矩阵及向量外积在密码学中的应用

1、密码学中矩阵及向量外积的应用摘 要密码技术是一门古老而十分有用的技术，随着计算机通信技术的迅猛发展，大量的敏感信息通过公共设施或计算机网络进行交换。特别是 Internet 的广泛应用、电子商务和电子政务的迅速发展，越来越多的信息需要严格的保密，如：银行账号、个人隐私等。加密过程是实现安全系统的核心，矩阵在加密中起着重要作用，该论文结合矩阵加密的过程，利用向量的外积对通信信息进行加密，可以更好地提高密码的安全性能。AbstractCryptography is an ancient and very useful technique, along with the rapid developm

2、ent of computer communication technology, a large amount of sensitive information is exchanged through public facilities or computer networks. Especially the rapid development of Internet application, e-commerce and e-government, more and more information needs strict confidentiality, such as: bank

3、account, the personal privacy. The encryption process is the core of implementation of security system, matrix plays an important role in cryptography, the combining process matrixencryption, using a vector product to encrypt the communication of information, can better improve the safety performanc

4、e of the password.Keywords: password; matrix; vector product1 绪论近几年来，信息安全成为全社会的需求，信息安全保障成为国际社会关注的焦点。而密码学是信息安全的核心，应用密码学技术是实现安全系统的核心技术。随着信息系统及网络系统的爆炸性增长，形形色色的安全威胁严重阻碍了当前的信息化进程，因此，使用密码学来增强系统的安全性尤为重要，而密码学课程设计正是为这方面做出了具体的实践。在当今密码学不仅用于国家的信息安全上，人们已经将重点更多的集中在实际应用中，在我们的生活中就有很多密码，例如为了防止别人查阅你文件，可以将你的文件加密；为了防止窃

5、取你钱物，可以银行账户上设置密码等等。随着科技的发展和信息保密的需求，密码学的应用将融入了人们的日常生活。 1利用矩阵进行加密是密码学中信息编码的技巧,可以更好的提高密码的安全性能，而向量是特殊的矩阵，受矩阵加密过程的启发，该论文尝试利用向量的外积运算对信息进行加密与解密。加密过程中，需要进行加密的消息称为明文。用某种方法伪装消息以隐藏它的内容的过程称为加密，加了密的消息称为密文，而把密文转变为明文的过程称为解密。加密与解密的算法称为密钥。2 矩阵及向量外积的相关概念定义1 由mn个数构成的m行n列的数表a11 a 21 am1a12a22 am2a1na2n amn称为m行n列的矩阵，简称m

6、n矩阵.向量的外积满足反对称性=-()，且当,两两垂直时，若=，则()=m1,()=m2(其中m1，m2为整数)3 矩阵及向量外积在密码学中的应用结合矩阵加密的过程，该论文尝试利用向量的外积对信息进行加密，得到一密文矩阵，下面结合例子给出具体的加密与解密过程。3.1 加密首先将原明文按025与26个英文字母一一对应，然后将对应所得数组按三个数一组划分为几个三维向量。若明文的字母个数不能被3整除，则添零补齐。其次把分组所得三维向量两两作外积（作外积前，先作坐标向量旋转，使这两向量转变为相互垂直的两向量，这样便于解密。），若分组所得三维向量为奇数个，则最后一个向量不参与作内积。最后用上面所得向量构

7、成密文矩阵。例1 明文 battle on Tuesday 将明文与数字一一对应得一数组1,0,19,19,11,4,14,13,19,2 0按3个数一组划分为5个3维向量1=(1,0,19)2=(19,11,13,4,0,4)19) 18)24)3=(14,4=(20,5=(3,并把分组所得向量两两作外积。首先对1与2作外积.把2作坐标向量旋转，得一个与1垂直的向量，即1=(1,0,1,19)，2=(19,11,4).令1=2+x1-10使得 14)1即可，取1=(0,0)，显然11，此时x1=(-19,记1显然有1=11=(19,0,-1)，则1,1,1两两垂直且构成右手系，=m1(11)

8、(其中m1为整数),且可解得m1=1其次对3与4作外积.把4作坐标向量旋转，得一个与3垂直的向量，即3=(14，13，19)2=(-13,14，4=(20，418).令2=4+2使得 210,-18)3即可， 取0)，显然23，此时x2=(-33,247,记2显然有3=23=(266,=m2(22)365)，则2,2,3两两垂直且构成右手系，=365 -3310-18(其中m2为整数),且可解得m21911 4-19-10-4190-1204182662473653024根据加密过程可得密文矩阵其中密文矩阵的行数为3（即向量的维数），列数不定（由分组所得三维向量的个数确定），矩阵中的第一列为分

9、组后的第二个向量2；第二列为向量2进行坐标向量旋转的向量x1；第三列为1与1的外积1；依次排列第四、五、六列分别为4，x2，2；最后一列为分组后的最后一个向量5。当密文矩阵的列数不能被3整除时，说明分组所得三维向量的个数为奇数个，且密文矩阵的最后一列必为原明文分组后的最后一个向量。密钥为向量(1,365,0)，其中第一个分量是m1（即1是11的m1倍，），第二个分量是m2（即3是22的m2倍，），第三个分量表示原明文的字母个数不能被3整除时所添零的个数.3.2 解密根据加密的过程，对例1的解密过程如下，解密人收到密文矩阵19 11 4-19-10-4190-120418-3310-182662

10、473653024与密钥向量(1,365,0)时由加密的过程便可知密文矩阵的各列依分为2=(19,11,4,4)，x1=(-19,18)，x2=(-33,-10,10,4)，1=(19,0,-1)， 247,365)，4=(20,-18)，2=(266,且m1=1,m2=365.又密钥中第三个分量为0，于是原明文字母个数可以被3整除，且由密文矩阵的列数可知原明文被分的向量组数为奇数。 由1算得1=(1,=2+x1，1=m1(11)0,19)与2=(19,11,与2=4+x2，3=m2(22)可计4)，于是根据1=(1,0,19)，2=(19,11,4)，3=(14,13,19)，4=(20,4,18)，5=(3,0,24)与原明文字母个数可以被三整除，便可得原明文所对应的数组为1,0,19,19,11,4,14,13,19,20,4,18,3,0,24.最后把该数组对应到字母便可得原明文为 battle on Tuesday。4 结语通过学习矩阵在密码学中的应用，该论文尝试着利用向量的外积对消息进行加密。利用矩阵进行加密是信息编码的技巧，虽然密码学中运用的矩阵知识简单，但由此可见矩阵作为一个重要的数学工具，