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1、定理定理式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开定理的条件定理的条件满足收敛满足收敛的周期函数的周期函数设周期为设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 为为其其中中系系数数nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln,)()1(为为奇奇函函数数如如果果xf则有则有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 为为其其中中系系数数), 2 , 1( n,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf则有则有,cos2)(10 nnl

2、xnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2为为其其中中系系数数), 2 , 1 , 0( nk2 xy2044 例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 4 的周期函数的周期函数,它在它在)2 , 2 上的表达式为上的表达式为 20020)(xkxxf, 将其展将其展成傅氏级数成傅氏级数.解解., 2 满满足足狄狄氏氏充充分分条条件件 l 2002021021kdxdxa,k 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)( xxx

3、kkxf), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n例例 2 2 将将函函数数 10510)( xxxf展展开开成成傅傅氏氏级级数数.解解,10 xz作变量代换作变量代换105 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz ,)55()(的的定定义义补补充充函函数数 zzzF, 5)5( F令令)10()( TzF作作周周期期延延拓拓然然后后将将,收敛定理的条件收敛定理的条件这拓广的周期函数满足这拓广的周期函数满足).()5, 5(zF内内收收敛敛于于且且展展开开式式在在 x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn

4、,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x另解另解 1555cos)10(51dxxnxan 1555sin)10(51dxxnxbn 1551555cos515cos2dxxnxdxxn, 0 1550)10(51dxxa, 0 ,10)1( nn ), 2 , 1( n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 , 1( n利用变量代换求傅氏展开式利用变量代换求傅氏展开式;求傅氏展开式的步骤求傅氏展开式的步骤;1.画图形验证是否满足狄氏条件画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系数求出傅

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