八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题教师版

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法:找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2a2b2c2，即 2Ra2 b2 c2，求出例1A.（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为16 B 20 C 24体积为16，则这个球的表面积是（ 32(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为则其外接球的表面积是解:(1) V a2h 16, a 2, 4R2 a22 h24 4 16 24，S24 ，选 C；(2)4R23 3 3 9, S 4 R29(3)在正三棱锥 S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN

2、 ,若侧棱SA2、3,则正三棱锥S ABC外接球的表面积是3633解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下: 如图（3）-1，取AB, BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H , 连接SH ,则H是底面正三角形ABC的中心， SH 平面ABC ,SH AB,AC BC , AD BD , CD AB, AB 平面 SCD,AB SC,同理：BC SA, AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3) -2 , AM MN , SB/MN ,AM SB, AC SB, SB 平面 SAC,SB SA，SB SC， SB SA，BC SA，SA 平面 SBC，SA SC，故三棱

3、锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 (2 3)2 (2.3)2 (2 3)2 36，即 4R2 36，正三棱锥S ABC外接球的表面积是36C(4 ) 在四面体 S ABC 中，SA 平面ABCBAC120 ,SA AC2, AB 1,则该四面体的外接球的表面积为(D )A.11B.7d.40(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 (6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为 1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几解析:(4)在 ABC 中，BC2 AC2 AB2 2ABBC cos120BC-7

4、， ABC的外接球直径为2r BCsinBAC,72 73 i 3，(2R)2 (2r)2 SA24坐33，选D(5)三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为a,b,c( a,b,c，则ab 12bc 8abc24， a 3， b4，c 2，(2r)2b229，S 4 R229 ，ac 6(6) (2R)b2c23 R234类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）PADB图5ba22RrrppppOOOCCAOiAADABBB图6图8pppO2CBDO2BDOOO3OiOiOi(2r)200,00,第二步：先算出小圆 0,的半径AO, r，再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）；图7-1图

5、7-22RPA2 (2r)2 ；R22.题设：如图6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点三棱锥P ABC的三条侧棱相等P点也是圆锥的顶点解题步骤:第一步：确定球心 0的位置，取ABC的外心01，则P,0O三点共线;1.题设：如图5, PA平面ABC 解题步骤：第一步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝U PD必过球心0 ;第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：C 1图8-2图8-3第三步：勾股定理：0A2 01A2 0102R2 （h R）2 r2，解出R第二步:01为ABC的外心，所以0

6、01 平面ABC，算出小圆Q的半径01Dr （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得c1sinC 2r)，。1 2pa；(2R)2 PA2方法小圆直径参与构造大圆。sin Asin B例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）CA. 3B. 2-D .以上都不对解:选C,(.3R)21R2, 32、3R R2 1 R2, 4 2 3R 0,R2S 4_2163，R3类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）PACB图9-1pACBOJ图9-2图9-3图9-41题设:如图 9-1，平面PAC 平面 ABC ,且ABBC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 0必是PAC的外

7、心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r ;第二步：a在 PAC中，可根据正弦定理bc2R，求出Rsin Asin Bsin C2.如图9-2，平面 PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）0C2O1C2O1O2R2r2O1O2AC2 R2 O1O23.如图9-3，平面 PAC平面ABC，且AB；BC（即AC为小圆的直径），且 P的射影是ABC的外心三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心 0的位置，取 ABC的外心01，则PQ,。!三点共线;第二步：先算出小圆 01的半径A01 r，再算出

8、棱锥的高 P01 h （也是圆锥的高）；2 2 2 2 2 2第三步：勾股定理： 0A01A 0QR （h R） r ,解出R4.如图9-3，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径），且 PA AC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)22R . PA2 (2r)2 ； R2 r2 OO12OO127例3（ 1）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1，底面边长为2 3，则该球的表面积为 （2）正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：（1）由正弦定理或找球心都可得 2RS 4 R249,（2

9、）方法一：找球心的位置，易知r 1，h1,方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是42R 2, R 1 , V 34h r，故球心在正方形的中心 ABCD处，R 1, V 一3SAC的外接圆，此处特殊，Rt SAC的斜边是球半径，（3）在三棱锥P ABC中，PA PB PC,3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（A.B.C. 4D.解：选D,圆锥A, B,C在以r 的圆上,2（4）已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球径,且SC 2，则此棱锥的体积为（O的求面上,AABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直B.6D.解：OO1 .R2 r21 (33)22、61 -

10、Sh33图6T，h题设：如图10-1，图10-2 ,是任意三角形）10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以第一步：确定球心 o的位置，01是 ABC的外心，则OOj 平面ABC ;第二步：算出小圆Oj的半径AO11 1r，OO1AA1 -h ( AA h也是圆柱的高)；2 2第三步：勾股定理:2222 h 22OA °A 。1。 R r R2 h 2r2)2，解出 R例4(1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,q9，底面周长为3，则这个球的体积为8且该六棱柱的体积为解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为

11、h，底面外接圆的关径为.：3底面积为S 6 4中宁，V柱Sh詈h.3，R2(尹(尹1，4R 1，球的体积为V3(2)直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上,ABACAA12, BAC 120，则此39球的表面积等于解:BC3-2.3，2r4，r 2，R .5，Ssin 12020(3)已知EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直,EAEB3, AD 2, AEB 60，则多面体 EABCD的外接球的表面积为。16解析：折叠型，法一:EAB的外接圆半径为r,OO1R .132 ；法二:O1M-，r2 O2D2，R22，S 16(4)在直三棱柱ABCA B1C1 中，AB

12、4, AC6,A孑AA14则直三棱柱ABC A1B1C1的外接球1603的表面积为R2解析:36282r6i40328，BC 2.7，160 S -2r2.7_324.7石，r(如图11)类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠A811第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出 BCD和 ABD的外心H1和H2;第二步：过Hi和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0，连接OE,OC ； 第三步：解 OEHi，算出OHi，在Rt OCHi中，勾股定理： OH； CH； 0C2例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC， PAC和

13、厶ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P ABC外接球的半径为.解析:2r12r2243，r1D13，OH3J 3, 3，Psin 602221 45 c15hRO2 H石，R2o'、.3 333 A法二:O2H1.3，O1H13，AH1，:H01'BC222225RAOAHO1HOQR -33类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径（AB CD，AD BC，AC BD） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；a,b,c，AD BC x，AB CDy，AC BD z，列方程组,2 ab22 x22 2

14、b22 c2y(2R)22 ab2-2 xy zc22 c2 a2 z补充:VaBCDabc -abc4 1abc63第二步：设出长方体的长宽高分别为 2 2 2第三步：根据墙角模型，2R .a2 b2 c2 .x ； z图12R2，求出R，(1)题例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6 (1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形 (正四面体的截面)的面积是(2) 个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()A 31B 二 C 虫 D 工43412解：(1)截面为 PCOi，面积是.

15、2 ；(2)高h R 1，底面外接圆的半径为 R 1，直径为2R 2 ,设底面边长为a，则2R 2, a .3 , S a2sin 6044(1)题解答图1V3三棱锥的体积为V 丄Sh334(3)在三棱锥A BCD中，AB CD2, AD BC 3, ACBD 4,则三棱锥 A BCD外接球的表面积为。2解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,b22 c4 ,2 c a2 2.22、162( a b c )92 2 24 1629, 2(a b c ) 9 4 1629 ,2 2229m22929abc4RS 222(4)如图所示三棱锥A BCD ,其中ABCD5, ACB

16、D6, AD BC 7,则该三棱锥外接球的设长宽高分别为a,b,c，则a2 b29 ,表面积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为2(a2 b2 c2) 25 36 49 110, a2 b2 c2 55, 4R2 55, S【55;对称几何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R . 3,3 38a,b,c,类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型PC题设： APB ACB 90，求三棱锥P ABC外接球半径（分析：取公

17、共的斜边的中点0 ,连接1OP,OC，则OA OB OC OP - AB，0为三棱锥P ABC外接球球心，然后在 OCP中求出2半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例7 （1）在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形 ABCD折成一个直二一面角 BAC D ,则四面体ABCD的外接球的体积为（)125125125125A.BCD.129635434125125丄解:(1) 2R AC 5, RVR -，选C23386（2）在矩形ABCD中，AB2,BC3,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC ,所得三棱锥A BCD的外接球的表面积

18、为 .解析：（2） BD的中点是球心O , 2R BD 13 , S 4 R2 13 ;类型八、锥体的内切球问题p1 题设：如图14，三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。J15第二步:求1DH -BD3P0PH r, PD是侧面ABP的高；第三步:由POE相似于PDH，建立等式：0EP0 ” ,，解出rDHPD第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心;2题设：如图15，四棱锥PABC上正四棱锥，求其外接球的半径牙co J丄丄H第一步:先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；第二步:求1FH BC2P0PH r , PF是侧面PCD的高;第三步:由POG相似于PFH

19、，建立等式：0GPO，解出HFPF3题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径第二步：设内切球的半径为r，建立等式:Vp ABCVo abcVo pac方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；11111Vp ABCS ABC rSpab rSpac rSpbc r(S ABCS PABSpacS PBC )33333第三步：解出r3Vp abc习题:SO ABCSO PABSO PACSoPBC1若三棱锥S ABC的三条侧棱两两垂直,A. 3B. 6C. 36且SA 2 , SB SC 4 ,则该三棱锥的外接球半径为D.