矩阵的初等变换与应用

1、矩阵的初等变换与应用09金融2班 王启会 2009241078 一、矩阵概念线性方程组 系数的解取决于 系 数 常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为这就是矩阵。矩阵的定义 由m×n个数 排成的m行n列的数表 称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数称为矩阵A的（i,j）元。以数 为（i,j）元的矩阵可记作 或 ，m×n矩阵A也记作元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.n阶矩阵 A 也记作只有一行的矩阵 称为行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵

2、称为列矩阵，又称列向量。注意：1.矩阵是数表，行列式是由其元素经适当定义一种运算而得到的数。2.矩阵中行数与列数可以相等，也可以不相等。而行列式中的行数与列数必须相等。两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们为同型矩阵。如果 与 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即那么就称矩阵A与矩阵B相等。记作A=B。元素都是零的元素称为零矩阵，记作0。二、矩阵的初等变换的定义1.定义矩阵的初等变换：下面的三种变换称为矩阵的初等变换(1 ；.（换行或换列）(2 ；（数）（倍行或倍列）(3 ；.（倍行加或倍列加）2.矩阵与等价：经过有限次的初等变换变成. 记作.（1）等价的性质：反身性 ；对称性 若，则；

3、传递性 若，则.（2）任何矩阵都等价于一个标准形矩阵,即即存在有限个初等矩阵, 使.且矩阵的等价标准形惟一确定.（3）行阶梯矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全是零；每个台阶只有一行，台阶数为非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.例如上述两矩阵均为行阶梯矩阵.（4）行最简形矩阵：非零行的非零首元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵.为行最简形矩阵.例1 求所给矩阵A的行阶梯矩阵、行最简形矩阵以及等价标准型矩阵. （行阶梯矩阵）.（行最简形矩阵） （等价标准型矩阵）3.初等矩阵的概念（1）定义初等矩阵：由单位矩阵只经过

4、一次初等变换得到的方阵.或 均对应初等方阵:或 均对应初等矩阵:或 均对应初等矩阵:（2）初等矩阵行列式的性质 .重要结论：初等矩阵是可逆矩阵，且逆矩阵仍然是初等矩阵.(3初等矩阵的逆矩阵; , ;.(4初等矩阵的转置也是初等矩阵.; , ;.4.矩阵初等变换的重要性质【性质1】 设A是一个的矩阵，对A实施一次初等行(列变换，相当于在A的左边(右边乘以相应的阶（阶）初等矩阵. 【性质2】 方阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵，使得，即.【定理】设与为矩阵，则存在阶可逆矩阵,使.存在阶可逆矩阵,使.分别存在、阶可逆矩阵、,使.5.用初等变换求逆矩阵或解矩阵方程的方法若可逆,则也可逆,于是存在初

5、等矩阵,使，又 即，所以, 用分块矩阵运算表示为 .用初等变换求解矩阵方程，求解线性方程组(1解矩阵方程，其中可逆，则即 .(2解线性方程组，其中可逆.则，即 .(3解矩阵方程，其中可逆，则即 .【定理6】 矩阵方程 有解的充要条件是 .例2设，求线性方程组 的解.解 设.因为，所以可逆，且，即线性方程组都有惟一解，且解依次为.3.矩阵的秩（1）定义矩阵的阶子式：在矩阵中，任取行与列，位于这些行列相交处的个元素，按原相对位置构成的阶行列式.（）.的阶子式共有个.例3 矩阵的阶子式：(1 1阶子式如：,共有个.(2 2阶子式如：,共有个.(3 3阶子式如：,共有个.(4 （2）定义矩阵的秩设矩阵

6、中有一个非零的阶子式,而且所有阶子式(如果存在的话值全为，则称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩,记作,即.注：零矩阵的秩规定为.的最高阶非零子式称为矩阵的秩子式.例4 显然矩阵的秩为；.(3矩阵秩的性质.（结论显然成立） 若可逆,则（也称非奇异矩阵或满秩矩阵）.此时.若不可逆,，即方阵是降秩矩阵（也称为奇异矩阵）.此时有(注意：降秩与满秩矩阵都是对方阵而言的.初等变换不改变矩阵的秩,即，其中 为初等矩阵.若均可逆,则.若,则.若,则.结论：将一个矩阵左乘一个列满秩矩阵时，其秩不变.将一个矩阵右乘一个行满秩矩阵时，其秩不变.矩阵的初等行变换不改变秩子式的列位置；矩阵的初等列变换不改变秩子式

7、的行位置.二、例题1、解方程 .解 因为，且，故方程的解为 .2、设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（ ）（）. （）. （） （）. 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，而 ，则有.故应选（）.3、设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵， ，其中的逆矩阵为B，则a=_.【分析】 这里为n阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有=,于是有 ，即 ，解得 由于.4、设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则必有( .(A 或. (B 或.(C ab且. (D ab且. 【分析】 的伴随矩阵的秩为1, 说明的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件.【详解】 根据与其伴随矩阵*秩之间的关系知，故有，即有或.当时，显然, 故必