正态分布性质研究

1、正态分布性质正态分布定义：若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为F(x)=12exp（-（x-）222）则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作，读作服从，或服从正态分布。正态分布可以写成自然指数分布族分布形式F(x；𝜽)=12exp（-（x-）222）=12exp（x2-222-x222）=12exp（-x222）exp（2x-222）其中=2，（𝜽）=222，h（x）=12exp（-x222）则正态分布族属于自然指数分布族。正态分布数字特征（1） 正态分布的期望：E（X）=-+X*12exp

2、（-（x-）222）dx =12-+（+t）e-t22dt =12 -+e-t22dt+2-+te-t22dt =(2)D(X)=-+(x-)2f(x)dx =-+(x-)2f(x)dx =-+(x-)2*12exp（-（x-）222）dx令x-=t,得D(X)= 22-+t2e-t22dt= 22（-te-t22）-+-+e-t22dt)=0+ 222=2正态分布的图形性质（1） 变换：正态分布有两个参数，即均值和标准差，可记作N（，）：均值决定正态曲线的中心位置，标准差决定正态曲线的陡峭或扁平程度。若固定，而改变的值，则当x=时，f（x）=12。由此可知，越小，曲线越陡峭；越大，曲线越扁平

3、。 f（x） O X（2） 变换：为了便于描述和应用，常将正态变量做数据转换。是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以x=为对称轴，左右完全对称。当恒定后，而改变的值，则f（x）的图形沿x平行移动，但不改变其形状。越大，则曲线沿横轴向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴向左移动。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于。正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降（3） 曲线y=f（x）在x=+处有拐点且曲线y=f（x）以OX轴为渐近线，无限逼近。（4） 在正态曲线下方和x轴上方范围内区域面积始终为1。3原则：P（-<X+）=68.3%P（-2<X+2）=9

4、5.4%P（-3<X+3）=99.7%在实际应用中，通常认为服从正态分布N（，2）的随机变量只取（3，+3）之间的值，并称为3原则。正态分布的线性性质（1）XN(0，1),Y=-X,则YN(0，1)证：Y的分布函数F（y）可表示为：F（y）=P(Yy)=P(-Xy)=P(X-y)=1-（-y）=1-1-(y)= (y)故YN(0，1)(2)设随机变量xN（，2），当b0时有Y=a+bxN(a+b,b22)证明：令Z=Y-（a+b）|b|当b>0时，Z=a+bx-(a+b)b=x-故ZN(0，1),从而YN(a+b,b22)当b<0时，Z=a+bx-(a+b)-b=-(x-)根据性质（1），因为x- N(0，1)，所以ZN(0，1)则YN(a+b,b22)综上Y=a+bxN(a+b,b22)（3）XN（1，,12），YN(2，,22),且X与Y相互独立，则Z=X+YN(1+2,12+22)证明：X+Y=2(X-12+Y-22)+1+2XN(,2) 则Y=aX+bN (b+a,a22)由此可推出X-12N(0，1222), Y-22N(0，1)所以X-12