函数性质导学案

1、函数的性质一、考纲要求1.会判断、应用简单函数的周期性2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义4.会运用函数图象理解和研究函数的单调性.5.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义二、知识梳理1.周期性（1）周期函数：对于函数yf（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（xT）f（x），那么就称函数yf（x）为周期函数，称T为这个函数的周期（2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期2.奇（偶）函数的性质（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶

2、函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填“相同”、“相反”）（2）在公共定义域内两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数两个偶函数的和函数、积函数是偶函数一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数（3）若函数f（x）是奇函数且在x0处有定义，则f（0）0.3.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）是奇函数关于原点对称 4.函数的最值前提设函数yf（x）的定义域为I，如果存在实数M满足条件（1

3、）对于任意xI，都有f（x）M；（2）存在x0I，使得f（x0）M.（3）对于任意xI，都有f（x）M；（4）存在x0I，使得f（x0）M.结论M为最大值M为最小值 5.函数的单调性（1）单调函数的定义 增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数 续表图象描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义

4、若函数yf（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数yf（x）的单调区间三、要点精析1.奇函数，偶函数：（1）偶函数：设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数满足，或，若时，（2）奇函数：设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数满足，或，若时，2.（1）求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间求函数单调区间的常用方法：

5、根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质（2）复合函数的单调性：对于复合函数yfg（x），若tg（x）在区间（a，b）上是单调函数，且yf（t）在区间（g（a），g（b）或者（g（b），g（a）上是单调函数，若tg（x）与yf（t）的单调性相同（同时为增或减），则yfg（x）为增函数；若tg（x）与yf（t）的单调性相反，则yfg（x）为减函数简称：同增异减（3）函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用3.规律方法求函数最值的常用方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点

6、，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值4.函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数四、典型例题1.（2010年安徽黄山质检）定义在R上的函数f（x）在（，a上是增函数，函数yf（xa）是偶函数，当x1a，x2a，且|x1a|

7、x2a|时，则f（2ax1）与f（x2）的大小关系为_【答案】f（2ax1）f（x2）【解析】yf（xa）为偶函数，yf（xa）的图象关于y轴对称，yf（x）的图象关于xa对称又f（x）在（，a上是增函数，f（x）在a，）上是减函数当x1a，x2a，且|x1a|x2a|时，有ax1x2a，即a2ax1x2，f（2ax1）f（x2）2.（2009年高考山东卷）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x4）f（x），且在区间0,2上是增函数若方程f（x）m（m0）在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.【答案】-8【解析】因为定义在R上的奇函数，满足f（x4）f（x

8、），所以f（4x）f（x），因此，函数图象关于直线x2对称且f（0）0.由f（x4）f（x）知f（x8）f（x），所以函数是以8为周期的周期函数又因为f（x）在区间0,2上是增函数，所以f（x）在区间2,0上也是增函数，如图所示，那么方程f（x）m（m0）在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1x2x3x4.由对称性知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x41248.3.已知f（x）是R上的奇函数，且当x（，0）时，f（x）xlg（2x），求f（x）的解析式【答案】详见解析【解析】解：f（x）是奇函数，可得f（0）f（0），f（0）0.当x0时，x0，由已知f（x）

9、xlg（2x），f（x）xlg（2x），即f（x）xlg（2x）（x0）即f（x）xlg（2|x|）（xR）4.已知函数f（x）为R上的奇函数，当x0时，f（x）x（x1）若f（a）2，则实数a_.【答案】1【解析】当x0时，f（x）x（x1）0，由f（x）为奇函数知x0时，f（x）0，a0，f（a）2，a（a1）2，a2（舍）或a1.5.（2009年高考辽宁卷改编）已知偶函数f（x）在区间0，）上单调增加，则满足f（2x1）f（）的x取值范围是_【答案】（，）【解析】由于f（x）是偶函数，故f（x）f（|x|），由f（|2x1|）f（），再根据f（x）的单调性得|2x1|，解得x.6.（20

10、09年高考江西卷改编）已知函数f（x）是（，）上的偶函数，若对于x0，都有f（x2）f（x），且当x0,2）时，f（x）log2（x1），则f（2009）f（2010）的值为_【答案】1【解析】f（x）是偶函数，f（2009）f（2009）f（x）在x0时f（x2）f（x），f（x）周期为2.f（2009）f（2010）f（2009）f（2010）f（1）f（0）log22log21011.7.函数y在（1，）上单调递增，则a的取值范围是（  ）A3B（，3）C（，3D3，）【答案】C【解析】解析：（1）y1，由函数在（1，）上单调递增，有，解得a3.8.（2010年江苏苏

11、州模拟）已知函数f（x）是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f（x2），若当2x3时，f（x）x，则f（2009.5）_.【答案】【解析】由f（x2），可得f（x4）f（x），f（2009.5）f（502×41.5）f（1.5）f（2.5）f（x）是偶函数，f（2009.5）f（2.5）.9.【2014四川高考理第12题】设是定义在R上的周期为2的函数，当时，则（  ）【答案】1【解析】试题分析：考点：周期函数及分段函数10.试讨论函数f（x），x（1,1）的单调性（其中a0）【答案】当a0时，f（x）在（1,1）上为减函数；当a0时，f（x）在（1,1）上为

12、增函数【解析】解法一（定义法）任取1x1x21，则f（x1）f（x2），1x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10，10，10，|x1x2|1，即1x1x21，x1x210，0，因此，当a0时，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），此时函数在（1,1）为减函数；当a0时，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），此时函数在（1,1）为增函数法二（导数法）f（x）当a0时，f（x）0；当a0时，f（x）0.当a0时，f（x）在（1,1）上为减函数；当a0时，f（x）在（1,1）上为增函数11.已知f（x），x1，）（1）当a时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x1，）

13、，f（x）0恒成立，试求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）（3，）【解析】审题路线（1）当a时，f（x）为具体函数求出f（x）的单调性，利用单调性求最值（2）当x1，）时，f（x）0恒成立转化为x22xa0恒成立解（1）当a时，f（x）x2，联想到g（x）x的单调性，猜想到求f（x）的最值可先证明f（x）的单调性任取1x1x2，则f（x1）f（x2）（x1x2），1x1x2，x1x21，2x1x210.又x1x20，f（x1）f（x2），f（x）在1，）上是增函数，f（x）在1，）上的最小值为f（1）.（2）在区间1，）上，f（x）0恒成立，则等价于a大于函数（x）（x22x）在1，）上的

14、最大值只需求函数（x）（x22x）在1，）上的最大值（x）（x1）21在1，）上递减，当x1时，（x）最大值为（1）3.a3，故实数a的取值范围是（3，）五、针对训练1.（2013·日照模拟）已知是（，）上的减函数，那么a的取值范围是（  ）A（0,1） BCD【答案】C【解析】解析当x1时，loga10，若f（x）为R上的减函数，则（3a1）x4a0在x1时恒成立令g（x）（3a1）x4a，则必有，即a.2.（2014·日照模拟）若f（x）x22ax与g（x）在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是（  ）A（1,0）（0,1）B

15、（1,0）（0,1C（0,1）D（0,1【答案】D【解析】解析（2）f（x）在a，）上是减函数，对于g（x），只有当a0时，它有两个减区间为（，1）和（1，），故只需区间1,2是f（x）和g（x）的减区间的子集即可，则a的取值范围是0a1.3.【2014全国1高考理第3题】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（  ）A是偶函数B是奇函数C是奇函数D是奇函数【答案】C【解析】试题分析：设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C考点：函数的奇偶性4.（原创题）已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对xR，f（2x）f（2x），当f（3）2时，f

16、（2011）的值为_【答案】2【解析】因为定义在R上的函数f（x）是偶函数，所以f（2x）f（2x）f（x2），故函数f（x）是以4为周期的函数，所以f（2011）f（3502×4）f（3）f（3）2.5.【2014全国2高考理第15题】已知偶函数在单调递减，若，则的取值范围是_【答案】【解析】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键6.（2009年高考山东卷改编）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x4）f（x），且在区间0,2上是增函数，则f（25）、f（11）、f（80）的

17、大小关系为_【答案】f（25）f（80）f（11）【解析】因为f（x）满足f（x4）f（x），所以f（x8）f（x），所以函数是以8为周期的周期函数，则f（25）f（1），f（80）f（0），f（11）f（3），又因为f（x）在R上是奇函数，f（0）0，得f（80）f（0）0，f（25）f（1）f（1），而由f（x4）f（x）得f（11）f（3）f（3）f（14）f（1），又因为f（x）在区间0,2上是增函数，所以f（1）f（0）0，所以f（1）0，即f（25）f（80）f（11）7.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x），且f（2）f（1）1，f（0）2，f（1）f（2）f（200

18、9）f（2010）_.【答案】0【解析】f（x）f（x）f（x3）f（x），即周期为3，由f（2）f（1）1，f（0）2，所以f（1）1，f（2）1，f（3）2，所以f（1）f（2）f（2009）f（2010）f（2008）f（2009）f（2010）f（1）f（2）f（3）0.8.【2014高考福建卷第7题】已知函数则下列结论正确的是（  ）A是偶函数B是增函数C是周期函数D的值域为【答案】D【解析】试题分析：由于分段函数的左右两边的函数图象不关于y轴对称，所以A不正确由于图象左边不单调,所以B不正确由于图象x>0部分的图象不是没有周期性，所以C不正确故选D考点：1

19、分段函数2函数的性质9.已知函数f（x）.（1）若a2，试证f（x）在（，2）上单调递减（2）函数f（x）在（，1）上单调递减，求实数a的取值范围【答案】（1）详见解析（2）（，1）【解析】（1）证明任设x1x22，则f（x1）f（x2）.（x11）（x21）0，x1x20，f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2），f（x）在（，2）上单调递减（2）解法一f（x）a，设x1x21，则f（x1）f（x2），又函数f（x）在（，1）上是减函数，所以f（x1）f（x2）0.由于x1x21，x1x20，x110，x210，a10，即a1.故a的取值范围是（，1）法二由f（x），得f（x），又因为f

20、（x）在（，1）上是减函数，所以f（x）0在x（，1）上恒成立，解得a1，而a1时，f（x）1，在（，1）上不具有单调性，故实数a的取值范围是（，1）规律方法利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f（x1）f（x2）的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题10.求函数的单调区间【答案】单调递减区间为（3，），单调递增区间为（，1）【解析】解令ux24x3，原函数可以看作与ux24x3的复合函数令ux24x30.则x1或x3.函数的定义域为（

21、，1）（3，）又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在（，1）上是减函数，在（3，）上是增函数而函数ylogu在（0，）上是减函数，的单调递减区间为（3，），单调递增区间为（，1）规律方法 （1）对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义（基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论）求解；可导函数则可以利用导数解之（2）复合函数yfg（x）的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf（u）与ug（x）若具有相同的单调性，则yfg（x）为增函数，若具有不同的单调性，则yfg（x）必为减函数六、提升训练1.（2009年高考全国卷改编）函数

22、f（x）的定义域为R，若f（x1）与f（x1）都是奇函数，则下列结论正确的是_f（x）是偶函数 f（x）是奇函数 f（x）f（x2）f（x3）是奇函数【答案】【解析】f（x1）与f（x1）都是奇函数，f（x1）f（x1），f（x1）f（x1），函数f（x）关于点（1,0），及点（1,0）对称，函数f（x）是周期T21（1）4的周期函数f（x14）f（x14），f（x3）f（x3），即f（x3）是奇函数2.（2010年广东三校模拟）定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）f（4）f（7）等于_【答案】0【解析】f（x）为奇函数，且xR，所以f（0）0，由周期为2可知

23、，f（4）0，f（7）f（1），又由f（x2）f（x），令x1得f（1）f（1）f（1）f（1）0，所以f（1）f（4）f（7）0.3.【2014高考上海理科第题】设若，则的取值范围为_【答案】【解析】由题意，若，则不合题意，因此，此时时，满足考点：分段函数4.【2014浙江高考理第15题】设函数若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意，或，解得，当或，解得，解得考点：分段函数,求范围5.【2014浙江高考理第6题】已知函数（  ）ABCD【答案】C【解析】由得，解得，所以，由，得，即，故选C考点：求函数解析式,解不等式6.【2014高考湖南卷第3题】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（  ）ABC1D3【答案】C【解析】分别令和可得和,因为函数分别是定义在上的偶函数和奇函数,所以,即,则,故选C考点：奇