高等数学21 离散型随机变量

1、2. 1 离散型随机变量离散型随机变量第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布一、古典概型：一、古典概型：定义在样本空间定义在样本空间 上的实值函数上的实值函数X=X () 称为称为随机随机X合合格格品品次次品品1 , =( ) =0 , = 1、定义、定义2.1: :变量变量. . 常用大写字母常用大写字母 X , , Y , , Z等表示随机变量等表示随机变量, 其其取值用小写字母取值用小写字母 x , , y , , z等表示等表示 .在掷骰子的试验中在掷骰子的试验中, , 用用X表示出现的点数表示出现的点数, 则有则有X () = , , 其中其中 = 1, 2, 3,

2、4, 5, 6在检验产品的质量试验中在检验产品的质量试验中, , 用用X表示合格品的件数表示合格品的件数, 若若 = 合格品合格品 , 次品次品 , 则有则有二、离散型随机变量的概率分布：二、离散型随机变量的概率分布：设设X是定义在样本空间是定义在样本空间 上的一个随机变量上的一个随机变量, , 若若X的的iip xP Xx() =1、定义、定义2.2: :其取值其取值 xi , i =1,2 , , , 记记全部可能取值只有有限个或可列无穷多个全部可能取值只有有限个或可列无穷多个, , 称称X是是一个一个离散型随机变量离散型随机变量 . .2、定义、定义2.3: :设设X是离散型随机变量是离

3、散型随机变量, , 其全部可能取值为其全部可能取值为i =1,2 , , , 称称 p(xi) , i =1,2 , 为为X的概率分布的概率分布 .X x1 x2 xi P p1 p2 pi X的的概率分布表概率分布表 或或分分 布布 律律iip x(2)() = 13、离散型随机变量概率分布、离散型随机变量概率分布 p ( xi ) 的性质的性质: :(1) p ( xi ) 0, (i =1, 2 , );例例2.1从一批有从一批有10个合格品与个合格品与3个次品的产品中个次品的产品中, 一件一件一件地抽取产品一件地抽取产品, , 每次取出一件产品后总将一件合格每次取出一件产品后总将一件合

4、格品放回该批产品中品放回该批产品中, , 直到取出合格品为止直到取出合格品为止, , 求抽取次求抽取次数的分布律数的分布律 . .解解 设设 X 表示表示“抽取次数抽取次数”，它的可能取值是，它的可能取值是1,2,3,4 , 而取每个值的概率为而取每个值的概率为P X10= 1 =,13P X3 1133= 2 =13 13169P X32 1272= 3 =,13 13 132197P X.321 136= 4 =13 13 13 132197因此因此X的概率分布为的概率分布为X 1 2 3 4P 10/13 33/169 72/2197 6/2197三、常见的离散型随机变量：三、常见的离散

5、型随机变量：把一个随机试验重复进行把一个随机试验重复进行n次次, , 每次试验的结果间互每次试验的结果间互kkn knnp kC ppk =n( ) =(1)(0,1, ) 1、二项分布、二项分布: :不影响不影响, , 每次试验只有两个可能的结果每次试验只有两个可能的结果: :事件事件发生发生, , 称这样的试验为称这样的试验为n重伯努利试验重伯努利试验, , 该数学模型该数学模型称为称为伯努利模型伯努利模型 .AA或或 定理定理2.1: :在伯努利试验中在伯努利试验中, ,若事件若事件A发生的概率发生的概率 P(A)= p (0p 0 ,其其中中 为为参参数数( ) .XP记记作作 例例2

6、.4某商店根据过去的销售记录知道某种商品某商店根据过去的销售记录知道某种商品= 10每每月月的的销销售售量量可可以以用用参参数数为为的的泊泊松松分布来描述分布来描述, , 为了以为了以 95%以上的概率保证以上的概率保证(设只在月底进货设只在月底进货)? 解解 设该商店每月销售该商品的件数为设该商店每月销售该商品的件数为 X ，据题意据题意, 要求要求 a 使得使得不脱销不脱销, 问商店在月底应存多少件该种商品问商店在月底应存多少件该种商品月底存货为月底存货为 a 件件, 则当则当 X a 时就不会脱销时就不会脱销 . P Xa 0.95kakek100100.95!X由由于于 服服从从参参数

7、数为为 = =的的泊泊松松分分布布, , 上上式式即即为为10由附录的泊松分布表知由附录的泊松分布表知kkek14100100.9166 0.95 .!于是于是, , 这家商店只要在月底存不低于这家商店只要在月底存不低于15件件, , 就能以就能以0.95以上的概率保证下个月该种商品以上的概率保证下个月该种商品不会脱销不会脱销 .kkkn knnnneC ppklim(1)=! 定理定理2.2(泊松定理泊松定理): :固定的非负整数固定的非负整数k , 有有nn, np设设 是是常常数数为为任任意意正正整整数数= = , , 则则对对任任一一0 , 注注 由泊松定理由泊松定理, , 可以将二项

8、分布用泊松分布来近似可以将二项分布用泊松分布来近似: :B n pn, p, 当当二二项项分分布布的的参参数数 很很大大 而而 很很小小时时 可可以以将将( , )np 它它用用参参数数为为 = =的的泊泊松松分分布布来来近近似似, , 即即有有kkkn knnneC ppk(1)! 50 , 0. 1np =PX210210.2381 = 0.7619 3、超几何分布、超几何分布: :设设N , , n , , m为正整数为正整数, , n N , , m N ; ; 又设随机变量又设随机变量定义定义2.6: :kn kmNmnNC CXP X = k = k =n C有有分分布布律律为为 ,0,1, X则则称称 服服从从超超几几何何分分布布 . .注注 从一个有限总体中进行不放回抽样均会遇到超几从一个有限总体中进行不放回抽样均会遇到超几何分布何分布 . . 如如, , 从包含从包含MM个不合格品的个不合格品的N N个产品中不放个产品中不放回地随机抽取回地随机抽取n个个, , 则其中含有的不合格品的个数则其中含有