1.2 不定积分的概念与性质ppt课件

1、第四章第四章微分法微分法:)?()( xF积分法积分法:)()?(xf 互逆运算互逆运算不定积分不定积分 二、二、 基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质 第四章 一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例: 一个质量为一个质量为 m 的质点的质点,的的作作tAFsin 下沿直线运动下沿直线运动 ,).(tv因此问题转化为因此问题转化为:知知,sin)(tmAtv 求求?)( tv在变力在变力试求质点的运动速度试求质点的运动速度根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律, 加速度加速度

2、mFta )(tmAsin 定义定义 1 . 若在区间若在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F (x) 及及 f (x)满足满足)()(xfxF ,d)()(dxxfxF 或或在区间在区间 I 上的一个原函数上的一个原函数 .则称则称 F (x) 为为f (x) 如引例中如引例中, tmAsin的原函数有的原函数有 ,cos tmA , 3cos tmA问题问题: 1. 在什么条件下在什么条件下, 一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在若原函数存在, 它如何表示它如何表示 ? 定理定理1. ,)(上上连连续续在在区区间间若若函函数数Ixf上上在在则则Ixf)(

3、 存在原函数存在原函数 .(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数,)()(的一个原函数的一个原函数是是若若xfxF定理定理 2. 的所有的所有则则)(xf原函数都在函数族原函数都在函数族CxF )(C(C为任意常数为任意常数) )内内 . .证证: 1)的的原原函函数数是是)()(xfCxF )( CxF)(xF )(xf ，的的任任一一原原函函数数是是设设)()()2xfx )()(xfx 又知又知)()(xfxF )()( xFx)()(xFx 0)()( xfxf故故0)()(CxFx )(0为为某某个

4、个常常数数C即即0)()(CxFx 属于函数族属于函数族.)(CxF 即即定义定义 2. )(xf在区间在区间 I 上的原函数全体称为上的原函数全体称为Ixf在在)(上的不定积分上的不定积分,d)(xxf 其中其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)( 被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;(P183)假设假设, )()(xfxF 那那么么CxFxxf )(d)( C 为任意常数为任意常数 )C 称为积分常数称为积分常数不可丢不可丢 !例如例如, xexdCex xx d2Cx 331 xxdsinCx cos记作记作不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函

5、数的图形称为的原函数的图形称为)(xfxxfd)( 的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族的平行曲线族.yxo0 x的积分曲线的积分曲线 . 例例1. 设曲线通过点设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程求此曲线的方程.解解: xy2 xxyd2 Cx 2所求曲线过点所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有故有C 2121 C因此所求曲线为因此所求曲线为12 xyyxo)2, 1 (ox例例2. 质点在距地面质点在距地面0 x处以初速处以初速0v力力, 求它的运

6、动规律求它的运动规律. 解解: 取质点运动轨迹为坐标轴取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面原点在地面, 指向朝上指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 质点抛出时刻为质点抛出时刻为,0 t此时质点位置为此时质点位置为初速为初速为,0 x设时刻设时刻 t 质点所在位置为质点所在位置为, )(txx 那那么么)(ddtvtx (运动速度运动速度)tvtxdddd22 g (加速度加速度).0v垂直上抛垂直上抛 , 不计阻不计阻 先由此求先由此求)(tv 再由此求再由此求)(tx先求先求. )(tv,ddg tv由由知知ttvd)()(g 1Ct g,)0(0vv 由由,01vC 得得0)(vttv

7、 g再求再求. )(txtvttxd)()(0 g20221Ctvt g,)0(0 xx 由由,02xC 得得于是所求运动规律为于是所求运动规律为00221)(xtvttx g由由)(ddtvtx ,0vt g知知故故ox)0(0 xx )(txx xdd)1( xxfd)( )(xf 二、二、 基本积分表基本积分表 (同济同济P186；合肥工大；合肥工大P141)从不定积分定义可知从不定积分定义可知: d xxfd)( xxfd)( 或或Cx d)2()(xF )(xF或或利用逆向思维利用逆向思维 xkd)1( k 为常数为常数)Cxk xx d)2( Cx 111 xxd)3(Cx ln时

8、时0 x)1( )ln()ln( xxx1 CxFxF )()(d 21d)4(xxCx arctan xxdcos)6(Cx sin xx2cosd)8( xxdsec2Cx tan或或Cx cotarc 21d)5(xxCx arcsin或或Cx cosarc xxdsin)7(Cx cos xx2sind)9( xxdcsc2Cx cot xxxdtansec)10(Cx sec xxxdcotcsc)11(Cx csc xexd)12(Cex xaxd)13(Caax ln2shxxeex Cx ch xxdch)15(Cx sh xxdsh)14(2chxxeex 例例3. 求求.d

9、3 xxx解解: 原式原式 =xxd34 134 Cx 313例例4. 求求.d2cos2sin xxx解解: 原式原式=xxdsin21 Cx cos21134 xC 三、不定积分的性质三、不定积分的性质 xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2 推论推论: 假设假设, )()(1xfkxfinii 那那么么xxfkxxfiniid)(d)(1 xxfkd)( xxgxxfd)(d)()0( k例例5. 求求.d)5(2xexx 解解: 原式原式 =xexxd25)2( )2ln()2(eex 2ln25x Cexx 2ln512ln2C 例例6. 求求.dtan2xx 解解: 原式原

10、式 =xxd)1(sec2 xxxddsec2Cxx tan例例7. 求求.d)1(122xxxxx 解解: 原式原式 =xxxxxd)1()1(22 xxd112 xxd1 xarctan Cx ln例例8. 求求.d124xxx 解解: 原式原式 =xxxd11)1(24 xxxxd11)1)(1(222 221dd)1(xxxxCxxx arctan313 xdxx11.9例例xdxxx)( )()(1112xdxx211xdxxxdx22111Cxx 21arcsin内容小结内容小结1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分

11、的性质 基本积分表基本积分表 (见见P 186)2. 直接积分法直接积分法:利用恒等变形利用恒等变形, 及及 基本积分公式进行积分基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积分性质,2chxexex 2shxexex 思考与练习思考与练习1. 证明证明 xexeexxxch,sh,212.shch的原函数的原函数都是都是xxex 2. 假假设设则则的的原原函函数数是是,)(xfex d)(ln2 xxfx(P191题题4)提示提示:xe )()( xexfxeln )(ln xfx1 Cx

12、221提示提示:3. 假假设设)(xf是是xe 的原函数的原函数 , 那那么么 xxxfd)(ln提示提示: 知知xexf )(0)(Cexfx 01)(lnCxxf xCxxxf021)(ln CxCx ln104. 假假设设)(xf;sin1)(xA ;sin1)(xB 的导函数为的导函数为,sin x那那么么)(xf的一个原函数的一个原函数是是 ( ) .;cos1)(xC .cos1)(xD 提示提示: 知知xxfsin)( 求求即即B)()(xf xsin)( ?或由题意或由题意,cos)(1Cxxf 其原函数为其原函数为 xxfd)(21sinCxCx 5. 求下列积分求下列积分:

13、.cossind)2(;)1(d)1(2222 xxxxxx提示提示:)1(1)1(1)1(2222xxxx xxxx2222cossincossin1)2( xx22cscsec xx22cossin 22111xx )(2x 2x 6. 求不定积分求不定积分解：解：.d113 xeexx xeexxd113 xeexxd1)1()1(2 xxeexeexxd)1(2 Cxeexx 2217. 知知 22221d1d1xxBxxAxxx求求 A , B .解解: 等式两边对等式两边对 x 求导求导, 得得 221xx22211xxAxA 21xB 2212)(xxABA 120ABA 2121BA第二节 目录 上页 下页 返