离散序列傅里叶变换习题

1、离散序列傅里叶变换习题作者:日期:1、试求以下各序列的时间傅里叶变换(1) x1(n)(n 3)11(2 )X2(n) - (n 1)(n) - (n 1)2 23 3) x3(n) anu(n), 0 a 1(4 )x4(n) u(n 3) u(n 4)2、设X(ej )是序列x(n)的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质 求下列各序列的离散时间傅里叶变换。x(n 1)n)(1) g(n) x(n)(2)g(n) x*( n)(3) g(n) x*(4)g(n) x(2 n)n为偶数n为奇数(5)g(n) nx(n) 2 (6)g(n) x (n) g(n) x(2) 0,

2、3、试求以下各序列的时间傅里叶变换(1) x1(n) anu(n), |a| 1(2) x2(n) anu( n), |a| 1 a|n|,|n| M0,n为其他anu(n 3), |a| 11 n(-)(n 3m)m 0 4sin(n /3) sin(n /4)(3) x3(n)(4)x4(n)(5)x5(n)(6)x6(n)4、设x(n)是一有限长序列，已知x(n)1,2,0, 3,2,1,0,n 0,1,2,3,4,5n为其他它的离散傅里叶变换为 X(ej )。不具体计算 X(ej )，试直接确定下列表达式的值。(1) X(ej0)(2) X(ej ) X(ej )d |X(ej) 12

3、 d(5) |dXjdd5、试求以下各序列的时间傅里叶变换(1) xi(n)1,0,|n| Nn为其他(2) X2(n)(3) X3(n)1 |n|/N,0,cos(n ), 2N0,|n| Nn为其他|n| Nn为其他6、证明：若X(ej )是序列x(n)的离散时间傅里叶变换，而x(-),n为整数x1(n)k k0,其他则 X1(ej ) X(ej )。7、设序列x(n) u(n),证明x(n)的离散时间傅里叶变换为i1X(ej )7 i (2l)X1(ej ),试用 X1(ej )表示8、如图所示四个序列，已知序列x1(n)的离散时间傅里叶变换为其他序列的离散时间傅里叶变换。Mg)12 3

4、 49、X X4(n)1234 5678n，即21i 2|x(n)|2|X(ej )|2dn210、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质，即dX (ej )D旧nx(n) j =式中，X(ej )是序列x(n)的离散时间傅里叶变换。1 1、证明：(1)若x(n)是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换X(ej )是的实偶函数。(2 )若x(n)是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换X(ej )是的虚奇函数。12、设x(n) R4(n)，试求x(n)的共轲偶对称序列Xe(n)和共轲奇对称序列 xo(n),并分别画出其波形。13、设实序列x(n)的偶对称1一一 - 一 序列xe(n) 一x(n) x(

5、 n),奇对称序列 2,、11x0(n) -x(n) x( n),试证明 2|x(n) |2n|xe(n)|2|x0(n)|214、设实序列x(n)的波形如图所示,，x(n)64-i-U_.01234 n(1 )试求x(n)的共轲偶对称序列xe(n)和共轲奇对称序列 xo(n),并分别画出其波形。(2)设序列xi(n) xe(n) x0(n),式中，xe(n)和x0(n)为(1)所求结果。画出x(n)的 波形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么？(3)分别求序列x(n)、xe(n)和x0(n)的离散时间傅里叶变换 X(ej )、Xe(ej )和Xo(ej ), 分析 X(ej )、 Xe(e

6、j )和 Xo(ej )的实部 ReX(ej ) XR(ej )、虚部 ImX(ej ) Xi(ej )的关系。15、已知序列x(n) anu(n)(0 a 1),试分别求x(n)的共轲偶对称序列 xe(n)和共轲奇 对称序列xo(n)的离散时间傅里叶变换 Xe(ej )和Xo(ej )。16、若序列x(n)是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换X(ej )的实部Xe(ej )为XR(ej ) 1 cos求序列x(n)及其离散时间傅里叶变换 X(ej ) 017、若序列x(n)是实因果序列，x(0) 1 ,已知其离散时间傅里叶变换X(ej )的虚实部XI (ej )为Xi (ej ) sin求序

7、列x(n)及其其离散时间傅里叶变换 X(ej )。18、如果x(n)是实序列，试证明X*(ej ) X(e j )19、设x(n)是已知的实序列，其离散时间傅里叶变换为 X(ej ),若序列y(n)的离散时间 傅里叶变换为Y(ej ) DTFTy(n) 1X(ejy) X(e 鸟2试求序列y( n)。离散时间傅里叶变换习题解答:1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换(1) xi(n)(n 3)解：X(ej ) e j31 1(2)xz(n) - (n 1)(n) - (n 1)2 2解：X(ej ) 1 cos(3) x3(n) anu(n), 0 a 11 j1解：X(ej )-1 ae j

8、x4(n) u(n 3) u(n 4)j、y 1111 a7e j7解： X(e ) 1 cos cos2 cos3 ：-2 221 ae j2、设X(ej )是序列x(n)的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。(1) g(n) x(n) x(n 1)解：G(ej ) (1 e j )X(ej )(2)g(n) x*( n)解：G(ej ) X *( e j ) g(n) x*( n)?解:G(ej ) X*(ej )(4) g(n) x(2n)解：G(ej ) x(n)e jnx(2n)e jn2 nG(en为偶数x(n)e 2x(n)

9、( 1)nx(n)e/2)12nx(n)ejn e加百9V）x(n)ejn e j 211 2a cos a(5) g(n) nx(n)d dX(ej )jdX(ej )? 解：*,jnx(n) G(e ) j-dd,、2(6) ) g(n) x (n)? 解：G(ej ) X(ej )* X (ej )2(7)g(n),nx（2），0,n为偶数n为奇数解:G(ejx(n)e jnnx(m)ej2m X(ej23、试求以下各序列的时间傅里叶变换(1)x(n) anu(n), |a| 11j1解：X(ej ) j1 ae(2) x2(n)anu( n),|a| 1解:X(ej11 a 1ej(3

10、) x3(n)a|n1,0,|n| Mn为其他解：X(ej )x(n)e jnn jn a eM1 2RenMn jn2Re a e 1n MM 1M 21 a cos a cos( M 1) a cos M2 21 2a cos a/2 M 1M 21 a 2a cos(M 1) 2 a cosM(4) X4(n)n /a u(n3),|a| 13 n 3a a u(n 3), | a | 1解:X(ej3 j3 a e(5 )X5(n)(1)n m 0 4(n3m)(4)3m (n 3m)X(ejx(n)enjn(1)3m (n 3m)e jnm 0 4/ 13m j3m m0(4) e1

11、1 (4)3ej3(6)X6(n)sin( n / 3)nsin( n n/4)1sin(n /3)sin(n /4)解:sin(/)cng2 c12/3/4sin( n/3)n /3sin(n/4)X(ej2kgz(以 3)*g_()2L 一九12X(ej )4、设x(n)是一有限长序列，已知1271,4(72X(ej )12X(ej)/2 ,127一(一)/2(一1241212712)/21,2,0, x(n) 0,3,2,1,n 0,1,2,3,4,5n为其他它的离散傅里叶变换为X(ej )。不具体计算X (ej ),试直接确定下列表达式的值。(1 ) X(ej0)解：X(ej )x(n

12、)e jnX(ej0)5x(n) 1n 0(2) X(ej )解：X(ejx(n)e jnX(ej )5(1)nx(n)n 0X(ej )d解:x(n)X (ej )ejnX(ej )d2 x(0)(4)|X(ej)|2d解:|x(n)|2|X(ej )|2d(5)dX(ej | 丁|X(ej)|2d|)|2d2|x(n)|2njnx(n)| jnx(n)|2 2 (0 1试求以下各序列的时间傅里叶变换1, x1(n)0,|n| Nn为其他(19 9 161)3825) 21743481 (2)x?(n)0,|n|/N,|n| Nn为其他n 、小、cos( ),|n| N X3(n)2N 1

13、10,n为其他6、证明：若X(ej )是序列x(n)的离散时间傅里叶变换，而x(n),n为整数Xi(n)k k0,其他则 Xi(ej ) X(ej )。7、设序列x(n) u(n),证明x(n)的离散时间傅里叶变换为：1X1(ej )，试用 X1(ej )表X(ej ) k l (2l)8、如图所示四个序列，已知序列x1(n)的离散时间傅里叶变换为示其他序列的离散时间傅里叶变换。9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即21j 2|x(n) |2|X(ej )|2dn210、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质，即DTFTnx(n) j dXeOd式中，X(ej )是序列x(n)

14、的离散时间傅里叶变换。11、证明:(1)若x(n)是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换X(ej )是的实偶函数。(2 )若x(n)是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换X(ej )是的虚奇函数。1 2、设x(n) &(n),试求x(n)的共轲偶对称序列xe(n)和共轲奇对称序列 x0(n),并分别画出其波形。1、13、设头序列x(n)的 偶对称序列xe(n) x(n) x( n),奇对称序 列2一 1x0(n) -x(n) x( n),试证明2222x(n) |x(n)|xe(n)|xo(n)|nnn14、设实序列x(n)的波形如图所示,(1)试求x(n)的共轲偶对称序列xe(n)和共轲奇对称序列

15、xo(n),并分别画出其波形。(2)设序列xi(n) xe(n) x0(n),式中，(n)和x0(n)为(1 )所求结果。画出 x(n)的波 形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么？(3)分别求序列x(n)、xe(n)和x(n)的离散时间傅里叶变换X(ej )、Xe(ej )和Xo(ej )，分析 X(ej )、Xe(ej )和Xo(ej )的实部 ReX(ej ) XR(ej )、虚部 ImX(ej )Xi(ej )的关系。15、已知序列x(n) anu(n)( 0 a 1),试分另1J求x(n)的共轲偶对称序列 xe(n)和共轲奇 对称序列xo(n)的离散时间傅里叶变换 Xe(ej )和Xo(ej )。16、若序列x(n)是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换X(ej )的实部Xe(ej )为XR(ej ) 1 cos求序列x(n)及其离