1.2.Fourier级数ppt课件

1、 高等数学（高等数学（ 下）下） 河海大学理学院河海大学理学院第四节 傅里叶级数 高等数学（下）高等数学（下）一、三角级数 三角函数系的正交性1.1.三角级数三角级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa讨论三角级数，要研究它的收敛区域以及和讨论三角级数，要研究它的收敛区域以及和函数的性质函数的性质 . .显然，它的和函数一定是周期显然，它的和函数一定是周期函数函数 . .因而，一个函数能展成三角级数的必因而，一个函数能展成三角级数的必要条件是周期为要条件是周期为 2 2的函数的函数. . 高等数学（下）高等数学（下）2.2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性,sin,cos,2sin

2、,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,:上上的的积积分分等等于于零零任任意意两两个个不不同同函函数数在在正正交交 , 0cos nxdx,0sin nxdx三角函数系三角函数系),3,2,1( n 高等数学（下）高等数学（下）,0sinsin nmnmnxdxmx,0coscos nmnmnxdxmx.0cossin nxdxmx),2,1,( nm其其中中 高等数学（下）高等数学（下）二、函数展开成傅里叶级数问题问题 1.给定一个给定一个 2周期的函数周期的函数 , 若能展开成三角若能展开成三角级数级数,系数系数 是什么是什么?iiba ,2.展开的条件是什么展开的条件是什么?

3、1.1.傅里叶系数傅里叶系数 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 高等数学（下）高等数学（下）,220 a dxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110 .)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxakkk 高等数学（下）高等数学（下） nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1),3,2,1( n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1),3,2, 1( n nxdxan

4、xdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxakkk, nb 高等数学（下）高等数学（下） ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或傅里叶系数傅里叶系数 高等数学（下）高等数学（下）傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa问题问题 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条条件件 高等数学（下）高等数学（下）2.2.狄利克雷狄利克雷

5、(Dirichlet)(Dirichlet)收敛定理收敛定理设设)(xf是是以以 2为为周周期期的的周周期期函函数数. .如如果果它它满满足足条条件件: :在在一一个个周周期期内内连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点, ,并并且且至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点, ,则则)(xf的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛, ,并并且且(1) 当当x是是)(xf的连续点时的连续点时, ,级数收敛于级数收敛于)(xf; ; (2) 当当x是是)(xf的的间间断断点点时时, ,收收敛敛于于2)0()0( xfxf; ;(3) 当当x为为端端点点 x时时, ,收收敛敛于于2)0()0

6、( ff. . 高等数学（下）高等数学（下）注意注意: : 函数展开成傅里叶级数的条件比展开函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多成幂级数的条件低的多. .解解例例 1 以以 2为为周周期期的的矩矩形形脉脉冲冲的的波波形形 0,0,)(tEtEtumm 将将其其展展开开为为傅傅立立叶叶级级数数. . otumEmE 所给函数满足狄利克雷收敛条件所给函数满足狄利克雷收敛条件. .0)(10dttua 高等数学（下）高等数学（下）00cos1cos)(1ntdtEntdtEmm ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmm)cos1(2 nnEm)1

7、(12nmnE , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm ntdttuancos)(1 高等数学（下）高等数学（下）和函数图象为和函数图象为otumEmE .), 2, 1, 0(处处不不连连续续在在点点 kkt 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu), 2, 1, 0,( kkt 所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为 高等数学（下）高等数学（下）注意注意对于非周期函数对于非周期函数, ,假设假设 只在区间只在区间 上有定义上有定义, ,并且满足狄氏收敛条件并且满足狄氏收敛条件, ,只需作周只需作周期延拓，也可展开成傅氏级数期延拓，也可展开

8、成傅氏级数. .)(xf, 例例2将将函函数数 xxxxxf0,0,)( 展展为为傅傅立立叶叶级级数数. 解解所给函数满足狄利克雷收敛条件所给函数满足狄利克雷收敛条件. .xy0 2 2 高等数学（下）高等数学（下） nxdxxfancos)(1 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx)1(cos22 nn1)1(22 nn dxxfa)(10 001)(1xdxdxx, , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk 高等数学（下）高等数学（下） nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin)(1nxdxxnxdxx, 0 12)12cos()12(14

9、2)(nxnnxf)( x所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为),3,2,1( n 高等数学（下）高等数学（下）利用傅氏展开式求数项级数的和利用傅氏展开式求数项级数的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf, 0)0(,0 fx时时当当 222513118,4131211222 设设),8(513112221 411,62 高等数学（下）高等数学（下）,6141212222 ,41312112223 ,244224113.122 .) 12( ,sin) 1(2)(11kxnxnxfnn)2(,sin2)(1kxnnxxfn 高等数学（下）高等数学（下） xxxxf002

10、)(3?)23( S)( xy0 高等数学（下）高等数学（下）为为周周期期的的连连续续函函数数，且且是是以以设设 2)(xf 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf可可逐逐项项积积分分，试证明：试证明：, )(2)(1122202 nnnbaadxxf.)(,的傅立叶系数的傅立叶系数为为其中其中xfbann证证 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf 102sin)(cos)()(2)(nnnnxxfbnxxfaxfaxf例例4 4 高等数学（下）高等数学（下）可可逐逐项项积积分分，)(xf dxxfa)(20 dxxf)(2 1sin)(cos)(nnnnxdxxfb

11、nxdxxfa dxxfa)(20 1sin)(cos)(nnnnxdxxfbnxdxxfa0a na nb , )(2)(122202 nnnbaadxxf结论可证结论可证. . 高等数学（下）高等数学（下）思考题思考题 若若函函数数)()(xx ，问问：)(x 与与)(x 的的傅傅里里叶叶系系数数na、nb与与n 、n ), 2 , 1 , 0( n之之间间有有何何关关系系？ 高等数学（下）高等数学（下）思考题解答思考题解答 nxdxxancos)(1 )()cos()(1tdntt nxdxx cos)(1 nxdxx cos)(1n ), 2 , 1 , 0( n 高等数学（下）高等数

12、学（下） nxdxxbnsin)(1 )()sin()(1tdntt nxdxx sin)(1 nxdxx sin)(1n ), 2 , 1( n,nna .nnb 高等数学（下）高等数学（下）四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近 高等数学（下）高等数学（下）四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.

13、傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近 高等数学（下）高等数学（下）四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近 高等数学（下）高等数学（下）四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近 高等数学（下）高等数学（下）四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅

14、里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近 高等数学（下）高等数学（下）四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近 高等数学（下）高等数学（下）四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5.

15、傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近 高等数学（下）高等数学（下）四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近 高等数学（下）高等数学（下）四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近 高等数学（下）高等数学（下）四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅

16、里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近 高等数学（下）高等数学（下）四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近 高等数学（下）高等数学（下）四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏