圆地实用标准方程与一般方程

1、实用标准文档圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r。(其中a、b、r都是常数，r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P=M|MA|二r, 由两点间的距离公式让学生写出点 M适合的条件J(x a)2(y b)2 r 化简可得：(x a

2、)2 (y b)2 r2222引导学生自己证明(x a) (y b) r为圆的方程，得出结论。方程就是圆心为 A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。3、知识应用与解题研究例(1)：写出圆心为A(2, 3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5, 7),M2( J5, 1)是否在这个圆上。分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。探究：点M(xo,y°)与圆(x a)2 (y b)2 r2的关系的判断方法：229(1) (xo a)(yo b) >r ,点在圆外一、222 (xo a)(yo b) =r，点在圆上,、，、2 ,、22(3) (xo a)(yo

3、 b) <r，点在圆内例(2)： ABC的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7, 3),C(2, 8),求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程（x a）2 （y b）2r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定 a、b、r三个参数.（学生自己运算解决）例（3）:已知圆心为C的圆l : x y 1 0经过点A（1,1）和B（2, 2）,且圆心在 l : x y 1 0上，求圆心为C的圆的标准方程师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A（1,1）和B（2, 2）,由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上，又圆心

4、C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于 CA或CB。（教师板书解题过程）总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例（3）可得出VABC外接圆的标准方程的两种求法：、根据题设条件，列出关于 a、b、r的方程组，解方程组得到 a、b r得值，写出圆的 标准方程.根据确定圆的要素， 以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.课堂练习：课本p第1、3、4题4.提炼小结：1、圆的标准方程。2、点与圆的位置关系的判断方法。3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。圆的一般方程教学 环节教学内容师生互动设计意图课题 引入问题：求过三点 A (0 , 0

5、) , B (1 , 1) , C(4 , 2)的圆的方程.,1利用圆的标准方程解决此问题显 然有些麻烦，得用直线的知识解决又有 其简单的局限性，那么这个问题有没有 其它的解决方法呢？带着这个问题我 们来共同研究圆的方程的另一种形式 圆的一般方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣 导入课题.概念 形成 与深 化请同学们写出圆的标准方程：(xa)2 + (y b)2 = r2,圆心(a, b), 半径r.,把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 - 2ax - 2 by + a2 + b2 - r2=0.取 D = - 2a, E = - 2b, F = a2 + b2 - r2得 x2 +

6、y2 + Dx + Ey+F =。1这个方程是圆的方程.,反过来给出一个形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线 卡是圆吗？,把 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 配 方得/D.2/E、2D2 E24Fe(x2)(y2)4(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？ M(1)当 D2 + E2 - 4F> 0 时，方程表不以(一，一)为圆心，22-7d2 E2 4F为半径的圆；2(2)当 D2 + E2 - 4 F = 0 时，方程只有实数解x D,y即只表22示一个点(D, E);22(3)当 D2 + E2 - 4F< 0

7、 时，方 程没启实数解，因向它不表小任何图 形.”综上所述，方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F- 0表小的曲或不TEztH . 整个探索过程由学生完 成，教师只做引导，得出圆的 一般方程后再启发学生归纳 .圆的一般方程的特点：, (1)x2和y2的系数相 同，不等于0.,没有xy这样的二次项. (2)圆的一般方程中有二 个特定的系数 D E、F,因此 只要求出这三个系数，圆的方 程就确定了 .,(3)与圆的标准方程相比 较，它种特殊的二元二次 方程，代数特征明显，圆的标 准方程则指出了圆心坐标与半 径大小，几何特征较明显.通过 学生对圆 的一般方 程的探究， 使学生亲 身体会圆

8、的一般方 程的特点， 及二元二 次方程表 示圆所满 足的条件.只有当D2 + E2 - 4F> 0时，它表 示的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 +Dx + Ey + F = 0的表小圆的方程称为 圆的一般方程.应用 举例例1判断下列二兀二次方程是否 表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆 心及半径.,(1) 4x2 + 4y2 - 4x + 12y + 9 = 0(2) 4x2 + 4 y2 - 4x + 12 y + 11 =Oh解析：(1)将原方程变为x2 + y2 - x + 3 y + 9= 04D = - 1, E =3 , F = 9.,4,. D2 + E2 - 4 F

9、= 1 >0.此方程表示圆，圆心(1, 3),22八半径r =-., 2(2)将原方程化为x2 + y2 - x + 3 y + 11 = 04D = - 1, E =3 , F = 11.,4D2 + E2 - 4 F = - 1< 0.此方程不表不圆.学生自己分析探求解决途 径：用配方法将其变形化成 圆的标准形式.运用圆的一 般方程的判断方法求解.但是， 要注息又行1 ( 1) 4x + 4 y - 4x + 12 y + 9 = 0 来说，这里一一-9的 D = - 1 E = 3 , F -而4不是 D= -4, E= 12, F = 9.通过 例题讲解 使学生理 解圆的一

10、 般方程的 代数特征 及与标准 方程的相 互转化更 进一步培 养学生探 索发现及 分析解决 问题的能 力.例2求过三点A (0 , 0) , B (1 , 1), C(4, 2)的圆的方程，并求这个圆 的半径长和圆心坐标一分析：据已知条件，很难直接写出 圆的标准方程，而圆的一般方程则需确 定三个系数，而条件恰给出三点坐标， 不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2+ Dx + Ey + F = 0- A (0 , 0) , B (1,1), C (4 , 2) 在圆上，所以它们的坐标是方程的解 . 把它们的坐标代入上面的方程， 可以得 到关于 d e、f的三e-次方程

11、组：.例2讲完后,学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1 .根据题设，选择标准方 程或一般方程.2 .根据条件列出关于 a、 b、或H E、F的方程组；3 .解出 a、b、或 H E、F,代入标准方程或一般方程 .文案大全F 0即 D E F 2 04D 2E F 20 0 1解此方程组，可得：D= -8, E=6, F = 0 ,所求圆的方程为：x2 + y2 - 8x + 6y = 0 ,1 -冷r -y/D E2 4F 5；D, F门4, 3.ii2 2得圆心坐标为(4 , - 3)或将 x2 + y2 - 8 x + 6 y = 0 左边 配方化为圆的标准方程，(x - 4

12、) +(y + 3) 2 = 25 ,从而求出圆的半径 r = 5,圆心坐标为(4 , - 3).例3已知线段AB的端点B的坐标 是(4 , 3),端点A在圆上(x + 1) 2 + y2 =4运动，求线段 AB的中点M的轨迹 方程.解：设点M的坐标是(x, y),点A 的坐标是(x。，y。)由于点B的坐标是(4 , 3)且M是线段AB中重点，所以x04y03Gx,y，22丁心有 x0 - 2 x 4 , y0 = 2 y 3因为点A在圆(x + 1) 2 + y2 = 4 上运动，所以点 A的坐标满足方程(x + 1)2+ y2 = 4,即(x0+ 1)2 + y02 = 4 把代入，得(2

13、x - 4 + 1)2 + (2y - 3) 2 = 4,一3 一3 一整理得(x 3)2 (y 3)2 1223 3所以，点M的轨迹是以(3,3)为圆2 2心，半径长为1的圆.教师和学L起分析解题 思路，再由教师板书.分析：如图点A运动引起 点M运动，而点 A在已知圆上 运动，点A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4.建立点M与点A 坐标之间的关系，就可以建立 点M的坐标满足的条件，求出 点M的轨迹方程.1、VM/B 邑课堂练习：课堂练习/ xP130第 1、2、3 题.归纳 总结1 .圆的一般方程的特征2 .与标准方程的互化3 .用待定系数法求圆的方程4 .求与圆有美的点的轨迹

14、教师和学生共同总结让学 生更进一 步(回顾) 体会知识 的形成、发 展、完善的 过程.4.1.1圆的标准方程、基础过关1. (x+1) 2+(y2) 2= 4的圆心与半径分别为()A.(1,2),2B . (1,2),2C.(1,2),4D . (1,2),42 .点P(mf5)与圆x2+y2=24的位置关系是()A.在圆内B,在圆外C.在圆上D.不确定3 .圆的一条直径的两个端点是(2,0) , (2, 2),则此圆的方程是()A. (x- 2)2+(y-1)2=1B. (x-2)2+(y+ 1)2=1C. (x+ 2)2+(y-1)2=1D. (x+2)2+(y+ 1)2=14 .圆(x1

15、)2+y2= 1的圆心到直线y=W3x的距离为()3A.1 B.乎 C . 1 D.小5 .圆O的方程为(x3)2+( y 4)2=25,点(2,3)到圆上的最大距离为 .6 .圆(x3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y 3=0对称的圆白方程是 7 .求满足下列条件的圆的方程：(1)经过点P(5,1),圆心为点 Q8 , 3);(2)经过点P(4,2) , Q6, 2),且圆心在y轴上.8 .求经过 A(6,5) , B(0,1)两点，并且圆心在直线3x+10y+9=0上的圆的方程.二、能力提升9 .方程y= J9 x2表示的曲线是()A. 一条射线 B.一个圆C.两条射线 D .半个圆1

16、0 .若直线y=ax+b通过第一、二、四象限，则圆(x+a)2+(y+b)2= 1的圆心位于()A.第一象限 B .第二象限C.第三象限D .第四象限11 .如果直线l将圆(x1)2 + (y2)2=5平分且不通过第四象限，那么 l的斜率的取值范 围是.12 .平面直角坐标系中有A(0,1) , B(2,1) , C(3,4) , D(- 1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？三、探究与拓展13 .已知点 N2, -2) , B(2,6) , C(4 , -2)，点 P 在圆 x2+y2=4 上运动，求 | PA2+| PB： 十 | PC2的最值.答案1. A 2.B 3.B 4 ,

17、 A5. 5 + 26.；y-52= 17 .解 (1)圆的半径 r=|CR = V 5 8 2+1 + 3 2 = 5,圆心为点C(8 , 3),，圆的方程为(X8)2+( y+ 3)2=25.(2)设所求圆的方程是x2+(y-b)2=r2.点P、Q在所求圆上，依题意有2 14516+ 2-b 2=r2,r 4 '36+ 2+b 2=r2,?5b=.所求圆的方程是x2+,52y+21458 .解 由题意知线段 AB的垂直平分线方程为 3x+ 2y-15=0,3x+2y-15=0,由，3x+ 10y+ 9=0x= 7, 解得y=- 3.圆心 C(7 , 3),半径 r = |AC =晒

18、.，所求圆的方程为(x7)2+(y+3)2=65.9. D 10.D11 . 0,2212 .解 能.设过 A(0,1) , B(2,1) , Q3,4)的圆的方程为(xa)2+(yb)将A, B, C三点的坐标分别代入有a2+1-b 2=r2,2-a 2+1-b 2=r2,3-a 2+4-b 2=r2,a= 1,解得b=3, r = 5.，圆的方程为(x1)2+(y 3)2=5.将D( 1,2)代入上式圆的方程，得( 1 1)2+ (2 3)2=4+1=5,即D点坐标适合此圆的方程.故A, B, C, D四点在同一圆上.13 .解设 P(x, y),则 x2+y2=4.| PA2+ | PB

19、 2+ | PQ2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2= 3(x22、+ y ) 4y+ 68= 80 4y.- 2< y< 2,. 72w | PA 2+ | PB2+ | PC 2< 88.即| PA2+I PB2+I PC2的最大值为88,最小值为72.4.1.2圆的一般方程一、基础过关1 .方程x2+y2-x+ y + m= 0表示一个圆，则 m的取值范围是()1 1A. mic 2 B . mK -C. mK 2 D . rm -2 22.设A, B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则| AB等于()A. 1

20、B. 2 C. 3 D . 23. M3,0)是圆x2+y2 8x2y+10= 0内一点，过 M点最长的弦所在的直线方程是()A. x + y-3= 0 B . x-y- 3=0C. 2x- y6=0 D . 2x+y-6=04 .已知圆 x2+y2-2ax-2y+ (a-1)2=0(0< a<1),则原点 O在()A.圆内 B ,圆外C.圆上 D .圆上或圆外5 .如果圆的方程为 x2+y2+kx + 2y+k2= 0,那么当圆面积最大时，圆心坐标为 .6 .已知圆C： *2+丫2+2/+2丫一3=0(2为实数)上任意一点关于直线l : x-y+ 2=0的对称点都在圆C上，则a=

21、.7 .已知圆的方程为 x2+y2-6x-6y+ 14=0,求过点A(- 3, 5)的直线交圆的弦 PQ勺中点M的轨迹方程.8 .求经过两点 A(4,2)、B( 1,3),且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程.二、能力提升9 .若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是()A. x y = 0 B . x+y=0C. x2+y2=0 D . x2-y2=010 .过点P(1,1)的直线，将圆形区域( x, y)| x2+y2< 4分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A. x + y2=0 B . y1=0C. x-y= 0 D . x+3y

22、4=011 .已知圆的方程为x2 + y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC和BD则四边形ABCD勺面积为.12 .求一个动点 P在圆x2+y2=1上移动时，它与定点 A(3,0)连线的中点 M的轨迹方程.三、探究与拓展13 .已知一圆过P(4, 2)、Q 1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为 4国 求圆的方程.答案1. B 2.D 3.B 4. B5 . (0, 1)Mx, y),圆的方程可化为(x 3)2+(y X6 .-27 .解设所求轨迹上任一点3)2=4.圆心 C(3,3).CML AM即匕2,9=_ i, x-3 x+3即 x2+(y+1)2=25.，所求轨迹方程为 x2+(y+1)2=25(已