专题24二次函数中的菱形问题(解析版)

1、专题24二次函数中的菱形问题1、如图，已知抛物线)，=炉+云+。与x轴交于点工B, AB=2,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2.(1)求抛物线的函数表达式：(2)根据图像，直接写出不等式/+云+，>0的解集：.(3)设。为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点,4, B, D, E为顶点的四边形是菱形，则点。的坐 标为：-7【答案】(1)-4x+3： (2) x<l nJcx>3： (3)(2, -1)【解析】(1)如图，48=2,对称轴为直线x=2.b=-4，点d的坐标是(L 0),点5的坐标是(3, 0).把H、3两点的坐标代入得:C + "c=°,

2、解得:、9 + 3b + c =0抛物线的函数表达式为)=/一公+3；.(2)由图象得：不等式/+及+。>0,即)，>0时，xVl或x>3；故答案为：无VI或%>3：(3) (2, -1).尸乩+3= (x-2) 24，顶点坐标为(2,-1),当E、D点在x轴的上方，即DEAB, AE=AB=BD=DE=2,此时不合题意,如图，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线 尸34乂-3的顶点坐标.即(2,-1).故答案是：(2, -1).2、如图，己知抛物线)，=/+公+ 3("工0)经过点A 1,0和点3(3,0),与丁轴交于点C

3、.(1)求此抛物线的解析式：(2)若点夕是直线3C下方的抛物线上一动点(不点3, C重合)，过点。作)'轴的平行线交直线于 点。,设点户的横坐标为？ .用含机的代数式表示线段尸。的长；连接P8, PC,求"BC的面积最大时点月的坐标；(3)设抛物线的对称轴与8c交于点E,点M是抛物线的对称轴上一点，N为轴上一点，是否存在这 样的点M和点N,使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐 标：如果不存在，请说明理由.【答案】(1)丁=/-4升3： (2)用含“的代数式表示线段尸。的长为-加+3布；MC的而积最大时 33点尸的坐标为(一，-):(3)存在

4、这样献和点M使得以点C、E、MN为顶点的四边形是菱形.点 24M的坐标为跖(2, 3),皿(2. 1-2a),(2, 1+272).【解析】(1)二抛物线y=ax2+bx+3 (a*0)经过点A (1, 0)和点B (3, 0),与y轴交于点C,a+b+3=0(a=，解得。 ，9。+ 3 + 3 = 0 = -4工抛物线解析式为y=x2 - 4x+3：(2)设 P (m, m2 - 4m-3),将点B (3, 0)、C (0, 3)代入得直线BC解析式为ybc=-x+3.过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,，D (m, - m*3) > /. PD= ( - m+3) - (m2 -

5、4m-r3 ) = - m2+3m.答：用含m的代数式表示线段PD的长为-nf+3m. SPBC = SaCPd+SBPD1 39=OBePD - - - m2+ m2 223 3 、27(m ),4 283 ，当m=7时，S有最大值.25 3当 m=时，m2 - 4m+3 .6 .47 3AP (一.一 一).8 433答：aPBC的而枳最大时点P的坐标为(彳，- 24(3)存在这样的点M和点N,使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形.根据题意，点E (2, 1),，EF=CF=2,，EC=2,根据菱形的四条边相等，.ME=EC=2&, .M (2, 1-272)或(2,2应)当

6、 EM=EF=2 时，M (2, 3)点 M 的坐标为 Mi (2, 3), M2 1-272)，Mj (2, 1+2 72) 3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3, 0), 与y轴交于点C(0, -3),点P是直线BC下方抛物线上的任意一点.(1)求这个二次函数y=x?+bx+c的解析式.(2)连接PO, PC,并将POC沿y轴对折，得到四边形POPC,如果四边形POPC为菱形，求点P的坐标.(3)如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与仆人。©相似，请求出此时点P的坐标.【答案】y=x>2x-3

7、（2）（2巴P、C、B为顶点的三角形与ZkAOC相似.此时点P的 22坐标（1, - 4）【解析】（1）将从C点代入函数解析式，得：0 + 3b +，=°,解得：= "2这个二次函数）=/+灰+' 1c = -3（c = -3的解析式为y=K-2x-3： ;四边形尸OPC为菱形与尸产互相垂直平分一=4即3=/解得:2+92-V10 /法、D z2+V103、，X2= -（舍），P（,-）；（3） 尸BCV90。.，分两种情况讨论：如图1,当NPC3=90。时，过尸作尸HJ_y轴于点的解析式为y=x-3, CP的解析式为y= -x-3, 设点尸的坐标为（加，-3-布）

8、，将点尸代入代入产/一8-3中，解得：“ =0 （舍），7M2=1,即尸（1, -4）；工。=1, OC=3, CB= 32 + 32 = 36, CP=I12+ （-4 + 3） 2 = V2,此时些=巴=3, aJOCAPCB：、CP AO如图2,当N3尸C=90。时，作尸H_Ly轴于H,作3。，尸日于。.9：PCLPB. ：APHCs/BDP、：.=设点尸的坐标为（小，加 一2川-3），则 PH=m, HC=-（加-2w - 3) - ( - 3)=-w2+27n»BD= - (m1 - 2m - 3),PD=3-？, /.r = 3，= " (m + 1),-m-+

9、2m3-mm-2、 z解得：“竽或竽（舍去）.当“竽时，加.3=一等,: PHCs/BDP. .上=号=之=江H £2 =3,以尸、C、3为顶点的三角形与母。不 PB PD 3-m 5r5S A0相似.综上所述：尸、。、3为顶点的三角形与XOC相似，此时点尸的坐标（1, -4）.4、如图，在平面直角些标系中，二次函数丁=加+队-、万的图象经过点M （ 7, 0）, C （2, 0）,与y轴 交于点瓦其对称轴与x轴交于点。.（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标；（2）若尸为），轴上的一个动点，连接尸求1尸3+尸。的最小值； 2（3） t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N,使

10、得以,4、3、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个.【答案】（1）y =金一下,抛物线的顶点坐标为（1, 2布）；（2）最小值为也：（3） 5,222 84个【解析】（1）：二次函数），= ad+/w-的图象经过点工（-1，0）C（2, 0）,a _ b y/3 = 0 V4a + 2b 耳=0/a =7解得：一b=.立2次函数的表戈式为y =走/ 一且x 一 3 , 2219 L：.抛物线的顶点坐标为(-,-V3)； 28(2)如肉.连接.护，作DHLdB于H,交0B于P,此时1尸3一尸。最小. 2理由:VOJ=L OB=6.2。4 6 tanZABO =OB 3：.ZJBO=3

11、0°,：.PH=-PB.21，-PB+PD=PH-PD=DH.2，此时!尸3+尸。最短(垂线段j )219 L抛物线的顶点坐标7j(-,-V3) 28工 AD = (1)=,2 v 7 2*/ 乙£50=30°,ZW=60°,在 RtAlDH 中，,: NAHD=90。, .10=-, NH1D=6O。, 2.sm60°= - ADT-PB+PD的最小值为空： 24（3冠以上为圆心18为半径画弧，因为故此时圆弧与对称轴有两个交点，且出心物即M点存 在两个，所以满足条件的N点有两个；以5为圆心，曲为半径画弧，因为故此时圆弧与对称轴有两个交点，且即

12、M点有两个，所以满足条件的N点有两个：线段，空的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时.加合氏区，因为M点有一个，所以满足条件的N点有一 个：则满足条件的N点共有5个，故答案为：5.5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数=-r+bx+c的图象与x轴交于£3两点，4点的坐标为（-3,0）, 5点在原点的左侧，与y轴交于点C（0, 3）,点尸是直线BC上方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式：（2）连接尸。、PC,并把尸。沿C。翻折，得到四边形POP。（如图1所示），那么是否存在点尸，使四 边形POPC为菱形？若存在，请此时点尸的坐标：若不存在，请说明理由：（3）当点尸运动到什么位置

13、时，四边形.1BCP的面积最大，并求出其最大值.【答案】V=-F-2a+3：（方春在.尸点的坐标为一生叵,）：（3）尸点的坐标为（-2，£）, 222475四边形ABPC的面积的最大值为.8【方法引导】（1）利用待定系数法直接将B、C两点直接代入y=x:+bx+c求解b, c的值即可得抛物线解析式：33（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断P点的纵坐标为-,令y=-即可得x2 -2x -3 = 223-，解该方程即可确定P点坐标； 2（3 ）由于aABC的面枳为定值，当四边形ABCP的面积最大时，BPC的面枳最大：过P作y轴的平行线， 交直线BC于Q,交x轴于F,易求得直线A

14、C的解析式，可设出P点的横坐标.然后根据抛物线和直线 BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得aBPC 的面积，由此可得到关于四边形ABCP的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边 形ABCP的最大面积及对应的P点坐标.【解析】（1）VC点坐标为（0, 3）, .*.y= - x2+bx+3»把A （-3, 0）代入上式得，0=9-3b+3,解得，b= -2,，该二次函数解析式为：y=-好-2x+3；设P点的坐标为（X. -x2 - 2x+3）, PP'交CO于E,当四边形POP'C为菱形时，则有P

15、C=PO,连接PP',则PE_LCO于E,OE=CE,2,3令-x- - 2x+3 =，2解得，X1=_ 2+VTo x2=-2+Vio （不合题意，舍去）.22,.P点的坐标为（-2®,置.22（3）如图2,过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OA交于点F,图2设P（x. -x>2x+3）,设直线AC的解析式为：y=kx-t,'-3攵 + / = 0t = 3解得：直线AC的解析式为y=x+3, 则Q点的坐标为（x, x+3）.当 0= - x2 - 2x+3,解得：X1 = 1, X2= - 3,，AO=3, OB = lt 则 AB=4,S 呦MABCP

16、 = S«ABC+SaAPQ-SaCPQ=1 AB>OC+ - QPOF+ - QPAF 222= _x4x3+_( -x2-2x-3) - « x+3) x32 23 3 . 75= (x+).4 283当x=一时,四边形ABCP的面积最乂2此时P点的坐标为（-1，四边形ABPC的而枳的最大值为?. 248【思路引导】 此题考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形而积的求法等 知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面枳的和差关系来求解.6、如图'抛物线与y轴交于“点，过点，的直线与抛物线交于另一点几过点5作先

17、心轴，垂足为点。（3, 0）.（1）求直线48的函数关系式:9(2)动点尸在线段0C上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点尸作尸轴，交直线48于 点M，交抛物线于点N.设点尸移动的时间为，秒，MN的长度为s个单位，求s与7的函数关系式，并写 出，的取值范围：(3)设在(2)的条件下(不考虑点尸与点。，点C重合的情况)，连接CM, BN,当，为何值时，四边形 8cMN为平行四边形？问对于所求的，值，平行四边形3cMM是否菱形？请说明理由I(0<t<3)； (3)t=l或2时：四边形BCMN为平行四边形:【答案】(1)y = -x+； (2) s = -t2+ t 244t=l

18、时,平行四边形8cMN是菱形，t=2时，平行四边形8cMM不是菱形，理由见解析.【解析】 解:(1) x=0 时 t y=L点A的坐标为：(0, 1),BC_Lx轴,垂足为点C (3, 0),.点B的横坐标为3,"Zx=3 时，y= >- 2 点B的坐标为(3,-),2b = l设直线AB的函数关系式为产kx-b,53k+b = 2k =-解得， 2, b = 则直线AB的函野 二式y = ；x + l（2 ）"彳 x=t 时，y=上 Ll , .2 点M的坐标为（t, -t+1 2M5 . 17,i x=t 时，y =广 41 + 44.点,N的坐标为。，一5+ D

19、s=3+U,+_（L+d=3+%44244（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC,442解得 ti=l，t2=2, 当t=l或2时，四边形BCMN为平行四边形,3当 t=l 时，MP=，PC=2,2AMC=-=MNt此时四边形BCMN为菱必2当 t=2 时,MP=2, PC=1, ，MC=6却！N,此时四边形BCMN不是菱形.7、已知，在平而直角坐标系内一直线 心二升3分别与x轴、y轴交于£ 8两点，抛物线尸-N+H+c经过、3两点,），轴右侧部分抛物线上有一动点C,过点C作y轴的平行线交直线人于点D（2）如图1, C在第一象限，求以C。为直径的OE的最大而积，并判断此时

20、OE与抛物线的对称轴是否相I切？若不相切，求出使得0E与该抛物线对称轴相切时点C的横坐标：(3)坐标平面内是否存在点可，使3、C、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点”的坐标： 不存在，请说明理由.【答案】(l)y = / + 2x + 3： (2)不相切，C的横坐标分别为2和匕咨;(3)M(O,1), (2,3) (0,1-3>/2), (0,1+372).【解析】解：(1)直线心二升3分别与x轴、y轴交于X、B两点,可得A点(3, 0), B点(0, 3),将A、B两点 坐标代入=x2+bx+c ,可得可得 b=2, c=3 抛物线的函数表达式y = -x2 + 2% + 3：

21、(2)可得抛物线对称轴为：父=一二=1,2a 。在第一象限，以8为直径的。E的最大而积，即CD最长时，圆的而积最大，设直线CD的横坐标为t, 0<t<3, .D 点坐标(3 -t+3), C 点坐标(t, -t 2+2t+3),a |CD|=-t 2+2t+3-(-t+3)= -t 2+3t (0VtV3),当匚一鸿时，CD最长，此时CD最长为1 Za Z4此时圆E的半径为】此时CD与对称轴的距离为号1=滤. 822 8故不相切.当CD在对称轴右边时,即1 VtV3时|CD|=-t 2+3t (l<t<3)：圆 E 的半径为可得|CD|=2i: -t 2+3t=2 解得

22、:tx=-l (舍去);t2=2：当CD在对称轴左边时，即即0<t<l时，有-t 2+3t=2 (1-t),解得：t =也互(舍去)， x 257 T7综上所述：t=2或t=±?, 0E与该抛物线对称轴相切.(3)存在,由菱形性质可得M点坐标(0,1), (2,3)(0,l-3V2), (0,l+3V2).8、如图，二次函数y = -%2 + 3% + tn的图象与x轴的一个交点为8(4,0),另一个交点为A,且与y轴相交 于C点(1)求加的值及C点坐标；(2)在直线8。上方的抛物线上是否存在一点使得它与3,。两点构成的三角形面积最大，若存在， 求出此时河点坐标；若不存在

23、，请简要说明理由(3)尸为抛物线上一点，它关于直线8。的对称点为。当四边形尸8。为菱形时，求点尸的坐标(直接写存在，M(2,6)(3)P点坐标为(1 +。1 +我)或(1 -底1-炳)【解析】解：将点8(4,0)的坐标代入二次函数y = -x2 + 3x + m, RP-42 + 3 X 4 + m = 0,解得m = 4, 故二次函数解析式为y = -/ + 34+ 4,令乂 = 0,解得y=4,故C点坐标为(0,4);(2)存在，理由：，,B(4,0), C(0,4).直线BC的解析式为y = -X + 4,当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时， M8C面积最大，(y=-x

24、+ 4+b'y = r 2 +3%+ 4整理得：x2 - 4x + b = 0= 16-4b = 0, b = 4(x= 2,= 6 M(2,6)(3)如图2、图3所示，连接PQ交8C于点G。因为四边形尸8QC是菱形，所以G为BC的中点，因为点8、C的坐标分别为(4,0)、(0,4),所以由中点坐标公式得G点坐标为(2,2), 由(2)可知直线8c的解析式为y = -x + 4.由于PG_LBC,所以设直线PG的解析式为y = x+b,将G(2,2)代入.求得直线PG的解析式为y=x,将直线PG的解析式与抛物线解析式联立得：F = 一；?；” + 4，消去V得：“* + 3” + 4,

25、解得：x = 1±V5,将 = 1 + V5代入直线PG的解析式得y = 1 +店，将 = 1 -强代入直线PG的解析式得y = 1 -、行，故当四边形PBQC为菱形时，P点坐标为(1 + V5,l +悯或(1 -Vs,i- V5).9、如图，抛物线y = ：/“ 4与坐标轴相交于金、B、C三点,P是线段48上一动点(端点除外)，过P作(1)直接写出/、B、C的坐标；(2)求抛物线y =x2 -X- 4的对称轴和顶点坐标;(3)求4 PCD面枳的最大值，并判断当PCD的面积取最大值时，以P/、PD为邻边的平行四边形是否为菱形.f【答案】(1)月(4,0)、8(2, 0)、C(0,4)

26、.(2)对称轴是直线x = 1,顶点坐标是(1, 一；).(3)以P/、PD为邻边的平行四边形不是菱形.【解析】(1) A (4, 0)、3(-2, 0)、C (0, -4).(2)抛物线：=92一%一4 = ： &一1/一三，抛物线的对称轴是直线E，顶点坐标是(1， 2222(3)设P G, 0) ( -2<x<4).9：PD/AC,MW： PD = (x+ 2).AC AB3VC 到 PD 的距离(即 P JlJJC 的距离)：d = PAX Sin450 = (4 - x ) , A APCD 的面积 S = -xPDxd = - 223-?R12(x+2) (4-x

27、) =一±/ +二 x +，s= 一士(X-V) +3,PCD 面积的最大值为 3,当PC。的3333面枳取最大值时，x=b用=4-3, PD =第(x + 2) =2后，因为E拌尸。所以以E4、尸。为邻边的平 行四边形不是菱形.10、定义：对于抛物线尸收+6升。(°、6、C是常数，。式)，若方=",则称该抛物线为黄金抛物线.例 如：产=炉-升1是黄金抛物线(1)请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；(2)将黄金抛物线j，=X -x+1沿对称轴向下平移3个单位直接写出平移后的新抛物线的解析式：新抛物线如图所示，与x轴交于1、8 (.4在3的左侧)，与y轴交于

28、C,点尸是直线8c下方的抛物线上 一动点，连结尸。、PC,并把尸。沿。翻折，得到四边形尸OPC那么是否存在点P,使四边形POPC 为菱形？若存在，请求出此时点尸的坐标；若不存在，请说明理由.当直线8C下方的抛物线上动点尸运动到什么位置时，四边形08PC的面积最大并求出此时尸点的坐标1【答案】（1） v-.v2+x+l；（2） ®： y=.v-A-2； .在P点的坐标为（止叵，-1）；、与x=l时,最 2值是 3, P （E -2）【解析】解：（1不唯一，例如：y=/+Hl：（2） （I）： y= - x - 2；存在点尸，如图1,使四边形POPC为菱形.设尸点坐标为PP交CO于E若四

29、边形尸OPC是菱形，则有尸C=PO.连结尸P则尸E_LC。于E,.*.<?£=£C=1,.y= T,Ax2-x-2= - 1解得X=l1正，X2=匕正（不合题意，舍去） 22.尸点的坐标为（上-1）;2过点尸作y轴的平行线与8C交于点。，与08交于点尸，如图2易得，直线8C的解析式：y=x-2则。点的坐标为(X，X-2).S “边 >- OBPC = Sa05c+SA3P0+SAcpo=-OBOC+-OPOF+- OPFB= -x2x2 + -(-x2 + 2x)x222、2、2 2V 7=-(x- 1) 2+3,当X=1时，四边形。8尸C的面枳最大此时尸点的坐

30、标为（1, -2）,四边形0BPC的面积最大值是3.11、如图，已知二次函数y =。/ + 2“ +。的图象经过点（?（0,3）,与“轴分别交于点力，点8（3,0）.点P是直线8c（1）求二次函数y = ax2 + 2x + c的表达式；（2）连接P0, PC,并把21Poe沿y轴翻折，得到四边形POPC.若四边形POP，C为菱形，请求出此时点P的坐标：（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACP8的面枳最大？求出此时P点的坐标和四边形5CP8的最大面积.【答案】（1）该二次函数的表达式为y = -/ + 2% + 3： （2）点P的坐标为（H咨，»：（3 ） P点的坐标为弓，四边形A

31、BPC的而积的最大值为今【解析】（1）将点8和点C的坐标代入yna/ + 及 + c,得 Iq 4A13 n , 解得a = -1，C = 3,19a + 6 + c = 0该二次函数的表达式为y =-/+ 2x + 3：（2）若四边形尸OPC是菱形，则点尸在线段CO的垂直平分线上;如图，连接尸P，则尸E_LCO,垂足为£V C （0, 3）, E （0, 2.点尸的纵坐标等于|,:.X2 + 2x + 3 =三， 2解得勾=手，打=土咨（不合题意，舍去），点尸的坐标为（付手，；22（3）过点尸作y轴的平行线与3C交于点。，与。8交于点尸, 设P （m> m2 + 2m + 3

32、）»设直线BC的表达式为y = Zx + 3. 则 3k+3 = 0,解得 k = -1,，直线BC的表达式为y = -x + 3,点的坐标为（m，-m + 3）,:.QP = -m2 + 3m,当一产 + 2x + 3 = 0,解得 = -1,%2 = 3， ，XO=1 铝=4,=-AB -OC+-QP OF + -QP FB=：x 4 X 3 + ： (-Hi2 + 3m) X 3当m = g时，四边形WBPC的而枳最大，此时P点的坐标为G，B)，四边形乂8尸。的而枳的最大值为1.12、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax'2ax-3a(a<0)与x轴

33、交于A, B两点(点A在点 B的左侧)，经过点A的直线1： y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC. (1)求A, B两点的坐标及抛物线的对称轴：求直线1的函数解析式(其中k, b用含a的式子表示)：点E是直线1上方的抛物线上的动点，若4ACE的面积的最大值为:，求a的值：(4)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A, D, P, Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.2【答案】(1)A ( 7, 0), B (3, 0), x=l： (2) y=axa： (3) a = 一一： (1)以点 A、D、P、Q

34、 为顶点的 四边形能成为矩形，(1,-竺也)或(1, -1).7【思路引导】(1)解方程即可得到结论；(2)根据直线1： y=kx+b过A ( - 1, 0),得到直线L y=kx+k,解方程得到 点D的横坐标为4,求得k=a,得到直线1的函数表达式为丫=2乂+2： (3)过E作£尸丫轴交直线1于F, 设E(x, ax:-2ax-3a),得到F(x, ax+a),求出EF=ax： - 3ax - 4a,根据三角形的面积公式列方程即可 得到结论：(4)令 ax二-2ax - 3a=ax+a,即 ax'- 3ax - 4a=0,得到 D (4, 5a),设 P (1, m).若

35、AD 是 矩形ADPQ的一条边，若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论.【解析】(1)当 y=0 时，ax: - 2ax - 3a=0>解得：Xj= - 1,左=3,AA ( - 1, 0), B (3, 0),一 1 + 3对称fill为直线x = - = 1：2(2) 直线 1： y=kx+b过 A (- 1, 0),：.Q= -k+b,即1 =人直线 1： y=kx+k,.抛物线与直线1交于点A, D,二ax' - 2ax - 3a=kx+k,即 ax: - (2a+k) x - 3a k=0,VCD=4 AC,点D的横坐标为4,； - 3 - - = - 1X

36、1, ak = a»，直线1的函数表达式为丫 = 2乂+；(3)过 E 作 EFy 轴交直线 1 j* Ft 设 E (x, ax- - 2ax - 3a),则 F (x, ax+a)>EF=ax2 - 2ax - 3a - ax - a=ax- - 3ax - 4a,3、. 25一-： 一a，2825二ACE的 的最大值="a, 8ACE的面枳的最大值为之， 4.25 _ 5 一 - 一 , 842解得4 =: 5(4)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令 ax二-2ax - 3a=ax+a,即 ax: - 3ax - 4a=0,解得：x,= - L x：

37、=4,AD (4, 5a), .抛物线的对称轴为直线x = l,设 P (b m),若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q(-4, 21a),Am=21a+5a=26a,则 P(l, 26a), 四边形ADPQ是矩形，ZADP=90a ,/.AD2+PD5=APA53+ (5a) 43斗(26a-5a) 3=23+ (26a) %即 a= L , 7Va<0,.p (1 _ 26" 1 V 1 >);7若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q (2, -3a),图3.m=5a - (-3a) =8a,则 P (1, 8a),四边形APDQ是矩形，NAPD=90°

38、,.AP2+PD2=AD( - 1 - 1) :+ (8a) '+ (1 - 4) :+ (8a - 5a ) : = 5:+ (5a) 即 a=4Va<0,._ 12：.? (b -4),综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P (1,-竺红)或(1, -4).7【方法总结】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出 辅助线是解题的关键.13、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =（<0）与x轴交于A, B两点（点A在点B的左侧）,经过点A的直线1： y = k.x + h与y轴负半轴交于点C,与抛物

39、线的另一个交点为D,且CDXAC.（1）直接写出点R的坐标，并求直线1的函数表达式（其中k, b用含a的式子表示）：（2）点E是直线1上方的抛物线上的动点，若4ACE的面积的最大值为之，求a的值：4（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A, D, P, Q为顶点的四边形能否成为矩形？ 若能，求出点P的坐标：若不能，请说明理由.（备用图）【答案】(1)A (-1, 0), y = ax+a.(2) = /； P的坐标为(1，一迎N)或 <1, -4). 57【解析】解：(1) y = ax2-2ax-3a = a(x + l)(x-3),令 y=0.得到玉=-1,=3，A

40、 A (-b 0), B 0),直线1经过点A,： 0 = k + b , b = k 9：.y = kx + k ,令 a/ -2ra-3 =入+ Z , HP ax2 - (2a + k)x -3a-k =0 .VCD = 4 AC,，点D的横坐标为4,2 k = a 9.直线1的函数表达式为>'=公+。：(2)过点 E 作 EFy 轴，交力战 1 于点 F,设 E(x, ax2-2ax-3a )> 则 F(x, ax+aS,3=S3- SAcre = g (cix2 - 3ax 一 4a)(x +1) - ?(ax2 - 3ax - 4a)x221 . o .、1 z

41、 3/25=-(ax - 3ctx-4a) = ax-Y -a ,2 228ACE的面枳的最大值为25一a5；AACE的面积的最大值为* 42552，一一a =,解得。=一一 845(3)令o¥2-2o¥-3a = ax + a，即 ax2-3x-4a = 0 ,解得玉=-1, x2=4 9AD (4, 5a),: y = ax2 - 2ax - 3a , .抛物线的对称轴为X = 1 ,设P(l，m),若 AD 是矩形的一条边，则 Q (-4, 21a), m=21a+5a=26a,则 P(l, 26a), 四边形ADPQ为矩形，NADP=90° ,： AD2

42、+ PD2 = AP2 .5 + (5t/) + (1 4) + (26t/ 5f/) = (1 1) + (26i/) , Hi- = » / n<0 . a a =97.P (126a73 S若AD是拉形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为(不，yQ(2, -3。)，m=5a - (-3a) = 8，则 P (1, 8a),丁四边形APDQ为矩形，NAPD=90° , AP2 + PD1 = AD2> (一 1 一 1y + (8.)2 +(i - 4f+(8 -502=5?+(5.)2,即/=1, 41Va<0, a =一，：.p2 (1, -4).

43、2综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩杉，点P的坐标为(1,竺互)或(1, -4).714、如图1,抛物线厂-"必WbxX后与x轴分别交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点.经 过点A的直线1与y轴交于点D (0, - V3).(1)求A、B两点的坐标及直线1的表达式；(2)如图2,直线1从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，运动中直线1与x 轴交于点E,与y轴交于点F,点A关于直线1的对称点为A',连接FA'、BA',设直线1的运动时间为 t (t>0)秒.探究下列问题：清直接写出A'的坐标(用含字

44、母t的式子表示)；当点A'落在抛物线上时，求直线1的运动时间t的值，判断此时四边形A' BEF的形状，并说明理由： (3)在(2)的条件下，探窕：在直线1的运动过程中，坐标平面内是否存在点P,使得以P, A' , B, E为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1) y= - V3x - n/3： (2)见解析(3)存在【解析】(1)当 y=0 时，-x:+V3x+V3=0,解得 x=3,则 A ( - 1, 0), B (3, 0), 33设直线1的解析式为y=kx+b,把A (-1, 0), D (0, -V3)代入得丁解噬二嚼,直线1的解析式为y= - V3x - V3 ；（2）作A' 轴于H.如图,/力 ,VOA=b 0D二技NOAD=60 ,EFAD, NAEF二60， 点A关于直线1的对称点为A',AEA=EAZ =t, NA' EF=ZAEF=60° ,在 RtzXA' EH 中，EH=1EAr =t, A' H二百EH二;t,，0H=OE-EHr - 1+%旦-1, 22.A，|t-l, t)：把