1.2傅立叶级数(1)ppt课件

1、 引引 言言在自然科学和工程技术中为了把较复杂的在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常采用变换的运算转化为较简单的运算，常采用变换的方法来达到目的。方法来达到目的。例如在初等数学中，数量的乘积和商可以例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算算( (如微分、积分如微分、积分) )转化为代数运算。正是转化为代数运算。正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一。偏

2、微分方程的求解中成为重要的方法之一。积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用。要的作用。积分变换：就是通过积分运算，把一个函数变成积分变换：就是通过积分运算，把一个函数变成 另一个函数的变换。另一个函数的变换。 即即badxpxKxfpF)()()(，A A类函数像类函数像函数函数积分区积分区域

3、确定域确定B B类函数类函数像函数像函数确定的确定的二元函数二元函数变换核变换核对不同的核和区间，决定了不同的变换及不同的对不同的核和区间，决定了不同的变换及不同的性质与作用。性质与作用。在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像函数类为像函数的代数方程，从而容易在像函数类B B中中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要找到解的像；再经过逆变换，便

4、可以得到原来要在在A A中所求的解。中所求的解。 第五章第五章 傅立叶变换傅立叶变换教学内容：教学内容：傅里叶变换公式、性质以及计算方法和应傅里叶变换公式、性质以及计算方法和应用。用。要求：要求：理解傅里叶积分与傅里叶变换以及复数形理解傅里叶积分与傅里叶变换以及复数形式的傅里叶变换。掌握非周期函数的傅里式的傅里叶变换。掌握非周期函数的傅里叶变换。理解叶变换。理解函数的含义、性质以及在函数的含义、性质以及在物理中的应用。物理中的应用。傅立叶生平傅立叶生平1768年生于法国年生于法国1807年提出年提出“任何周期信号任何周期信号都可用正弦函数的级数表都可用正弦函数的级数表示示”1822年发表年发表

5、“热的分析理热的分析理论论”，首次提出，首次提出“任何非周任何非周期信号都可用正弦函数的期信号都可用正弦函数的积分表示积分表示” 5.1 5.1 傅立叶级数傅立叶级数一、傅立叶级数一、傅立叶级数对周期为对周期为2l2l的函数的函数f(x)=f(x+2l)f(x)=f(x+2l)，可取三角，可取三角函数族函数族 (1) (1)作为基本函数族，将作为基本函数族，将f(x)f(x)展开成级数展开成级数 (2)(2)(2)(2)式称为周期函数式称为周期函数f(x)f(x)的傅立叶展开式。的傅立叶展开式。10sincos)(kkklxkblxkaaxf.sin.2sinsin .cos.2coscos1

6、，lxklxlxlxklxlx函数族函数族(1)(1)是正交的，正交是指在三角函数族中任是正交的，正交是指在三角函数族中任何两个不同函数乘积在一个周期上的积分为零。何两个不同函数乘积在一个周期上的积分为零。以上等式都可以通过计算定积分来验证。以上等式都可以通过计算定积分来验证。0sincos)( 0sinsin)( 0coscos0sin1)0( 0cos1lllllllllldxlxnlxknkdxlxnlxknkdxlxnlxkdxlxkkdxlxk另外还有：任意函数的平方在一个周期上的积分不另外还有：任意函数的平方在一个周期上的积分不为零为零(模方模方)利用三角函数系的正交性和模方，可以

7、求得利用三角函数系的正交性和模方，可以求得(2)式式中的展开系数：中的展开系数： (3)(3)式称为傅立叶系数。式称为傅立叶系数。0 sin0 20 cos22kldxlxkklkldxlxkllll)0( 1)0( 2sin)(1cos)(1kkdlkflbdlkflakllkllkk，函数族函数族(1)又是完备的，解释如下：假设用又是完备的，解释如下：假设用近似的表示函数近似的表示函数f(x)，其中，其中a0、ak、bk待定，于是待定，于是平均平方误差为平均平方误差为将将2展开，逐项积分，得展开，逐项积分，得nkknkklxkblxkaa110sincos0sincos)(2121102l

8、lnkknkkdxlxkblxkaaxfl0sin)(2cos)(2 )(22)(2111012122022 nkllknkllkllnkknkklldxlxkxfbdxlxkxfadxxfalblaladxxfl系数系数a0、ak、bk，应该选择使得，应该选择使得 最小，即最小，即由此可得由此可得与傅立叶级数的系数与傅立叶级数的系数(3)一致，将上式代入一致，将上式代入 的表的表达式，得达式，得可以证明：对于任意连续函数可以证明：对于任意连续函数f(x) ，当，当n时，时，20/ 0/ 0/2202kkbaallkllkkdxlxkxflbdxlxkxflasin)(1cos)(12nkkn

9、kklllxkblxkadxxf0220222sincos)(这样，我们就称函数族是完备的，上式称为完备性这样，我们就称函数族是完备的，上式称为完备性方程。方程。问题：问题：傅立叶级数平均收敛于傅立叶级数平均收敛于f(x)，并不意味着收敛于，并不意味着收敛于f(x)，甚至并不意味着收敛，那么，甚至并不意味着收敛，那么f(x)需满足怎样需满足怎样的条件，傅立叶级数的条件，傅立叶级数(2)收敛且收敛于收敛且收敛于f(x)呢？换句呢？换句话说，定义在话说，定义在(-，+)上周期为上周期为2l的函数的函数f(x)满足满足什么条件才能展开成傅立叶级数什么条件才能展开成傅立叶级数(2)及及(3)呢？呢？0

10、220222sincos)(kkkklllxkblxkadxxf【定理】(收敛定理，狄里希利充分条件)周期为2l的函数f(x)，如果满足：1. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；2. 在一个周期内只有有限个极值点，则f(x)的傅立 叶级数收敛，并且 级数和)( )0()0(21)( )(xxfxfxxf在间断点在连续点二、奇函数及偶函数的傅立叶展开：二、奇函数及偶函数的傅立叶展开： 1. 1. 若若f(x)f(x)为奇函数，即为奇函数，即 那么那么 ，称为傅立叶正弦级数，称为傅立叶正弦级数 其中其中2. 2. 若若f(x)f(x)为偶函数，即为偶函数，即 那么那么 ，称为傅立叶余弦级，

11、称为傅立叶余弦级数数 其中其中10cos)(kklxkaaxf)0( 1)0( 2cos)(20kkdlkflaklkk，1sin)(kklxkbxflkdlkflb0sin)(2)()(xfxf)()(xfxf三、定义在有限区间上的函数的傅立叶展开三、定义在有限区间上的函数的傅立叶展开定义在有限区间定义在有限区间(0，l)上的函数上的函数f(x)，可在区间外，可在区间外补充函数的定义，使其成为某种周期函数补充函数的定义，使其成为某种周期函数g(x)，这，这个过程称为周期延拓。然后将个过程称为周期延拓。然后将g(x)展开成傅立叶级展开成傅立叶级数。由于数。由于(0，l)外无定义，所以可以有无数

12、种延拓外无定义，所以可以有无数种延拓方式，从而有无数种展开式，但它们在方式，从而有无数种展开式，但它们在(0，l)上均上均代表代表f(x)。有时要求函数有时要求函数f(x)在边界上满足一定的条件，这常在边界上满足一定的条件，这常常决定了如何延拓。例如：要求常决定了如何延拓。例如：要求f(0)=f(l)=0，则进，则进行奇延拓；要求行奇延拓；要求f(0)=f(l)=0，则进行偶延拓。，则进行偶延拓。四、复数形式的傅立叶级数四、复数形式的傅立叶级数以复指数作为基本函数族以复指数作为基本函数族可以将周期函数展开成复数形式的傅立叶级数：可以将周期函数展开成复数形式的傅立叶级数：其中其中正交性：正交性：

13、.210 ，kelxki)( 2)( 0nklnkdxeelllxkilxkiklkikecxf)(lllkikdeflc)(21完备性方程：完备性方程：尽管尽管f(x)f(x)是实函数，但其傅立叶系数可能是复数，是实函数，但其傅立叶系数可能是复数，由系数公式可以看出，对于实函数由系数公式可以看出，对于实函数例例1 1：设：设f(x)f(x)是周期为是周期为22的函数，它在的函数，它在-,-,上上的表达式为的表达式为将将f(x)f(x)展开成傅立叶级数。展开成傅立叶级数。222)(lxkikkllecdxxfkkccx0 10 1)(xxf解：解： 函数的图形如下函数的图形如下函数仅在函数仅在

14、 处是跳跃间断，满处是跳跃间断，满足收敛定理的条件，由收敛定理得傅立叶级数收足收敛定理的条件，由收敛定理得傅立叶级数收敛，并且当敛，并且当 时，级数收敛于时，级数收敛于当当 时，级数收敛于时，级数收敛于f(x)f(x)。.)210(，kkxkx 02) 1(1211kx 傅立叶系数计算：傅立叶系数计算：0 cos11cos) 1(1 cos)(100nxdxnxdxnxdxxfan) 1(1 2 sin11sin) 1(1 sin)(100nnnnxdxnxdxnxdxxfbf(x)的傅立叶级数展开式的傅立叶级数展开式例例2：设：设f(x)是周期为是周期为2的函数，它在的函数，它在-,上的表上

15、的表达式为达式为将将f(x)展开成傅立叶级数。展开成傅立叶级数。.)20( .) 12sin(121.3sin31sin4 sin) 1(1 2)(1，xxxkkxxnxnxfnnx0 00 )(xxxf解：函数的图形如下：解：函数的图形如下：如图可知，如图可知，f(x)满足收敛定理条件，在间断点满足收敛定理条件，在间断点 处，处，f(x)的傅立叶级数收敛于的傅立叶级数收敛于在连续点在连续点 处收敛于处收敛于f(x)。.)210( ) 12(，kkx2202)0()0(ff) 12(kx傅立叶系数计算：傅立叶系数计算： f(x)的傅立叶级数展开式的傅立叶级数展开式) 1(1 1 cos1 co

16、s)(120nnnnxdxxnxdxxfa2 21 1 )(10200 xxdxdxxfannxdxxnxdxxfbnn10) 1( sin1 sin)(1.)3( sin) 1( cos) 1(14)(1112，xxnxnnxnxfnnnn例例3：将函数：将函数f(x)展开成傅立叶级数。展开成傅立叶级数。解：将解：将f(x)在在(-，)上以上以2为周期作周期为周期作周期(偶偶)延拓，延拓，其函数图形为其函数图形为延拓后的周期函数延拓后的周期函数F(x)在在(-，)上连续，故它的上连续，故它的傅立叶级数在傅立叶级数在-,上收敛于上收敛于f(x)。x0 0 )(xxxxf傅立叶系数计算：傅立叶系数计算：.64