20（本小题满分16分）数列的前项和为，且满足，（为常数，）（1）若，求；（2）若数列是等比数列，求实数的值（3）是否存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由第II卷 （附加题 分值40分）21【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定

5、区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，是外一点，为切线，割线经过圆心，若，求的度数B选修42：矩阵与变换 将曲线y2sin4x经矩阵M变换后的曲线方程为ysinx，求变换矩阵M的逆矩阵C选修44：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值D选修45：不等式选讲已知且，求证：【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

6、明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1ABAC1，ABAC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足（R）（1）证明：PNAM；（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置23（本小题满分10分）已知数列an满足：（1）若，求数列an的通项公式；（2）若，试证明：对，an是4的倍数 2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1 25 3 4充分不必要 52 60.625 72 8 9 10 11 12 13 14解析：24

7、,7由题意为偶函数，故，又的最小值为2，所以，所以10，故12设，所以，所以DABCxy13，令，为正整数，所以，解得，经验证时，14如图，以B为原点，BD为x轴建立直角坐标系xBy设A(x，y)，y>0因AD=kAC =kAB，故AD2=k2AB2，于是(x-l)2+y2=k2(x2+y2)所以，=，于是，二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（1）的值是的值是（2）由（1）可知：因为 ，所以 所以 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值0 16证明：（1）在菱形中，因为 平面，平面，所以 平面 （2）连接在正方形中， 因为 平面平

8、面，平面平面，平面，所以 平面 因为 平面， 所以 在菱形中，因为 平面，平面，所以 平面 因为 平面， 所以 （3）四点不共面 理由如下： 因为 分别是的中点，所以 同理可证：因为 平面，平面，平面，平面， 所以 平面平面因为 平面，所以 平面，即四点不共面 17解：（1）作，垂足为，则，设，则，化简得，解之得，或（舍）答：的长度为（2）设，则，设，令，因为，得，当时，是减函数；当时，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值，因为恒成立，所以，所以，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值答：当为时，取得最小值18（1）解：因为，所以，b=c，即椭圆E的方程可以设为将点P的坐标代入得：，

9、所以，椭圆E的方程为（2）证明：右焦点为F（1,0），设，由题意得所以直线AF的方程为：， 直线BN的方程为：， 、 联立得，即，在代入得，即所以点M的坐标为 又因为 将代入得，所以点M在椭圆E上19（1）解： 因为切线过原点，所以 ，解得： （2）证明：设，则令，解得 在上变化时，的变化情况如下表所以 当时，取得最小值 所以 当时，即 （3）解：等价于，等价于注意令，所以（I）当时， ，所以无零点，即F(x)定义域内无零点（II）当时，（i）当时，单调递增；因为在上单调递增，而，又，所以又因为，其中，取，表示的整数部分所以，由此由零点存在定理知，在上存在唯一零点（ii）当时，单调递减；当时，

10、单调递增所以当时，有极小值也是最小值，当，即时，在上不存在零点；当，即时，在上存在惟一零点2；12分当，即时，由有，而，所以在上存在惟一零点；又因为，令，其中，所以，因此在上单调递增，从而，所以在上单调递增，因此，故在上单调递增，所以由上得，由零点存在定理知，在上存在惟一零点，即在上存在唯一零点 综上所述：当时，函数F(x)的零点个数为0； 当时，函数F(x)的零点个数为1；当时，函数F(x)的零点个数为2；当时，函数F(x)的零点个数为3 20解：（1）因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 所以 所以 数列是以1为首项，3为公差的等差数列所以 （2）若数列是等比数列，则由（1）可得：解得：当时

11、，由得：显然，数列是以1为首项，1为公比的等比数列所以 （3）当时，由（2）知：所以 ，即数列就是一个无穷等差数列所以 当时，可以得到满足题意的等差数列当时，因为 ，即，所以 数列是以1为首项，为公差的等差数列所以 下面用反证法证明：当时，数列中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列假设存在，从数列中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为 设数列的公差为当时，所以 数列是各项均为正数的递减数列所以 因为 ，所以 当时，这与矛盾当时，令，解得： 所以 当时，恒成立所以 数列必然是各项均为负数的递增数列所以 因为 ，所以 当时，这与矛盾综上所述，是唯一满足条件的的值 第II卷 参考答案与解

12、析21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分A选修41：几何证明选讲解：连结，为切线，为割线，又，为切线，为切点，在中，B选修42：矩阵与变换 解：由条件知点(x，y)在矩阵M作用下变换为点，即M，所以M，设M1，于是有MM1 ，所以，解得，所以M的逆矩阵为C选修44：坐标系与参数方程解：（1）由，得所以曲线C的直角坐标方程为（2）将直线的参数方程代入，得设、两点对应的参数分别为、，则， ，当时，的最小值为4 D选修45：不等式选讲解：，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分 22解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz则P（，0,1），N（，0），M（0,1，），从而（，1），（0,1，），（)×0×11×0，所以PNAM； （2）平面ABC的一个法向量为n（0,0,1）设平面PMN的一