大学物理：第6章 机械振动基础1

1、1第六章 机械振动 一个物理量一个物理量在某一在某一确定值附近确定值附近随时间作随时间作周期性的变化周期性的变化，则该物理量的运动形式称为振动。则该物理量的运动形式称为振动。振动振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动共振共振阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动物体在其平衡位置附物体在其平衡位置附近作来回往复的运动近作来回往复的运动 简谐振动简谐振动 简谐振动（简谐振动（S.H.V）是一种是一种最简单、最基本最简单、最基本的振动。一般复杂的振动。一般复杂的振动都是的振动都是S.H.V在一定条件下的合成，在一定条件下

2、的合成， S.H.V是振动的基本模型。是振动的基本模型。, ,rE H Q i （ 等等）等等）2一、简谐振动的定义一、简谐振动的定义1 1、用动力学方程定义、用动力学方程定义 物体离开物体离开平衡位置平衡位置的的位移位移按按余弦函数余弦函数(或或正弦函数正弦函数)的规的规律随时间变化，这样的振动称为律随时间变化，这样的振动称为简谐振动，简称谐振动简谐振动，简称谐振动。simple harmonic vibration (S.H.V.)kmx0 xkx22txmkxdd022xmktxddmk20222xtxdd2 2、 用运动学方程定义用运动学方程定义tAxcossinxAt或或二者关系？二

3、者关系？振动方程振动方程第六章 机械振动3 说明说明 （1 1） 上述方程对于上述方程对于非机械振动也成立非机械振动也成立。例例: 电磁震荡电路电磁震荡电路CLtiLCqddq0122qLCtqddtqidd（2 2） 从运动学方程从运动学方程tAxcossinAt 2cosaAt （3 3） 简谐振动的特点简谐振动的特点等幅性等幅性周期性周期性)()(Ttxtx物体所受的力与位移成正比而反向物体所受的力与位移成正比而反向cos2At2cosAt第六章 机械振动41. x 位移位移二、二、 振动参量振动参量tAxcos描述位置的物理量，广义上指振动的物理量描述位置的物理量，广义上指振动的物理量

4、2. A 振幅振幅 最大位移，恒为正，表征系统的能量最大位移，恒为正，表征系统的能量cost1xA振动的强弱振动的强弱3. T 周期和频率周期和频率1T22T固有周期和频率固有周期和频率4. （t） t 时刻的相位（位相）时刻的相位（位相）（1） 数学上，相位是一个角度，数学上，相位是一个角度，物理上，相位是描写振动状态的一个参量。物理上，相位是描写振动状态的一个参量。圆频率或角频率圆频率或角频率 T 的大小由振动系统本身性质决定的大小由振动系统本身性质决定 第六章 机械振动5相位确定了，振动状态就确定了。一个周期内，时相位确定了，振动状态就确定了。一个周期内，时间从间从0T物体运动所经历的状

5、态各不相同，不同的物体运动所经历的状态各不相同，不同的状态正好对应着相位从状态正好对应着相位从0 的变化。的变化。2（2） 用相位描述振动状态更能深刻反映物体运动的用相位描述振动状态更能深刻反映物体运动的周期性周期性。（3）：初相初相取决于时间零点的选择取决于时间零点的选择cos()xAtAsin()0At xOAA2t0 x A 32t0 x A0t第六章 机械振动6 由振动系统本身决定由振动系统本身决定 A，由初始条件决定由初始条件决定弹簧振子：弹簧振子：km单摆：单摆：gl三、三、 谐振动的描述谐振动的描述1. 解析法解析法tAxcos振动三要素：振幅、周期和相位振动三要素：振幅、周期和

6、相位) cos()(tAtxcos0Ax ) sin( tAvsin 0Av22002Axv100tg ()xv第六章 机械振动7例例 一弹簧振子一弹簧振子（m，k），），已知已知,k m2,Acm当当t0时，时，01,xcm00,试写出振动方程。试写出振动方程。解解:谐振动，方程形式为：谐振动，方程形式为：cos()xAt由初始条件：由初始条件：0cos1xA0sin0A 33或或3振动方程：振动方程：2cos()3kxtm由可得：由可得：再由可得：再由可得：第六章 机械振动8例例 一轻弹簧一轻弹簧（k），），下端挂一重物下端挂一重物m，用手拉物向下至，用手拉物向下至x处，处， 然后无初速度

7、释放。试写出振动方程。然后无初速度释放。试写出振动方程。解：解：原点取在原点取在原长原长建立坐标建立坐标 Ox 如图如图Oxx分析小球受力，分析小球受力，mgkx可得：可得：22d xmgkxmdt22d xkxgdtm（不是谐振动）（不是谐振动）原点取在原点取在平衡位置平衡位置 建立建立 ox轴轴oxx0()k xx202()d xmgk xxmdt220d xkxdtmcos()xAt二阶线性非二阶线性非齐次方程齐次方程第六章 机械振动9推论：推论： 若振动系统若振动系统除受弹性力外除受弹性力外，还受一恒力还受一恒力作作用，则系统的用，则系统的振动规律不变振动规律不变，只是改变了平衡位只是

8、改变了平衡位置，而坐标原点取在新的平衡位置上。置，而坐标原点取在新的平衡位置上。kmkmkmkm2mTk以上各振动均为谐振动，周期相同，但平衡位置不同以上各振动均为谐振动，周期相同，但平衡位置不同km第六章 机械振动102.旋转矢量法旋转矢量法用匀速圆周运动用匀速圆周运动 几何地描述几何地描述 S H V规定：规定：AA端点在端点在x轴上的投影式轴上的投影式逆时针转逆时针转以角速度以角速度 t + oxtt = 0 AA)cos()(tAtx谐振动谐振动 旋转矢量的大小旋转矢量的大小A振幅振幅 旋转矢量转动角速度旋转矢量转动角速度谐振动的角频率谐振动的角频率 旋转矢量和参考方向的旋转矢量和参考

9、方向的夹角夹角相位相位2Tt第六章 机械振动11例例 质点在质点在x轴上作谐振动，从轴上作谐振动，从ABOCD，请指出各点，请指出各点 时的相位，并说明相应的状态。时的相位，并说明相应的状态。OADCBx解解0A3B2O23CD例例 一弹簧振子，已知一弹簧振子，已知A、，试写出振动方程。，试写出振动方程。(1)开始时物体运动到正向最大位移处，开始时物体运动到正向最大位移处，(2)开始时物体在开始时物体在A/2处处,向向x正方向运动，正方向运动，解解oxA0cos()xAtoxA535cos()3xAt第六章 机械振动12例例 一质点在一质点在x轴上作谐振动，轴上作谐振动，T为已知，问：质点从为

10、已知，问：质点从AA/2和从和从A/20所需时间各为多少？所需时间各为多少？解解用相位分析问题用相位分析问题oxA1AA/2：相位变化从相位变化从0/3，13由由112Tt16TtA/20： 相位变化从相位变化从/3/2 ，262由由222Tt212Tt第六章 机械振动13以振动平衡位置为坐标原点，振动方以振动平衡位置为坐标原点，振动方向为纵轴，向为纵轴，t为横轴的为横轴的 x - t 关系曲线。关系曲线。2cosxAtT3. 振动曲线振动曲线oxtTAx0旋转矢量旋转矢量振动方程振动方程振动曲线振动曲线位移时间曲线位移时间曲线不是运动轨迹不是运动轨迹 第六章 机械振动14o()x cm( )

11、t s13323解解例例已知振动曲线，求振动方程。已知振动曲线，求振动方程。x12 3Acm2Ts2sT13cos()2xt223cos()xt由振动曲线由振动曲线1，12t0时，时，x00，0 0由振动曲线由振动曲线2，t0时，时，x03，0 0第六章 机械振动15相位差相位差利用相位差可比较两个振动的步调是否一致利用相位差可比较两个振动的步调是否一致111cos()xAt222cos()xAt同方向、同频率振动同方向、同频率振动21()()tt21（初相差）（初相差）1. 超前和落后超前和落后 t xOA1-A1A2- A2x1x2若若 = 2- 1 0 , 则则 x2 比比 x1 早早 达到正最达到正最大大 , 称称 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后 )。第六章 机械振动162k两振动步调相同两振动步调相同(21)kxtoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相2. 同相和反相同相和反