波的多解问题的分析

1、波的多解问题的分析 顾正祥 （江苏省镇江市实验高级中学 212003） 机械波是高中物理中学生最难理解和掌握的一个知识点，波的多解更令学生难以捉摸，作为教师，要善于引导学生去分析原因，抓住要点，把握处理方法，帮助学生顺利完成这一阶段的学习。本文就波多解形成的原因和处理方法等方面，做一些分析和研究。 一、多解形成的原因分析： （一）振动的周期性形成了波动周期的多解： 1、分析：简谐波中各质点做的是简谐振动，而简谐振动是一个周期性的往复运动，质点作一次全振动，位移、速度恢复原值，所以振动时间相差nT的两时刻，质点位移、速度相同；质点从一位置到另一位置的时间可能有多解，由此形成了振动周期的多解；而波

2、动周期等于振动周期 ，所以波动周期可能形成多解。 2、常见情况举例： （1）振动质点从平衡位置到最大位置或从最大位置到平衡位置。对于这种情况，在一个周期内其时间可能是：t =T/4 或 3T/4，扩展到n个周期内t =T/4 + nT 或 t =3T/4 + nT （n =0、1、2、3以下n 相同），所以波动周期的可能解为：T=4t /(4n+1）或T=4t /(4n+3）。 （2）振动质点从平衡位置到平衡位置 。对于这种情况，在一个周期内其时间可能是： t =T/2 或t = T，扩展到n个周期内，t =T/2 + nT 或 t =T + nT，所以波动周期的可能解为：T=2t /(2n+

3、1）或T=t /(n+1）。 （3）振动质点从正最大位置到负最大位置 。对于这种情况，在一个周期内其时间可能是 ：t =T/2，扩展到n个周期内，t =T/2 + nT， 所以波动周期的可能解为：T=2t /(2n+1）。 以上三例中，如果知道振动质点从一个位置到另一位置的时间t，就可以知道 波动周期 T的可能解。 （二）波动的周期性形成波长多解：1、分析：因为一个波长内有一个完整的波形图，相差一个波长的两质点振动情况相同，所以相差 m个波长的两质点运动情况也相同，这就是说振动情况完全相同的两质点平衡位置的间距为波长的整数倍，因此波中从一个质点的平衡位置到另一个质点的平衡位置的距离 x与波长间

4、的关系为：x = x + m（x 为一个波长内两质点平衡位置相差的距离，m=0、1、2、3以下m相同）。如果x已知，则波长可能有多个解。2、常见情况举例： （1）波中一个质点在平衡位置，另一个质点在最大位置。对于这种情况，在一个波长内的两质点平衡位置的间距可能是 ：x =/4 或x =3/4，扩展到 m个波长内，两质点平衡位置的间距 x = /4 + m或 x =3/4 + m，所以波长的可能值为：=4 x/（4m+1）或=4x/(4m+3）。 （2）波中一个质点在平衡位置，另一个质点也在平衡位置。对于这种情况，在一个波长内两质点平衡位置的间距 可能是 ：x =/2或 x = ，扩展到 m个波

5、长内，两质点平衡位置的间距 x = /2 + m或 x = + m，所以波长的可能值为：=2 x/（2m+1）或=x/(m+1）。 （）波中一个质点在正最大位置，另一个质点在负最大平衡位置。对于这种情况，在一个波长内两质点平衡位置的间距 是 ：x =/2，扩展到 m个波长内。两质点平衡位置的间距 x = /2 + m，所以波长的可能值为=2 x/（2m+1）。（三）波传播的双向性形成波长和波周期的两组解： 1、分析：振动在介质中可以向四面八方传播，在一维坐标系内有两个方向，这就是说波在一维坐标系内传播方向有两种可能，由此算出的波长和周期可能有两组解 2、常见情况举例： （1）波动中有 A、B两

6、质点，已知A在波峰处，B正好在平衡位置且向下运动，求波长？ 分析此例可知：在一个波长内，若波向+X方向传播，波形图如图所示， x =3/4，若波向X方向传 播，波形图如图所示，x = /4 。扩展到n个波长内，波向+X方向传播 x =3/4 + n，则=4 x/（4 n+3）；波向X方向传播x = /4 + n，则=4x/(4n+1）（n =0、1、2、3）。可见波长有两组解，而这是由于波的双向传播形成的。 （2）一列简谐波在x轴上传播，实线是某一时刻的波形图，虚线是经过时间t后的波形图，求波的周期？ 分析此例可知：在一个周期内，若波向左传播，x=0的质点经过t=3T/4到虚线波形图中的位置。

7、波向右传播时，x=0的质点经过t=T/4到达虚线波形图中的位置。扩展到n周期内，波向左传播时t =3T/4 + nT，波动周期的可能解为：T=4t /(4n+3）；波向右传播时t =T/4 + nT 波动周期的可能解为：T=4t /(4n+1）。可见波传播的双向性形成了波动周期有两组解。 二、多解问题的处理 1、抓住波传播的双向性。由波传播方向，分析波的周期和波长是否有两组解。 2、抓住波动的周期性。先考虑一个周期内的情况或一个波长内的情况，再扩展到n个周期内或个波长内，写出周期或波长的通式，具体情况见前面常见例子分析。 3、抓住振动与波动的关系。找出质点振动时间t1与波动时间t2关系：t1=

8、t2，T波等于T振；找出质点振动时间t1与波传播距离x的关系：x=vt，振动一个周期波向前传播一个波长；找出振动图象和波动图象的关系：一质点在振动图象中某一时刻振动的位移和方向与同时刻波图象中该质点位移和方向是对应的，这样可以从振动图象中知道该质点在该 时刻的振动情况，再回到波图象中去处理。 4、抓住题目中的限制条件。审清题目，找出限制条件，分析处理后取出符合题 意的解。具体分析见下面的例题讨论。三、多解问题的例题讨论：如图，A、B是一列简谐横波中的两点，某时刻A正处于正向最大位移处，另一点B恰好通过平衡位置向y方向振动，已知A、B的横坐标分别为XA = 0，XB 为70m，并且波长符合20m

9、80m，求波长？解析:根据题 中A点和B点的位置,作出AB间的两种最简波形图如图，由图写出这种情况的通式为：x=xA-xB=/4 + n，得=4x/(4n+1)4×70/(4n+1),其中n =0、1、2、3,将n =0、1、2、3依次代入通式得=280m,56m,31 m,由已知20m80m的限制条件,波长应为31 m或56m,且波向-x传播。由图写出这种情况的通式为：x=xA-xB=3/4 + n，得=4x/(4n+3)4×70/(4n+3),其中n =0、1、2、3,将n =0、1、2、3依次代入通式得=93 m,40m, m，由已知20m80m的限制条件,波长应为 m或40 m，且波向+x轴方向传播。说明：本题的解析是已知波长中的两 个持殊质点，求解波长的一般方法。如果题 目已知条件无任何限制，求出的波长应为两 组解。如果题 目已知条件对波长加了限制条件（本题中加了20m80m的限制），则从两 组中分别求出有限个解。题 目有时加“波在AB间传 播时间2T<t<4T，则两组波长通式中的n只能取2或3 ，每组中各确定出两解。如果题 目已知条件加了波的传播方向的限制，例如波沿+x轴方向传播，则本题中只有一组x=xA-xB=3/4 + n的通解，如果在限制传播方向的基础