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文档简介

1、 抛物线的定值问题李远敬 （辽宁省本溪市机电工程学校 117022）【摘要】在长期的教学中，笔者经常会遇到或想到圆锥曲线的一些定值问题，学生们也需要教师给予解答和总结，笔者精选了抛物线十个定值问题，供师生们参考。 【关键词】抛物线；定值；焦点。1. 过抛物线焦点的直线与此抛物线交于两点，则 （1）（定值），（2）（定值），（3）（定值）。（请读者自证）2.已知AB是过抛物线焦点F的动弦。求证： （定值）。证明：设A()、B()，直线AB的方程为。当不存在时，。当存在时，由得 则 =3 过抛物线焦点F的两条相互垂直的弦AB和CD,则=（定值）。证明：设A()、B()、C()、D)，由上题得（1）

2、ABCD由（1）可得=（2）=同理=2.=。4.设MN是过抛物线焦点F的动弦。由M、N分别向抛物线的准线作垂线MA、NB,其中A、B是垂足。求证：AFB= (定值)。证明：设,N(),则A),B,F.,=0. FAFBAFB= 。5.过点P作直线交抛物线于、两点，交轴于点，若,求证：1（定值）证明见第6题，令。6.过点P作直线交抛物线于、两点，交直线于点，若,求证：-1-（定值）.证明：设A()，B()，M()，则由，即（）=，得=-1，同理得。所以=-2 （*）抛物线方程与直线的方程联立,列方程组 得则 （3） 因M()在（2）上，所以，得（4）将（3）（4）代人（*）中，得=-1-.7设F

3、是抛物线的焦点，A、B、C是抛物线上的三点，0。 则3（定值）.证明：设、是A、B、C三点的横坐标。因为0所以抛物线焦点F是ABC的重心。故（1）=，=， （2）由（1）（2）得3。8.过抛物线上一定点P()(0)分别作斜率为-和的直线、，设、与抛物线交与A、B两点，则直线AB的斜率为-（定值）。证明：设A()、B()，由 得则 （1）。同理，得（2）由（1）（2）得 则=-。9.设P()(0)是抛物线的一定点，斜率为-的直线与抛物线交与A、B两点，则直线PA、PB斜率之和为0（定值）。证明：设A()、B() 由得则。=0.10.已知抛物线上的两个定点P (),Q,),过P、Q作倾角互补的两条直线PA,QB,分别与抛物线交与异于P、Q的点A和B,则直线AB的斜率为（定值）。证明：设A(),B()因P、Q、A、B都在抛物线上，所以=，同理，。因为，所以故。【参考文献】1刘铭。平面解析几何的定值问题

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