解线性方程组的克拉默法则

1、第一章解线性方程组的克拉默（Gramer ）法则解方程是数学中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地 位，因此这个问题是读者所熟悉的，譬如说，如果我们知道了一段导线的电阻r , 它的两端电位差v,那么通过这段导线的电流强度i ,就可以由关系式i r = v求出来，这就是通常所谓一元一次方程的问题，在中学代数中，我们解过一元， 二元，三元以致四元一次方程组，这一章和下一章主要就是讨论一般的多元一次 方程组，即线性方程组，这一章是引进行列式来解线性方程组， 而下一章则在更 一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。对于二元线性方程组ai ix

2、 i a i - ba2 1 x i , a 2 2x = 2b 2b1 a2 2ai 1a 2 7当a“a22 a12a21 0时，此方程组有唯一解，即a1 1b 2-a 2 b 1X2 =a1 1a 2 T a 1a 2 1我们称a11a22 -a12 a21为二级行列式，用符号表不为a11a12a11 a22 a12 a21 a21a 22于是上述解可以用二级行列式叙述为:当二级行列式a11a12a21a 22时，该方程组有唯一解，即b1 a12an b1b2a22a21 b2X1，X2a11a12a11 a12a 21 a 22a 21 a 22对于三元线性方程组有相仿的结论,设有三元

3、线性方程组a11 X1a12 X2a13 X3a 21 X1 a22 X2 a 23 X3a 31 X1 a32 X2 a 33 X3二 b3称代数式为三级行列式a11a22a33 +a12 a23a31 +a13a21a32 1a11a23a32 a12a21a33 a13a22a315用付斤表小为ana12a13a11 a22a33 a12a23a31a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31a21a22a 23a31a32a 33我们有：当三级行列式a11 a12a13a21 a 22a23a 31a32a33时，上述三元线性方程组有唯一解

4、，解为Xid1，X2 dd2，X3d3 d其中d1b1b2b3a12a13a1 1a22a 23d2a2 1a32a 33b1b2b3a1 1d3在这一章中我们要把这个结果推广到n元线性方程组a3 1X1 a12 X2+a1n4-b1X1 a22 X2+a2nXn-b2X1an2X2十一a nn Xn=bnb3a21ana 3 2an1(1)aMX1 an X的系数矩阵annX的情形2克拉墨法则在这里只考虑方程个数与现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题,未知量的个数相等的情形，以后会看到这是一个重要的情形，下面我们将得出与 二元和三元线性方程组相仿的公式。本节的主要结果是定理：如果线性方程

5、组a1 X 1 a X2 2anXn1 = ba2 X 1 a X22 a nXn2-ba2 1a1 1(2 )annan 2的行列式d =|A 卜那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为did2 dnx1 =，x2 =xn =ddd其中di是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项biM,所成的矩阵行列式，即a2 1djanianian, j i b n a , -n ijan 2定理中包含着三个结论：i,方程组有解；2,解是唯一的；3,解由公式（3）给出, 这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：i,把生，鱼-% 弋入方程组，验证它的确是解 d d d2,假如方程组有解，证明它的

6、解必由公式（3）给出，在下面的证明中，为了写起来简短些，我们尽量用连加号证明：i把方程组（i）改写为n ai jX j= b i 壬 i2 nj 首先来证明的确是（i）的解，把 代入第i个方程，左端为nn(6)工 dii 一二.aij 一 = 一、 aj d j j w ddj w因为ndj = b Aj + 9 Aj 什n3 A若Q Ajs w所以i n n=_ aij bsAsjd j -i s - i. nn_ i-aij a ij Asj bsd j X s ii n n aj % aij Asjbsd s i j 3. nni、二 aij (- aij Asjbs) d s =ij

7、根据定理中（6）有1n n1一、aij aij Asj ） bs = dbi d s A j Ad这与第i个方程的右端一致，换句话说，把（3）代入方程使它们同时变成恒等 式，因而（3）确实为方程组（1）的解2设C,c2g）是方程组（1）的一个解，于是有n个恒等式n ai jC 尸 b i 主 12 n（7）j n为了证明Ck = %，我们取系数矩阵中第k列元素的代数余子式A1k，A2kAnk, d用它们分别乘（7）中n个恒等式；有nAi J a-cq b A 氤i1 , 2 n j m这还是n个包等式，把它们加起来，即得 nnn Ai k a i p n 二 b iA i k（8）i j i

8、E等式右端等于在行列式d按第k列的展开式中把电分别换成b因此，它等 于把行列式d中第k列换成b1 ,b2bn ,所得的行列式，也就是dk ,再来看（8）的左 端，即nnn nAi k - a i c 二j a iA ck ji z!j 壬i z!j z4n n=,、aij Aik Cjj =i zin n=、(,二.aij Aik )cj i h j hn d，j=ki i0, j = k所以n naij Aik )Cj =dCkj 士 i =1于是,（8）即为dck = dk,k = 1 , 2 n也就是dkck =，k = 1 , 2 n d这就是说，如果（GCCn）是方程组的一个解，它必

9、为d1 d2 dnd ，dd因而方程组最多有一组解 定理通常称为克拉默法则 例解方程组2xi + X2 -5 X3 + x =8Xi 3 x2 6 X4 92 X2 X3 + 2 X4-5Xi +4 X2 -7 X3 +6 X4 =0方程组的系数行列式1-30d =02- 11476= 2 70 02因之可以用克拉默法则，由于9-30-6d1 =81-52-1204-7628- 51190-6d2 = 1080-5-1210-7621811-39-6d 3 = -2702-521406d4 =211- 3021409=2715-70所以方程组的唯一解为X1 = 3 , X2 - -4 ,X3-

10、 1 X4 = 1应该注意，定理只是讨论系数矩阵的行列式不为零时的方程组，它只能应用于这种方程组，至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章讨论常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，显然，齐次线性方程组总是有解的，因为(0,00)就是一个解，它称为零解，对于齐次线性方程组，我们 关心的问题常常是，它除去零解以外还有没有其他解，或者说它有没有非零解, 对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理：如果齐次线性方程组ai 1X1aX 22a n Xn 1= 0(10)a21X1aX22a n%2 = 0 aMXi an x 2 annXn =0的系数矩阵的行列式|A|#0,那么它只有零解，换句话说，如果方程组 (10) 有非零解那么必有|A| = 0证明：应用克拉默法则，因为行列式中有一列为零，所以d j = 0, j = 1,2 n这就是说，它的唯一的解是二 (0, 0 0)d1 d2 dn 一,一 一 d d d例求良在什么条件下，方程组/ X X2 - 0“ X2 = 0有非零解根据