高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解析版)

1、2011年高考试题数学（理科）数列一、选择题:1. (2011年高考天津卷理科4)已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和,则的值为A-110B-90C90D110已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为A-110B-90C90D110【答案】D.【解析】，解之得，.2. (2011年高考江西卷理科5)已知数列的前项和满足:,且,那么 ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55答案：A 解析：，则（A）8 （B）7 （C）6 （D）5【答案】D【解析】故选D。5.(2011年高考上海卷理科18)设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积

2、（），则为等比数列的充要条件为（ ）A是等比数列。 B或是等比数列。C和均是等比数列。D和均是等比数列，且公比相同。【命题意图】本题考查等比数列的概念及充要条件的判断问题，难度较大.【答案】D【解析】由题意知=，若是等比数列，则=为非0常数，即=，=，和成等比数列，且公比相等；反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为，则=，则是等比数列，故选D.二、填空题1. (2011年高考广东卷理科12)设是等差数列的前项和，且，则答案：25解析：由可得，所以。2. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则.【答案】10【解析】由题得3. (2011年高考湖北

3、卷理科13)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升答案：解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.4.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）。【答案】2000【

4、解析】设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为=即时.5.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中，则解析：74. ，故6.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_【答案】【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。由题意：，而的最小值分别为1，2，3；。7(2011年高考北京卷理科11)在等比数列an中，a1=，a4=-4，则公比q=_；_。【答案】2 三、解答题:1. (2011年高考山东卷理科20)（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的

5、任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和.【解析】（I）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。因此所以公式q=3，故 （II）因为所以 所以当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，2.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分）已知等差数列an满足a2=0，a6+a8= -10（I）求数列an的通项公式；（II）求数列的前n项和.（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 5分 （II）设数列，即，所以，当时，所以综上，数列3.(2011年高考

6、浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，成等比数列（）求数列的通项公式及（）记，当时，试比较与的大小.【解析】（） 则 ，（）因为，所以当时，即；所以当时，；当时， .4.(2011年高考安徽卷理科18)（本小题满分13分）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.【命题意图】：本题考查等比和等差数列，指数和对数运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。【解析】：（）构成递增的等比数列，其中，则并利用

7、等比数列性质得，（）由（）知，又所以数列的前项和为【解题指导】：做数列题时应优先运用数列的相关性质，本题考查的是等比数列前n项积，自然想到等比数列性质：，倒序相乘法是借鉴倒序相加法得到的，这样处理就避免了对n奇偶性的讨论。第二问的数列求和应联想常规的方法：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法。而出现时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合起来就可以创造性的把问题解决。5.(2011年高考全国新课标卷理科17)（本小题满分12分）等比数列的各项均为正数，且(1)求数列的通项公式.(2)设求数列的前项和.分析：(1)先求首项和公比，后求通项(2)可以先求出，然后得新数列通项

8、后再求和解析：（）设数列an的公比为q，由得所以。由条件可知a0,故。由得，所以。故数列an的通项式为an=。（）故所以数列的前n项和为点评：本题考查等比数列通项公式，性质、等差数列前项和，对数运算以及数列求和（列项求和）与数列综合能力的考查。解答过程要细心，公式性质要灵活运用。6. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）已知数列与满足：，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（）设证明：【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.（）解:由,可得, 又当n=1时,由,得;当n=2时,可

9、得.当n=3时,可得.（）证明:对任意,-得 ,将代入,可得即(),又,故,因此,所以是等比数列.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意7. (2011年高考江西卷理科18)（本小题满分12分）已知两个等比数列，满足，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.解：（1）当a=1时，又为等比数列，不妨设公比为，由等比数列性质知： ，同时又有所以：（2）要唯一，当公比时，由且， ，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根），此时满足条件的a有无数多个，不符合。当公比

10、时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合综上：。8. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，故，），则（1）；（2）.答案：2; 1093解析：（1）由题意知，所以2；（2）通过例举可知：，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律：从而.评析：本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景，着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用.9. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,(1) 求数列的通项公式；(2)

11、证明：对于一切正整数n,【解析】（1）由令，当当时，当 （2）当时，（欲证），当综上所述10. (2011年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分）已知数列的前n项和为，且满足：()求数列的通项公式；()若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论.本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.解析：（）由已知，可得，两式相减可得即又，所以当时，数列为：；当时，由已知，所以于是由，可得，成等比数列，当时，综上，数列的通项公式为（）对于任意的，且成等差数列，证明如下：当r=0时，由（）知，对于任意的，且成等差数列；当时，若

12、存在，使得成等差数列，则，即，由（）知，的公比r+1=2，于是对于任意的，且，从而，即成等差数列.综上，对于任意的，且成等差数列.11.(2011年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分。（）小问5分，（）小问7分） 设实数数列的前n项和满足 （）若成等比数列，求和（）求证：对有。解析：（）由题意，得，由是等比中项知，因此，由，解得， （）证明：有题设条件有，故，且从而对有因，且，要证，由，只要证即证，即，此式明显成立，因此。最后证，若不然，又因，故，即。矛盾，12(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分) 设d为非零实数，an = C1n d+2Cn2d2+(n1)Cnn-1d n

13、-1+nCnndn(nN*).(I) 写出a1,a2,a3并判断an是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设bn=ndan (nN*)，求数列bn的前n项和Sn解析：（1）因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。（2）（2）（1）13.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且（）求的通项公式；（）设【解析】：（）由得，前项为，（）14.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当nk时，都成立（1）设M=1，求的值；（2）设M=3，4，求数列的通项公式【解析】考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转

14、化与化归、分析问题与解决问题的能力，其中（1）是容易题，（2）是难题。（1）即：所以，n1时，成等差，而，（2）由题意：，当时，由（1）（2）得：由（3）（4）得： 由（1）（3）得：由（2）（4）得：由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：由（5）（6）得：由（9）（10）得：成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：15(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分） 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 （1）记为满足的点的个数，求；（2）记为满足是整数的点的个数，求解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。（1）因为满足的每一组解构成一

15、个点P,所以。（2）设，则对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；当n-1被3整除时，解数一共有：当n-1被3除余1时，解数一共有：当n-1被3除余2时，解数一共有：16(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）若数列满足，数列为数列，记=（）写出一个满足，且0的数列；（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。解：（）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。（）令因为所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得17(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）已知等比数列an的公比q=3，前3项和S3=。（