1.2函数的单调性、极值与最值ppt课件

1、上页下页铃结束返回首页 1 1、定理、定理1 1： 设设 f(x) f(x) 在闭区间在闭区间a,ba,b上连续，在开上连续，在开区间区间(a,b)(a,b)内可导，则有内可导，则有上页下页铃结束返回首页，不不妨妨设设，设设2121,xxbaxx :则由拉格朗日定理得则由拉格朗日定理得 211212)( )()(xxxxfxfxf , 0)( 0)( fxf，则则若若012 xx又又)()(0)()(1212xfxfxfxf 即即：，内任意两点内任意两点，是是，21baxx.)(上上单单调调递递增增，在在函函数数baxf.)(上上单单调调递递减减，在在同同理理：函函数数baxf上页下页铃结束返

2、回首页2、分段单调函数：、分段单调函数：Def 1：若函数在某些子区间上单调递增，而在另一：若函数在某些子区间上单调递增，而在另一些子些子区间上单调递减，则称该函数为分段单调函数区间上单调递减，则称该函数为分段单调函数.3、驻点：、驻点： Def 2：.)()( 驻驻点点在在区区间间内内部部的的零零点点称称为为导导数数xfxf.0)( 00为为驻驻点点，则则即即：xxf 上页下页铃结束返回首页（1求函数单调区间求函数单调区间 求求 f (x)单调区间的步骤：单调区间的步骤：上页下页铃结束返回首页解：解：），（ I12186)( 120 xxxf0121860)( 2 xxxf，即即：令令0)1

3、)(2(6 xx则则2121 xx，），），（，），（，划划分分区区间间：（ 221120列表：列表：03x（-,1） （1,2） （2,+ ） f (x) +f (x) 上页下页铃结束返回首页3223)(xxxf 解：解：），（ I3103232)( 1 xxxf01320)( 3 xxxf，即即：令令1121 xx，驻驻点点：0)( 3 xxf不不存存在在的的点点为为此此外外，上页下页铃结束返回首页 ，划划分分区区间间：11001120列表：列表：03x（-, -1） （- -1, 0） （0 0, 1） （1, + ）f (x) +f (x) 综上述：综上述：.101101,)(）内单调

4、递增）内单调递增，（），（）内单调递减，在）内单调递减，在，（）在（在（ xf上页下页铃结束返回首页 ;1)(13xxxf .)(22xxf 上页下页铃结束返回首页).0(1)1ln(122 xxxxx证：证：221)1ln(1)(xxxxxf 令令)1ln()( 2xxxf 则则0 )0( x为为严严格格单单调调递递增增）时时，（当当)(,0 xfx 0)0( f又又0)0()( fxf.即即：不不等等式式成成立立上页下页铃结束返回首页证：证：,sin)(xxxf 令令1cos)( xxf则则0 0)( 2 xfnx时时，有有且且仅仅在在孤孤立立点点 为单调递减为单调递减时，时，当当)(),

5、(xfx ;)( xfx时时，又又.)(xfx时，时，有且仅有一个零点有且仅有一个零点)(xf. 0sin xxx只有一个实根，求是只有一个实根，求是即：证明了方程即：证明了方程上页下页铃结束返回首页yx0 x0ab上页下页铃结束返回首页定理定理 2 设函数设函数 f(x) 在在 I 内连续，点内连续，点 x0 不是不是 I 的断点，若函数在的断点，若函数在 x0 处取得极值，那么处取得极值，那么 x0 或是函或是函数的不可导点，或是可导点；当数的不可导点，或是可导点；当 x0 是是 f(x) 的可导的可导点，那么点，那么 x0 必是函数的驻点，即必是函数的驻点，即 f ( x0 ) = 0.

6、上页下页铃结束返回首页xyOa ab bx2x2x4x4A Ax0 x0 x1x1x3x3x5x5 x6x6x7x7BC上页下页铃结束返回首页定理定理3第一充分条件）第一充分条件） 设函数设函数 f(x)在点在点 x0的去的去心邻心邻域内可导，在点域内可导，在点 x0处连续，则有如下结果：处连续，则有如下结果： （1当当 x x0 时，有时，有 f (x) 0 ；当；当 x x0 时，有时，有 f (x) 0；则函数在点；则函数在点 x0处取得极大值。处取得极大值。 （2当当 x x0 时，有时，有 f (x) 0 ；当；当 x x0 时，有时，有 f (x) 0；则函数在点；则函数在点 x0

7、处取得极小值。处取得极小值。 （3如果在如果在 x0 的两侧，导数的两侧，导数 f (x) 不变号，不变号，则函则函数在点数在点 x0处不能取得极值。处不能取得极值。上页下页铃结束返回首页证明（证明（1 1） 在在 x0 x0 某领域内任取一点某领域内任取一点x x，在以，在以 x x 和和x0 x0 为端点的闭区间上，对函数为端点的闭区间上，对函数 f(x) f(x) 应用拉格应用拉格朗日中值定理，得朗日中值定理，得 上页下页铃结束返回首页 （1假设假设 f (x0) 0 ，则函数，则函数 f(x)在点在点 x0 处取处取得极大值；得极大值； （2若若f (x0) 0 ，则函数，则函数 f(

8、x)在点在点 x0 有极小值。有极小值。（3如果如果f (x0)=0，无法判断，无法判断 上页下页铃结束返回首页（1确定函数确定函数f(x)的考察范围，即定义域；的考察范围，即定义域； （2求出函数求出函数f(x)的导数的导数 f (x)； （3求出函数求出函数 f(x)的所有驻点及不可导点，即求出的所有驻点及不可导点，即求出f (x)=0的根和的根和 f (x)不存在的点；不存在的点； （4 4列表，利用定理列表，利用定理3 3或定理或定理4 4，判定上述驻点或不，判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值 上页下页铃结束返回首页解：

9、解： （1(- ，+ )； （2） f (x)=2(x+2)(x1)3+3(x+2)2(x1)2=(x+2)(x1)2(5x+4)； （3令令f (x)=0，即，即(x+2)(x1)2(5x+4) =0；，得得驻驻点点为为：1542321 xxxf (x)f (x)没有不可导点；没有不可导点； （4利用定理利用定理3，判定驻点是否为函数的极值，判定驻点是否为函数的极值点这步常用类似于确定函数增减区间那样的列表方点这步常用类似于确定函数增减区间那样的列表方法，只是加了从导数符号判定驻点是否为极值点的内法，只是加了从导数符号判定驻点是否为极值点的内容，其结果如下：容，其结果如下： 上页下页铃结束返

10、回首页x（-, -2）-2f (x) +00f (x) 极大值极大值0 0 极小值极小值-8.4-8.4），（542 54 x1（1, + ）f (x)+0+f (x) 非极非极值点值点 ），（154 上页下页铃结束返回首页例例6：的的极极值值。求求函函数数31232)1()( xxxf解：解： （1(- ，+ )； xxxxf2)1(3132)( 232312 ）（32313432)1()1(3222 xxxx（3） 令令f (x)=0，得驻点，得驻点，221 x;222 x不可导点为不可导点为x3=x3=1 1，x4= 0 x4= 0，x5= 1x5= 1； 上页下页铃结束返回首页 （4）

11、 利用定理利用定理3，判定驻点或不可导点是否为函数，判定驻点或不可导点是否为函数的极值点列表如下：的极值点列表如下： x-1f (x) +不存在不存在+0f (x) 无无 极大极大），（221 22 ），（022 ）（1, 01 1不存在不存在+0不存在不存在极小极小极大极大 无无），（22022），（122），（ 1上页下页铃结束返回首页所以，所以，f(x)的极大值为的极大值为.4)22(4)22(33 ff， f(x)的极小值为的极小值为. 1)0( f练习练习 ；， 20cossin)(1 xxxxf ）；（xxxf 1)(23 .1)(32xxxf 上页下页铃结束返回首页 在许多实际问

12、题中，常常会遇到在一定条件下，在许多实际问题中，常常会遇到在一定条件下，如何使如何使“用料最省用料最省”、“效率最高效率最高”、 “成本最低成本最低”、“路路程最短等问题这些问题经过抽象提炼后，用数学程最短等问题这些问题经过抽象提炼后，用数学的方法进行描述，就都可归结为求一个函数的最大值的方法进行描述，就都可归结为求一个函数的最大值或最小值问题或最小值问题 上页下页铃结束返回首页Def 3：函数：函数 y=f(x)，xII可以为有界、无界，可可以为有界、无界，可以为以为闭区间、非闭区间），闭区间、非闭区间），x1，x2I （若对任意（若对任意 x xI I，成立，成立 f(x) f(x)f(x

13、1)f(x1)，则称，则称 f(x1)f(x1)为为 f(x) f(x)在在I I上的最小值，称上的最小值，称 x1 x1为为f(x)f(x)在在I I上的最小值上的最小值点；点； （若对任意（若对任意 x xI I，成立，成立 f(x) f(x)f(x2)f(x2)，称，称 f(x2)f(x2)为为f(x)f(x)在在I I上的最大值，称上的最大值，称 x2 x2为为f(x) f(x) 在在I I上的最大值点上的最大值点 上页下页铃结束返回首页注注1：最值是一个整体概念，在某一范围内，最值：最值是一个整体概念，在某一范围内，最值 若存在，只能是唯一的；若存在，只能是唯一的；注注2：最值可以是

14、：最值可以是 I 内部的点，也可以是端点；内部的点，也可以是端点；注注3：如果最值点不是：如果最值点不是I 的边界点，那么它必定是极的边界点，那么它必定是极 值点；值点；注注4：当函数存在唯一的极值点：当函数存在唯一的极值点I内部的点时，内部的点时， 函数的极大小值就是函数的最大小）函数的极大小值就是函数的最大小） 值值.上页下页铃结束返回首页 bxaxxxfxfxxfbaxbax0000000)(0)()()(,或或处处不不可可导导在在处处可可导导，即即在在，上页下页铃结束返回首页（1求出函数求出函数 f (x)的导数的导数 f (x)； （2求出函数求出函数 f (x)在内的所有可能极值点

15、：驻点及不在内的所有可能极值点：驻点及不可导点，即求出可导点，即求出 f (x)=0的根和的根和 f (x)不存在的点；不存在的点； （3计算函数计算函数f (x)在驻点、不可导点处及端点在驻点、不可导点处及端点a，b处处的函数值；的函数值； （4比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最大比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最大值，最小者的即为函数的最小值值，最小者的即为函数的最小值 上页下页铃结束返回首页解：解：；）（963)( 12 xxxf0)3)(1(30)( 2 xxxf，即即：）令令（3121 xx，驻驻点点：.且且无无不不可可导导点点（3计算函数计算函数 f(x)在驻点、区间端

16、点处的函数值：在驻点、区间端点处的函数值： ，10)1( f，22)3( f15)4( f （4函数函数f(x)在在1，4上的最大值为上的最大值为10，最大值点为，最大值点为 x =-1；最小值为；最小值为-22，最小值点为，最小值点为x =3 上页下页铃结束返回首页解：解：（3计算函数计算函数 f(x)在驻点、区间端点处的函数值：在驻点、区间端点处的函数值： ，3518128)2( f，10)1( f.17)2( f；）（963)( 12 xxxf0)3)(1(30)( 2 xxxf，即即：）令令（舍舍），3121 xx，驻驻点点：11 x.且且无无不不可可导导点点 （4函数函数f(x)在在

17、-2，2上的最大值为上的最大值为10，最大值点为，最大值点为 x =-1；最小值为；最小值为-17，最小值点为，最小值点为x =2 上页下页铃结束返回首页 数学和实际问题中遇到的函数，未必尽是闭区间上的数学和实际问题中遇到的函数，未必尽是闭区间上的连续函数一般可按下述原则处理：若实际问题归结出的连续函数一般可按下述原则处理：若实际问题归结出的函数函数f (x)f (x)在其考察范围在其考察范围I I上是可导的，且已事先可断定最上是可导的，且已事先可断定最大大值或最小值必定在值或最小值必定在I I 的内部达到，而在的内部达到，而在I I 的内部又仅的内部又仅有有f (x)f (x)的唯一一个驻点

18、的唯一一个驻点x0 x0，那么就可断定，那么就可断定f (x)f (x)的最大值的最大值( (或或最小值最小值) )就在点就在点x0 x0取得取得 上页下页铃结束返回首页 则煤气柜的侧面积为则煤气柜的侧面积为2 2rh rh ，底面积为，底面积为r2r2，表面积为，表面积为s=2s=2r2+2r2+2rhrh 22rVhhrV ，则，则由由,0222），（，所所以以 rrVrs 224rVrs 23)2(2rVr ），（，有有唯唯一一驻驻点点令令 0)2(031 Vrs 因此它一定因此它一定是使是使s s 达到最小值的点，此时对应的高为达到最小值的点，此时对应的高为h= = h= = =2r=2r 2rV 31)2( 2 V上页下页铃结束返回首页例例 9： 一房地产公司有一房地产公司有50套公寓房要出租，当租套公寓房要出租，当租金金定为定为180元元/套套 月时，公寓可全部租出；当租金月时，公寓可全部租出；当租金提高提高解：设租金为解：设租金为P(元元/套套 月月)，据设，据设P180此时未租出此时未租出公公寓为寓为 (P-180)(套