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1、数列几道大题举例1. 已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；（3）当a>0时，求数列的最小项。分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由的不同而要分类讨论。解：（1）(n2)由得， ，即从第2项起是以2为公比的等比数列。（2）当n2时，是等比数列, (n2)是常数，3a+4=0，即 。（3）由（1）知当时，所以，所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，显然最小项是前三项中的一项。当时，最小项为8a-1；当时，最小项为4a或8a-1

2、；当时，最小项为4a；当时，最小项为4a或2a+1；当时，最小项为2a+1。 点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。考点二：求数列的通项与求和2. 已知数列满足（）求数列的通项公式；（）若数列满足，证明：是等差数列；（）证明： 分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。解：（1），故数列是首项为2，公比为2的等比数列。，（2），得，即得，即所以数列是等差数列（3）设，则 点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。3. 已知函数

3、,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（） （）若则当n2时,.分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。解：()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0<x<1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)<f()<f(1),即0<. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0<x<1,由,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.因为,所以,即>0,从而() 因为 ,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 <<= .由 两式可知: . 点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。考点四：数列与函数、向量等的联系4. 已知函数f(x)=，设正项数列满足=l， (1)写出、的值; (2)试比较与的大小，并说明理由；(3)设数列满足=，记Sn=证明：当n2时,Sn(2n1)分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)，

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