湖南省高考数学试卷

1、绝密湖南省2008年普通高等学校单独招生统一考试数学试卷时量150分钟，满分150分参考公式:如果事件A、B互斥，那么P(A B) P(A) P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A B) P(A) P(B)如果事件A在1次实验中发生的概率是P,那么n次独立重复实验中恰好发生k概率Pn(k)CkPk(1 P)n k得分评卷人复评人2球的表面积公式S求4 R2,，一 、，43体积公式V球 -R3,3一.选择题(本大题共 10其中R表示球的半径小题，每小题 5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的),21 .函数 y 10g 2(x 2x 1)(x>1)的反函数为y=

2、 f1(x)，则 f 1(2)等于A. 3B. 2C. 0D. -22.设集合A (x, y)y2x , B (x, y) ya,a R，则集合A I B的子集个数最多有A. 1个B. 2个C. 3个3.从双曲线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为直角，则双曲线的离心率为B. 22C.24.过P (1 , 1)作圆22x y 4的弦AB ,uuu1 uuu若AP BA ,则AB的方程是2A y=x+1B.y=x +2C.y= -x+2D.y= -x-25.在(1 x310 . 一.)(1 x)展开式中,5x5的系数是297B.252C. 2976.函数2si n(32x)的单调递增区间是A.,k1

3、25(k z)12B.k 12,k11(k z)12C.3k(k z)D.k ,k62万(k z)7.若 lim n,则b的取值范围是b<1B.一< b< 一1C. b<-21D. 0V b<-2的最小值为1 x48 .设 0<xv1,则 y= xA. 24B. 25C. 26D. 19 .如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，法 相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方A. 24 种B. 72 种C. 84 种10 .平面 的一条斜线l与平面 m与l垂直，那么m与

4、平面交于点P, Q是l上一定点，过点A.直线B.圆交点的轨迹是C.椭圆( )D.抛物线在答题卡中对应题号后的横线上)、填空题(本大题共 5小题,每小题12.不等式.3i1x asinx 2)0的解集为13 .设M是椭圆2y ， ，1上的动点,A和A2分别是椭圆的左、右顶点,uuuu uuuurMA ? MA2 的最小值等于.14 .设f(x)是定义在 R上的奇函数，且 f(x 3)f(x)1, f( 1) 2,则f(2008)15 .将一个钢球置于由6根长度为 J2m的钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么，这个钢球的最大体积为 (m3).解答题(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明

5、过程或演算步骤得分评卷人复评人16.(本小题满分12分)已知 ABC的外接圆的半径为J2 ,内角B、C的对边分别为a、b、c,又向量urrm (sin A sin C,buua)r2n (sin A sin C,sin B),且 m(I)求角C;17.(本小题满分12分)赛.(I)求该单位所派3名选手都是男职工的概率(II)求该单位男职工、女职工都有选手参加比赛的概率;(III)如果参加演讲比赛的每一位选手获奖的概率均为1 一-,则该单位至少有一名选手获奖的概率是多少?3得分评卷人复评人18.(本小题满分12分)把边长为2的正三角形 ABC沿BC上的高AD折成直二面角，设折叠后BC的中点为P.

6、(I)求异面直线 AC, PD所成的角的余弦值；(II)求二面角 C AB D的大小；(III )在AB上是否存在一点S,使得AC 面PSD?若存在，试确定 S的位置，若不存在，试说明理由得分评卷人复评人19.(本小题满分12分)设函数f(x)x(xa)2(I)证明:a 3是函数f(x)在区间(1,2)上递减的必要而不充分的条件;0, a 1时，f(x) v2a2恒成立，且f (0) 0 ,求实数a的取值范围.(II)若 x(本小题满分已知曲线C上的动点M (I)求曲线C的方程；13分)到y轴的距离比到点 F(1,0)的距离小1.uururnuur(II )过 F 作弦 PQ、RS,设PQ、R

7、S的中点分别为 A、B,若PQ?RS 0,求AB最小时，弦PQ、RS所在直线的方程；uir14分)数学社区樨供?若存在，求出 P的坐标，若不存在，试说明理由An的横坐标分别为2与an(n 1,2,3,)，为4 ,数列xn 满足 xn 1- f(xn 1) 13t 1) .设区间 Dn 1,an (an>1),当 x Dn 时，曲线 C上存在点Pn(xn，f仅0),使得点Pn处的切线与AA n平行.(I)建立xn与an的关系式;湖南省某单位从 5名男职工和3名女职工中彳J意选派 3人参加省总工会组织的“迎奥运，争奉献”演讲比(II)证明：10gt(xn 1)1是等比数列;(HI)当Dn 1

8、 Dn对一切n N恒成立时，求t的范围.12x x 113-1114。 一215。一6.选择题(每小题5分)题号12345678910答案ABDCDBCBCA.填空题(每小题5分)三.解答题it16.解：(I) Qmit rmgn 0(sin A sinC)(sinA sinC) (ba)sin B且2R= 2.2,由正弦定理得：(a)2 ( 2R 2R)24 2R(b a) 0化简得：c2b2 ab由余弦定理:2,2a b2ab cosCc 1，S -absinC211所以，Smax17.解：(I)3囱,此时，ABC为正三角形.2记事件A= "该单位所派的选手都是男职工”12分则P

9、 (A)迄C；528(II )记事件B=“该单位男职工、女职工选手参加比赛”则 P(B)=怨 CCC；C334556(III )设该单位至少有一名选手获奖的概率为或 P 11=3(0)PQPAC ,所以,P,则分18 .(解法一)(I )又 CD=BD=1 ,PD g 而 PQ=1,DQ=1 2cos DPQPD2 PQ2 OQ22PD PQ,2彳(II)过 D 作DR AB ,连接 CR, Q 面 ACD 面 ABD , CD 面 ABD CR ABCRD就是二面角C AB D的平面角在 Rt ADB中，DR AB AD BDDR- CD 2 3tan CRD 8分DR 3面角C ABD的大

10、小为arctan2.3"V（解法二）（I）如图，以D为坐标原点,DB、AD、DC所在直线分别为x,y,z轴建立直角坐标系。则(0, 73,0 ) , C(0, 01) , B ( 1, 0/ 11、/、P ( ,0, ), D (0, 0, 0)uur .AC (0-3,1)uurPD11(20 2)所以，异面直线AC与BD所成角的余弦值为（II ）面DAB的一个法向量为ur0i(0,0,1)设面ABCuu的一个法向量n2(x,y,z)，则ir uuir ni ur n2gAB0.3y zx 、，3yLU(3,ir r cos n1,ir ur口少221ir ur n1n221面角C

11、ABD的大小为arccos 7（III ）不存在。若存在 S使得AC 面PSD ,则AC PD ,与（I）矛盾。故不存在一 12分22一19.解：(I) Q f(x)在区间(1,2)上递减，其导函数 f (x) 3x 4ax a 1分_，f (1) 0f (2) 01 a 32 a 62a2 4a 3 0a2 8a 12 02 a 3 a 3故a 3是函数f(x)在区间(1,2)上递减的必要而不充分的条件f (x) 3(xa)(x a) 3(ii)Qf(x) x(x a)227a 2a当a0时，函数y f (x)在(-,)上递增，3令 g(a) 4a3 6a2 5a 1,贝ij g (a) 1

12、2a2只要 f(1 a) 2a24a3 6a2 5a 1 01 212a 5 12(a -)2 2 0 11分2所以g(a)在(，0)上递增，又g(0)2. .f (1 a) 2a不能怛成立。27故所求的a的取值范围为1 a 12分220.解：(I)由条件，M U F (1, 0)的距离等于到直线 2.一-1为准线的抛物线，其方程为y2 4x 3分x= -1的距离 所以，曲线 C是以F为焦点、直线 x=(II)设 lpQ：y k(x 1),代入 y2 4x得：k2x2 2(k2 2)x k2由韦达定理22(k2 2)k2aaa当a>0时，函数y f (x)在( ，)上递增，在(一，a)上

13、递减，在(一，)上递增，故有 333a 2f(-) 2a2 3f(a 1) 2a2x1x21xax1 x2k 2 d 2-, 21yAk(xA 1)2 k k2 2A(1 -r，-) 6分k kuuur uuu1Q PQgRS 0, PQ RS,只要将A点坐标中的k换成 一，得B(1 2k , 2k)7分 kuuuAB22 222(1 k2 (1 2k2)2 (k 2k)24 4k44 4k2 4(当且仅当k= 1时取"=")k4k2uuu所以，AB最小时，弦PQ、RS所在直线的方程为 y （x 1）,即 x y 1 0或 x y 10 9 分uiruuuuuuuuuuiruuinTBFTAFFTTBAT(III )uuur Q AFuurTB，即A、T、B三点共线uuur是否存在一定点 T,使得AFuir uuuTB FT ,即探求直线AB是否过定点由（II）知，直线AB的方程为y 2k222k2 1 k 1)(x 2k2 1)10分即(1 k2)y k(x 3), 直线 ab 过定点(3, 0) . 12分uuiruur uur故存在一定点T (3, 0),使得