1.2二重积分的应用 ppt课件

1、二重积分的元素法二重积分的元素法. .由定积分的元素法推广得到重积分的元素法由定积分的元素法推广得到重积分的元素法. .若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相相相应地分成许多相应地分成许多 部分量，且部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且在闭区域并且在闭区域D内任取一个内任取一个直径很小的闭区域直径很小的闭区域d时，相应地部分量可近似地时，相应地部分量可近似地表示为表示为的形的形dyxf),(式，其中式，其中在在),(yxd内这个内这个dyxf),(称为所求称为所求U

2、的元素，记为的元素，记为，所求量的积分表达式为，所求量的积分表达式为量量dUDdxdyyxfU),( 问题的提出问题的提出一、几何应用一、几何应用1、立体的体积、立体的体积:2、曲面的面积、曲面的面积:6.1.3 二重积分的应用二重积分的应用2:( , )zf x y1:( , )zf x y1、立体的体积、立体的体积二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积xzyoD),(yxfz .),( DdyxfV 例例1 求两个圆柱面求两个圆柱面222Ryx 222 Rzx 及及所围所围的立体在第一卦限部分的体积。的立体在第一

3、卦限部分的体积。xyzoRRRxyzoRRRRxyo22xRy RD解解所求立体所求立体可以看成可以看成是一个曲是一个曲顶柱体，顶柱体，它的曲顶为它的曲顶为,22xRz .0,0:22xRyRxD它的底为它的底为Rxyo22xRy RD,22xRz .0,0:22xRyRxD它的底为它的底为它的曲顶为它的曲顶为于是，立体体积为于是，立体体积为 dxRVD 22dyxRdxxRR 220220 RxRdxyxR002222 RdxxR022 )( RxxR0323 .323R 例例 2 求由锥面求由锥面22yxz 求锥面求锥面 及旋转抛物面及旋转抛物面 z = 6 x2 y2 所围成的立体的体积

4、所围成的立体的体积. 解画出该立体的图形，解画出该立体的图形， 求出这两个曲面的交线求出这两个曲面的交线 22226yxzyxz . 0, 422zyx在在 xy 面上的投影曲线为面上的投影曲线为12VVV Dyx d)6(22 d22 Dyx Dyxyx,d)6(2222 DrrrrV dd)6(2 20202d)6(drrrr 2023.332d)6(2rrrr2、曲面的面积、曲面的面积设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy面面上上的的投投影影区区域域为为在在,Dd 设设小小区区域域,),( dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS .dsdA

5、dAdsszd ，则有，则有为为；截切平面；截切平面为为截曲面截曲面轴的小柱面，轴的小柱面，于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以 如图，如图， d),(yxMdAxyzs o , 面上的投影面上的投影在在为为因为因为xoydAd ,cos dAd所所以以,11cos22yxff dffdAyx221 ,122 DyxdffA - - 曲面曲面 S S 的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyyzxzAxyD 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为：.122dzdxxyzyAzxD 设曲面的方程为：设曲面的方程

6、为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为：;122dydzzxyxAyzD 同理可得同理可得14AA , , 曲曲面面方方程程 222yxaz , , 221 yzxz 解解xyzoaaa设第一卦限部分的面积为设第一卦限部分的面积为 A1 ，则由对称性，所求的面积为则由对称性，所求的面积为,222yxaa xyDdxdyyxaa222 cos022201ardrrada.4222aa dxdyyzxzAxyD 1221 xyD：axyx 22 )0,( yxaxyo cosar D极坐标系下表示：极坐标系下表示：,20 .cos0 ar Ddrdrraa 22例例 2 2 求由曲面求

7、由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所围立体的表面积所围立体的表面积.解解解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a),(yx设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，它它

8、们们分分别别位位于于),(11yx， ),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21 则则该该质质点点系系的的重重心心的的坐坐标标为为 niiniiiymxmMMx11， niiniiixmymMMy11 1、平面薄片的重心、平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心. .,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其其中中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点 ),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx

9、，假假定定),(yx 在在D上上连连 续续，平平面面薄薄片片的的重重心心 闭区域闭区域 D 的面积的面积.d),(d),( ,d),(d),( DDxDDyyxyxyMMyyxyxxMMx .例例 求半径为求半径为 R 的半圆形均匀薄片的重心，的半圆形均匀薄片的重心，解；如图重心的横坐标解；如图重心的横坐标(利用对称性重心的纵坐标为利用对称性重心的纵坐标为 0). Dxx d1 DxR d22 22022dcosd2RrrR .34 RxODr = Rx思考题思考题.)0(cos,cos之之间间的的均均匀匀薄薄片片的的重重心心求求位位于于两两圆圆babrar ab xyo薄片关于薄片关于 轴对

10、称轴对称x, 0 y则则 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考题解答思考题解答2、平面薄片的转动惯量、平面薄片的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y例例5 求密度均匀的圆环求密度均匀的圆环 D 对于垂直于圆环面中心对于垂直于圆环面中心 轴的转动惯量轴的转动惯量 . 解解 设圆环设圆环 D 为为 222212,RxyR 密度为密度为, 那么那么 D 中任一点中任一点( , )x y与与 z 轴的距离平方轴的距离平方2122230()dddRRDJxyrr xyzO22.xy 于是转动惯量为于是转动惯量