解析几何中斜率之积为定值的问题探究

1、微专题：解析几何中斜率之积为定值（k1 ?k2b2f 的问题探究a15【教学重点】掌握椭圆中b2的形成的路径探寻及成果运用理性判断a【教学难点】运算的设计和化简活动一：K?k2b形成的路径探寻a2X1.若AB是椭圆-2a2 1(a b b20）上的不过原点的弦，点P是弦AB的中点，且直线OP,AB的斜率都存在，求Kab?Kpo.【解析】：设点PX0,y0B X2 , y22VIb21(1)；X2y2b21（2）;（代点作差）将式减式得,苏01+制网-电）+£5+制）5_加=0凡+巧=2%,丁1+g=2稣所以2（.丫/）+-凶” 0所以再第一即 Kab?Kpob22 ,a【结论形成总结

2、】22【结论1】 若AB是椭圆 U y 1（a b 0）上的非直径的弦，点 P是弦AB的中点，且 a2 b2直线OP,AB的斜率都存在，则 Kab ?Kpo-by e2 1 .a2 X2.已知AB是椭圆一2 a2" 1（a b 0）上过原点的弦，点 P是椭圆异于A,B的任意一点, b2若直线pa,pb的斜率都存在，记直线 pa,pb的斜率分别为k1, k2.求k1?k2的值。【解法1】：设P x0,y0 , A x1,y1又因为a,b是关于原点对称,所以点B的坐标为B-K,- y1，所以 k1 ? k2y。 yi ? y。yi22y。yiXoXixoXi2X02 ,Xi又因为点Px,

3、y。,A Xi, yi在椭圆上,2 x0 所以有w a2V。1(1)；2 Xi -2 a2yii(2);两式相减得,22y。 yi22Xo Xi【方法小结】b2-r，a所以K?k2之a本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。【解法2】椭圆圆化；由圆的结论类比到椭圆中。过圆X2 y2 r2上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线，则两条连线的斜率之积为定值Kpa?Kpbi类比上述圆的结论通过伸缩变换椭圆圆化X x；v令a b2X2则有a2 y b2i(a b 0)22(X')2 y' iP X。，y。 P' ',""

4、; 点P,A,B为椭圆上点 a bAXi,yiA''，* 点p' ,a' ,b'为新圆上点a bB x, ViB'由圆上的kp'A'?kP,B， -i的关系过渡到pa,pb上(kp'A' ? kp'B-史)2 (Y_)2b '' b "1户)2(土)2a a22(yo) (y1)22(Xo)(X)b2a【方法小结】解法 2运用类比联想的方法；由圆的结论过渡到椭圆，学生易于理解，但通过 伸缩变换将椭圆圆化的过程对于学生的能力具有一定的要求。这也正是我们要 加强训练的地方。【结论形成总

5、结】22【结论2】 已知AB是椭圆 0 -y2 1(a b 0)的中心弦，点a bP是椭圆上任意一点,b2若直线PA,PB的斜率都存在，则 Kpa?Kpbja活动二：K?k2b2结论的应用a【例1】(1)已知椭圆c：一621直线m与椭圆C相交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1)3,【解析】本题具有弦中点的特征所以应用结论Kab?Kpob22a因为P(1,1)易求Kpo1的，所以Kab所以直线m的方程为：x+2y-3=0(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，R, F2分别为椭圆y2b21的左、右焦点，b1C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为 D.若cos F1BF2 2则直

6、线CD的斜率为.5【解析】观察图形易发现 BC具有中心弦的特征选用结论 2因为 cos F1BF2 1 所以 F1BF2 600 2所以 OBF2 300 ；在Rt BOF2中易知BF2 2OB 3 bBF2O 600所以直线BD的倾斜角为1200所以直线BD的斜率为Kbd -J3;b233由结论可知Kbd ?Kcd 所以Kcd a24 CD 4【方法小结】通过两道小题强化结论的应用；并让学生能够通过图形自主发现中点弦，中 心弦的特征，从而合理巧妙的应用结论。22l2是椭圆的右准线,MN的最小值。一 xy.【例2】如图，椭圆 一 y- 1中，A,B分别为椭圆的左右顶点，43P是椭圆上的动点，直

7、线 AP,BP分别交心于M,N,求线段【解析】【设K法】设直线AP的斜率为K (k>0),则直线AP的方程为：y=k(x+2);又MN的方程为x=4.易求M(4,6K);y k(x 2)x2y23 4k2x216k2x16k212 。又 A(-2,0)；设PX0,y0 143(-2) xo16k2 123 4k2xo6 8k2曰/日3而勿信y012k3 4k26 8k212k、P( 2,2)3 4k2 3 4k2N(4,)；所以 MN2k1 一2时等号成立)解法二：【利用中心弦结论 Kpa?Kpbb2 -31 a 4设直线AP的方程为：y=k(x+2);因为Kpa ?Kpbb1 -2 K

8、 -Aa24 pb 4k所以直线PB的方程为：y3 一 一3 .一 (x 2);易得 M(4,6K) ; N(4, 一)4k2k所以MN6k 32k,一， ,1 一，6(当且仅当k 1时等号成立)解法三：【设点法】设 M(4,m)(m>0);N(4,n)(n<0);A(-2,),B(2,0) KPA m; KPB -PA 62Kpa?Kpbmn12b23c 3 -a4m( n) 9一.一，一 33 .又点B (2,0);所以Kpb ；所以直线PB的方程为：y (x 2);令x=4得4k4k3一6k 6(当且仅当k2kMN m ( n) 2v1m( n) 6(当且仅当m ( n) 3

9、时等号成立)【点评】三种方法两个角度：显然从设点和设速计算找到解题的突破口。【拓展延伸】K的角度处理问题结合中心弦的结论能够快在平面直角坐标系xOy中，设A,B为椭圆y21上异于顶点的两点。1_2_2(1)若OA,OB的斜率之积为,求证：OA OB为定值;21(2)若OA,OB的斜率之积为,求证：线段 AB的中点2C在某个定椭圆上。【解析】第一小问设A(x1,y1)；B(x2,y2)； K°a?K°bV1V2*212；2y1y24x2224y1 y222x x2 ；又因为点A,B在椭圆上2_2X 2-2y1；x22-2y22代入上式得:2224y1 y2x x2(2-2y：

10、) ?(2-2y22)2y21_2_22OA2 OB2 x1222V1 x2 V2,2、(2-2yJ2 ,2、小(2-2y2)2V2 422(y1 y2 )3(2)设C(Xo, y0);因为C为AB中点2x0x1平方2 y0V1V24x024 y022X2V12 t、2x1x2 x2 (1)厂, x1 222( ) 因为 Koa?K2yy2 y2 (2)OBy2印21-；221iV2X1X204y1y22x1x20;所以(1) +X2可得2224x08 y0 x1222Vl 用2xo【探究形成结论】在平面直角坐标系 xOy中，设A,B为椭圆2x2ay2b71(a0)上异于顶点的两点。OB2 a

11、2b2;b22(1)若OA,OB的斜率之积为Koa ? Kob ；贝U OA2 a【解析】设 A（Xi，y）B（X2，y2）； Koa?KobX1X2b2-2 ；a2a yiy22b X1X2422a yi y2422b Xi X2 ；又因为点A,B在椭圆上22222 222222 2 一bx a y1 a b ; b x2 a y2 a b 移项得:得:-a2y12 b2x12 -a2b2(1) ; -a2y22 b2x22-a2b2(2)由(1)/ 2 24/ 22、c/ 2 -24 2 222_2a y1y 2b(X1- a )? ( x2 - a ) bX1x2X1x2a由(1)+(2

12、)得：-a2(y12y22)b2(x12x22)-2a2b2a2b2y12y22b22222222,2OA OB X1 y1 X2 y2abb2（2）若OA,OB的斜率之积为-2,求证：线段 AB的中点C在某个定椭圆上。a设C（x0, y0）；因为C为ab中点2X0 x1 X2 平方2y° V1V24X024yo222八X12X1X2 x2 (1)22,V12丫1丫2 y2 因为 Koa?Kobb2X1X22.222a y1y2 b x1x2 0；所以(1) b (2) a 可得4b2Xo2 b2x； 2b2xx2 b%2。)足 2 -2。2. 22 22 222 2 4b X0 4

13、a yo2ab4a v。a V12a y* a y2 (2)22AB的中点轨迹方程为：*Vt 1 a b22【小结】伴生结论：x）2 x22 a2; y12 y22 b2【巩固练习】1. （2。11江苏卷18）如图，在平面直角坐标系xOy中，M N分别是椭圆2-y-1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过 P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k,对任意k>0,证明：PA PB法一：运用点差法求解；主要应用上述结论推导过程中设点作差的思想方法。由题意设 P(X0,y0),A( xo, y。), B(xi,y)则C(x0,0),

14、QA、C、B三点共线,也 江_也，又因为点P、B在椭圆上, x1 x。 2x。 xi x。222xoyo142,42yL 1 ,两式相减得:2kpBx。 x12（ y。y1）kpAkpB9户、x。2（ y。y1）（y1 y0）（x。 x1）（x1%）（y。 y1）1 PA PB法二：注意有 中心弦的特征所以尝试运用 结论1的方法由题意设 Plx。d。),” X0, y。)，B(x1,y1),则C(x。,。)KPAy。一；x0K AB K ACy。2x。1 人KPA ；由结论2 PA1:Kab?Kpbb2-2a1 一 12;用"代换Kab则 KAB?KPB1-Kpa?KpbKPA ?

15、K PB1 PAPB法三：因为AB不是中心弦，通过 构造弦AB中点尝试运用 结论2的方法设 A(x1, y1), B(x2, y2),A,B 中点 N(x0,y。),则 P(-x1, y1),C(-x1,。),QA、C、B三点共线,y2X2Xiy2yiyiX2Xi2x1kAB，又因为点A、B在椭圆上,2X22 y222i,Y2左i,两式相减得:2yoXo2kABkONkPAyo yiXo Xii2kAB2kAB1,ON / PB, PA PB【点评】通过一道例题将上述结论的探究方法（设点法，点差法等）以及两个结论都的到 了运用。起到了典例示范的作用，并通过三种方法的对比训练学生发现中心弦特 征

16、；挖掘弦中点的方法技巧；真正起到学以致用的作用。2 . X2.如图，已知椭圆 Ei: -2 a2yy i(a b 0)椭圆 E2： b22X4a22"i(a b 0), 4b2椭圆Ei的离心率为 , 2P在椭圆E2上，过点P的直线L交椭圆Ei于A,B两点，且1AP AB,若直线op,oa的斜率之积为-,求实数 2的值。【解析】方法一：由题意得X2 2y2 8b2,X2 2y； 2b2,X2 2y2 2b2,uurAPuur AB,所以(Xo (yoXo则（X01)Xi)2yiXi即 X0X12y0yi 0,X2Xo (1)xXi, yoyi)(X2 Xi,y2 y1)，解得1)yi

17、221)2 2b2则 X2 2(1)XoXi (1)2Xi2 2y2 4(1)y0yi 2(X2 2y；) 2(1)(XoXi 2y°yi) (1)2(痛 2y2) 222222 一22 一所以8b (1) 2b 2 b ,即4 (1) ，所以方法二：不妨设点 p在第一象限，设直线OP: yy2yo (1)yi,、2 2-2, 2i) yi2 b2b2kX(k o),代入椭圆E2：x2 2y2 8b2,解得xo2、2b,1 2k2，则yo2、.2bk,1 2k2_ i直线OP,OA的斜率之积为 -,则直线2OA:y1一x , 2k代入椭圆E1 : x2 2y2 2b2,解得x12bk.1 2k2，则 yib.12k2uurAPuurAB,则(Xo Xi, yo yi)(X2y1)，解得X2Xo (1)Xi所以（xo (1)X12 . yo (1)yb22)2() 2by2yo (i)yi则X22(1)XoXi (1)2Xi2 2 y24(i)yoyi 2(2 2i) yi2 2b2(X22yo)2(1)(xoXi 2yoyi)(22_ 21) (Xi 2yi)2b2所以8b22(2 .2b / 2bk 、1)( 2 ( =2). 1 2k 1 2k2 _2=2b