1.2chapter第一类曲线积分ppt课件

1、教学要求：教学要求：1. 理解理解I型型(对弧长的对弧长的)曲线积分的概念和性质曲线积分的概念和性质; 2. 掌握计算第一类曲线积分的方法掌握计算第一类曲线积分的方法; 3. 了解第一类曲线积分的应用了解第一类曲线积分的应用. .引例与概念引例与概念一一 .性质性质二二 .算算对弧长的曲线积分的计对弧长的曲线积分的计三三 .用用对弧长的曲线积分的应对弧长的曲线积分的应四四 .引例与概念引例与概念一一引例引例1. ., ),( 求其质量求其质量构件构件的非均匀平面曲线形的非均匀平面曲线形设有线密度为设有线密度为Lyx Solution. oxyABL分割分割, ,121insMMM 1 nMiM

2、1 iM2M1M,),(iiis ),(ii ;),(iiiism 求和求和, ;),(1 niiiism 取极限取极限,.),(lim10 niiiism 近似值近似值精确值精确值引例引例2. ., ),( 求其质量求其质量构件构件的非均匀空间曲线形的非均匀空间曲线形设有线密度为设有线密度为 zyx Solution. ABL分割分割, ,121insMMM 1 nMiM1 iM2M1M,),(iiiis ;),(iiiiism 求和求和, ;),(1 niiiiism 取极限取极限,.),(lim10 niiiiism 近似值近似值精确值精确值oxyz),(iii 第一类曲线积分的统一定义

3、形式上的定义）第一类曲线积分的统一定义形式上的定义） ,)(,),(是是有有界界函函数数是是可可以以度度量量的的空空间间平平面面表表示示曲曲线线设设PfS );(,)1(1也也表表量量度度个个小小部部分分任任意意分分划划成成将将insssnS ), 1( ,)( ,)2(nisPfsPiiii 作作乘乘积积;)( 1 niiisPf作作和和,max )3(1的的直直径径记记inis ,上上怎怎样样的的取取法法在在怎怎样样的的分分划划如如果果无无论论对对iisPS niiisPf10)(lim .)(,上上的的第第一一类类曲曲线线积积分分在在则则称称其其为为都都存存在在SPf记为记为.)(lim

4、)(10 niiiSsPfdsPf 则则若若),()(, )1(yxfPfLS .),(lim),(10 niiiiLsfdsyxf 平面曲线上对弧长的曲线积分平面曲线上对弧长的曲线积分则则若若),()(, )2(zyxfPfS .),(lim),(10 niiiiisfdszyxf 空间曲线上对弧长的曲线积分空间曲线上对弧长的曲线积分注意注意: .),( ,),( )1(存存在在积积分分对对弧弧长长的的曲曲线线上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线弧弧当当 LdsyxfLyxf.),( )2( Ldsyxm 曲曲线线型型构构件件的的质质量量.),( dszyxm .),( ,)3( Ldsyx

5、fL则记为则记为为封闭曲线为封闭曲线若若.),(, dszyxf则记为则记为为封闭曲线为封闭曲线若若. 0 )4( is对弧长的曲线积分与路径的走向无关对弧长的曲线积分与路径的走向无关! .性质性质二二.),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为为常常数数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL .),(),( )4( BAABdsyxfdsyxf. )5( Ldss .算算对弧长的曲线积分的计对弧长的曲线积分的计三三定理定理1. ,),()1(上上连连续续在在

6、设设Lyxf ),(),(),()2( ttytxL的参数方程为的参数方程为, 0)()( ,)(),()3(22 tttt 且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在 )( )()()(),(),( 22 dtttttfdsyxfL则则注意注意: ; )1( 一一定定小小于于上上限限积积分分下下限限. 0, 0 iits1. 直接计算法直接计算法 . ,)()(),(),(,)2(22的的积积分分再再作作换换成成将将计计算算时时 dtttttdsyx概括为概括为“一代二换三定限一代二换三定限”).()(:)3(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL ).()(:)

7、4(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL ).( ),(: )5( rrL).( ,sin)(cos)(: ryrxL .)()()sin,cos(),(22 drrrrfdsyxfL ).( ,)()()(: )6( ttztytx .)()()()(),(),(),(222dtttttttfdszyxf . )1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,)(. 1为顶点的三角形的边为顶点的三角形的边是以是以其中其中计算计算BAOLdsyxexL Solution. xyoAB, 0: yOA; 10 x,1:xyAB ; 10 x, 0: xBO; 10 y

8、BOABOALdsyx)( 10 xdx 102dx 10ydy. 21 . ,. 222222的扇形的整个边界的扇形的整个边界轴在第一象限内所围成轴在第一象限内所围成及及直线直线为圆周为圆周其中其中计算计算oxxyayxLdseexLyx Solution. xyoABa, 0: yOA;0ax ,sincos: taytaxAB;40 t,:xyBO ;20ax BOABOALyxdse22 axdxe0 40 adtea 2022axdxe. 2)42( aea ).2 , 3 , 1(, )2 , 0 , 1( ),2 , 0 , 0(),0 , 0 , 0(,. 32DCBAyzds

9、xex为折线为折线其中其中计算计算 Solution. ,00: yxAB; 20 z,20: zyBC; 10 x,21: zxCD; 30 y CDBCAByzdsx2 CDyzdsx200 302ydy. 9302 y2. 利用对称性简化计算利用对称性简化计算 , )1(轴轴时时对对称称于于当当xL ),(),( 0),(),( ),(2),(yxfyxfyxfyxfdsyxfdsyxfLL上上, )2(轴轴时时对对称称于于当当yL ),(),( 0),(),( ),(2),(yxfyxfyxfyxfdsyxfdsyxfLL右右.)2, 1()2 , 1(,4:,. 42一一段段到到从从

10、其其中中求求 xyLydsIexLMethod1.).22( ,4 2 yyx选选取取. 0 xy42 dyyyI222)2(1 Method2. 由于由于L关于关于x轴对称轴对称, 被积函被积函数是关于数是关于y的奇函数的奇函数. 0 LydsI.0,. 522222 zyxazyxdsxIex为为圆圆周周其其中中求求Solution. 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长ads .用用对弧长的曲线积分的应对弧长的曲线积分的应四四 ,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx ;)

11、,( Ldsyxm ;,1),()2( LdsLyxf弧长弧长时时当当,),(),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz )4(曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标., LLLLdsdsyydsdsxx 曲线弧的转动惯量曲线弧的转动惯量)5(.)( , ,2222 LoLyLxdsyxIdsxIdsyI 对空间对空间曲线构曲线构件也有件也有结论结论!).,( ,),(),20( ,sin,cos . 6222zyxIzyxzyxtktztaytaxexz求求设有曲线形构件方程为设有曲线形构件方程为 Solution. dszyxyxIz),()( )1(22 dszyxyx)(22222 20222222)(dtkatkaa).43(32222222kakaa dszyxm),( )2( dszyx)(222 2022222)(dtkatka).43(3222222kaka dszyxx)(222 2022222)(cosdtkatka