极值点偏移问题专题(完整资料).doc

1、1此文档下载后即可编辑极值点偏移问题专题（0 0）- 偏移新花样（拐点偏移）例 1 1 已知函数f x 2ln x x2x，若正实数x1，x2满足f % +f x2=4， 求证：x1x22o证明：注意到f 1 =2,f x1+f x2=2f 1f x1+f x2=2f 12f x =+2x 10 xf x = 2 2,f 1 =0，则（1,21,2）是f x图像的拐点，若拐点（1,21,2）x也是f x的对称中心，则有X1X2=2，证明X1X22则说明拐点发 生了偏移，作图如下想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨 将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理. 不

2、妨设0洛1 X2，要证为x22x22 x11f x2f 2 x-i4fX1f 2为F xxf 2 x,x 0,1，则24fx-!f 2x-!3f 2 x 22x12 x4 1 x10,x 2 x得F x在0,1上单增，有F x F 1214，得证。X22x0fxf x22f x0X22x0X1X1X22x02xf x1X1f x2X22X0X22X04F xxf 2 x,x 0,1，则42 2、极值点偏移 PKPK 拐点偏移常规套路1 1、极值点偏移（f x00）二次函数f为f x2xjx?2x02 2、拐点偏移f X。0极值点偏移问题专题(1 1)对称化构造(常规套路)例 1 1 ( 201

3、02010 天津)已知函数f x xex.(1) 求函数f x的单调区间和极值；(2) 已知函数g x的图像与f x的图像关于直线x 1对称， 证明: 当x 1时，f x g x；(3)如果X1X2，且f X1f X2,证明：X1X22.解:/=/()，得力在(一比i)上/ 住口用)上(工)有极大值r磁小值：e(2)g(x)的圍像与/(天)的圍像关于直銭尤二1对祢则巩的解忻貳为y = /(2x),构造辅助囲数巩工)= /()-( =(2-功尸(力(工)52-对=( -x |+eT_1(x-l=(比_1)(严Sxl时，x-l0fe-e-O , ayF(j/)0得F(x)在(1严)上单堪胡F(x)

4、F(l)=0ffiD/(x)(x).(3)由结合于(工)的单调性可设AtVlvw将xj弋入(2)中不等式得5”又f(卫) = /()又1r2- 2-JP)rjq+匕2 来源:犠信公金号中学數学硏讨部落点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点 偏移问题的一般方法对称化构造的全过程，直观展示如下：6例 1 1 是这样一个极值点偏移问题：对于函数f x xex，已知f x1f x2，x1x2， 证明x1x22 再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1 1）x1，x2的范围0 x11 x2； （ 2 2）不等式f x f 2 x x 1；（3 3）将x2代入（ 2 2）中不等式，结

5、合f x的单调性获证结论 把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题例 2 2 （20162016 新课标I卷）已知函数f x x 2 exa x 12有两个零 点八、（ 1 1 ）求a的取值范围；（2 2）设Xi,X2是f x的两个零点，证明：XiX22.解：（1 1）0,，过程略；（2 2）由（1 1）知fx在,1上，在1,上Z，由fxifx20,可设x11 x2构造辅助函数F x f x f 2 xF x f x f 2 xx 1 ex2a 1 x e2 x2ax 1 exe2 x当x 1时，x 1 0,exe2 x0，则F x 0，得F x在,1上Z, 又F1 0,故Fx 0

6、x 1，即fx f 2 x x 1.将X1代入上述不等式中得f N f X2f 2 N，又X21,2 X11,f x在1,上Z，故x-i2x-i,X|x22.7通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一 般步骤有所了解.但极值点偏移问题的结论不一定总是XiX22X0，也可以是X1X2x，借鉴前面的解题经验，我们就可给出类似的过程.例 3 3 已知函数fXxlnx的图像与直线y m交于不同的两点像如下，得0 X-X21.eA Xi, yi,B X?,y2，求证:x1x2证明：（i i）X Inxi,得fx在0,-上，在ee上Z;当0 x1时，f x 0;f 10；当x 1时，x 0

7、;当x 0时，f x 0（洛必达法则）；当x时，f X,于是f X的图8ex1 +lfix4 -:Tj 1 + In-、-)二(1心工)1-舟)11f1当gw-时,I+IHAOr1oF得尸(TI在o.- ;/,有eC 亠J.e/（iii）将两代入（ii）中不等式得菲（珂）匕西丿心）叫西 可花c 4.来瀝：微信公众号中学数学硏讨却落e小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步:steplstepl:求导，获得f x的单调性，极值情况，作出f x的图像，由f Xif X2得Xi，X2的取值范围（数形结合）；step2step2：构造辅助函数（对结论NX22xo，构造2F x f x f 2xox；对结论x,X2x2，构造F x f x f西），x求导，限定范围（Xi或X2的