量子力学的矩阵形式及表示理论

1、第六章 量子力学的矩阵形式及表示理论第六章 目录§6.1 量子体系状态的表示3§6.2 Dirac符号介绍4（1）量子态、Ket矢，Bra矢（Bracket）5（2）标积5（3）算符及其表示7（4）不可约张量算符的矩阵元计算简介12（5）投影算符15§6.3 表象变换，幺正变换17（1）同一状态在不同表象中的表示间的关系17（2）两表象的基矢之间关系18（3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系18（4）幺正变换19§6.4平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形式20（1） 平均值20（2）本征方程21（3） 薛定谔方程25§6.5 量子态的不

2、同描述26（1）薛定谔绘景27（2）海森堡绘景28第六章 量子力学的矩阵形式及表示理论§6.1 量子体系状态的表示现在来讨论体系状态的“坐标”状态表示 如果有一组力学量构成一力学量完全集，其共同本征函数构成一正交，归一和完备组，并有封闭性。 于是，任一波函数 。 是在中测得力学量取值为的几率（若是归一化的）。显然，当选定一组力学量完全集后，则集合 是与 完全等价的，它完全确定了体系的状态。我们将会看到，与一样，提供给我们同样多的信息。状态表示的定义：若力学量的完全集的共同本征函数组为，则的全体，被称为体系所处态在表象中的表示，也可以看作态矢量在作为基矢所张的“坐标系”中的“坐标”。事

3、实上，正是体系所处状态在表象中的表示。因我们知 本征函数为，它是力学量的共同本征函数，它当然形成一组正交，归一和完备组。对于任何一个态，都能按它展开 。所以，是状态在表象中相应本征值为的表示。为测量粒子在中的几率。通常体系处于某状态，即认为被态矢量描述。对于分立谱：则在表示中的表示，可以用一单列矩阵表示 。而归一化 对于连续谱：则在表象中的表示，它是的函数 §6.2 Dirac符号介绍上节看到一个态矢量可由一组数表示。但在表示（或计算）时，其实已用到态矢量在表象中的表示及在表象中的共同本征矢的表示。 而 。事实上，一个描述体系所处的状态，并不需要依赖于某一表象。而仅在计算时，要在一个

4、具体表象中进行。所以Dirac建议用一抽象的符号来描述体系所处的状态。它现在已广泛用于量子力学或文献中。它的优点在于表述简明，运算方便，而与具体表象无关。（1）量子态、Ket矢，Bra矢（Bracket）量子力学中的状态，可以看作某线性空间中的一个矢量，我们称为Ket矢，以表示。为使它可代表不同Ket矢，则在这表示中给出特征标志符号。如态矢量是的本征矢，它的本征值为N，则本征矢可表为。例如，在中心力场中能量的本征波函数为，我们可表示它为，它是的共同本征函数。 在这里并未与具体表象相联系，而仅表示是具有本征值为的共同本征矢。当然，对于任何一个线性空间，都存在一个共轭空间，在这个共轭空间中的态矢量

5、我们可以以符号来表示，称为Bra矢，如，等。（2）标积有了态矢量Ket矢和Bra矢后。我们可定义两个矢量的标积A. 标积定义：矢量和矢量的标积为一数，它表示为 它对是线性的，对是反线性的；如果两矢量的标积为0，则称这两矢量是正交的。如果矢量的标积为1，则称该矢量是归一的；而 B基矢的正交、归一、完备和封闭性。态矢量的表示若力学量形成一完全集，其共同本征态记为，相应本征值为，这就是表示的基矢，它是正交、归一和完备的。正交，归一： ；对任一空间态矢量，可表为完备性：。 称为态矢量在表象中的表示 封闭性：。由于是任意的态矢量，所以 。对于连续谱，则为若在表象中，的表示即为 。若就是表象的本征矢，那在

6、自身表象中的表示 表象中的基矢在表象中的表示即为 ，而代表表象中的基矢（本征值为）在表象中的表示 （注意这时量子数为）这样，在坐标表象中，本征函数组，即基矢的正交、归一，完备和封闭性就易于理解。正交、归一： 完备性：，所以，即而 。封闭性： 即 。所以 。它也是 ， 即位置算符的本征态以它在表象中的表示来示出归一化。 所以说，表象的本征态在坐标表象中的表示的封闭性，就是坐标表象的本征态在表象中的表示的正交、归一性。而二个矢量的标积 （3）算符及其表示A. 算符的自然展开：在量子力学中，可观测力学量以厄密算符表示，其本征方程为 或 于是有 由于是任意态，所以有 或 事实上，这即定义了一个算符，或

7、称为算符的自然展开。B. 算符的表示算符是将一态矢量变为另一态矢量设：是一力学量完全集，其正交，归一，完备组基矢为则 和分别是态矢量，在表象中表示。而是将态矢量表示变到态矢量表示，所以它起到算符同样的作用。的全体称为算符在表象中矩阵表示。显然，计算表示与在那一个表象中来计算是无关的。在表象中计算：态矢量和算符在表象中的表示和矩阵元若 同理 而 代入得 若算符即为算符，即 ，则有 为力学量在表象中的算符。 事实上，矩阵描述了表象中的本征态，, 在算符作用下，所得到的新的态矢量在表象中的表示。 即 这表明，表象中的基矢在作用下所产生的新的态矢量在表象中的表示。正是算符在表象中矩阵表示的第列元素集合

8、。于是，我们求算符在某表象中的矩阵表示，只要将它作用于该表象的基矢上，并将新的态矢量在该表象中展开， 将其系数矩阵转置为即得在表象中的矩阵表示显然，算符在其自身表象中的表示可由方程组 的系数矩阵转置得到。所以是对角矩阵，而矩阵元为其本征值。例1，求动量算符 在一维谐振子势的能量表象中的矩阵表示解： 由于 系数矩阵为。转置（或取复共轭），得 例2：求算符的矩阵，则由 矩阵为 相应本征值为， , , , , 例3： 给出方程在表象中的表示式 并由此可推论，由于是任意态，所以在表象中，算符的形式为。（4）不可约张量算符的矩阵元计算简介A. 不可约张量算符的G. Racah 定义若满足以下的对易关系则

9、称为秩不可约张量算符。它在空间转动下的变换为 B. 定理维格纳-埃伽定理：矩阵元与投影量子数的关系完全包含在系数中证：由 于是有 ，它是表示投影量子数的守恒规则。由 得 （1）根据投影量子数守恒知，仅当矩阵元才不为零。我们知 将算符 作用于方程两边，得于是有 以 标积方程两边，得与(1)式比较，可见 矩阵元随投影量子数的变化与系数的变化是完全一样的。于是有C. 一秩张量的投影定理证： 由于 为一秩不可约张量算符，所以 从而得 现求 即同理有 从而有 （5）投影算符这里简单介绍一下投影算符，它是一极有用的工具，涉及一系列概念：子空间，子空间正交系等等，这里仅给出最简单的定义。A定义：若厄密算符

10、有性质 ，则称该算符为投影算符。具体看一个例子。若 （ ） 就是一投影算符。事实上， 它将任何一个态的某部分抛投出来，而态的这部分恰恰是的本征值为本征态。 （或者说，将空间所有态都投入到态上）显然 也是一投影算符。它将任一态中相应于本征值为所相应的本征态分量抛投出来。也可说，将所有的态都投入到这样一些态的子空间中，成为这些态的线性组合。 但可以证明 就不是投影算符（若不全为1）B. 任何投影算符的本征值都是0和1若 是 的本征态，本征值为 , 则 不是零矢量， 或 而任何一个态矢量都可以按 的基矢展开 由 所以，若不是零矢量，那它是的本征值为零的本征矢。当然，若，那就是的本征值为1的本征矢。由

11、 所以，若不是零矢量，那它是的本征值为1的本征矢。当然，若，那就是的本征值为的本征态。若，都不是零矢量，那和是正交的。 §6.3 表象变换，幺正变换（1）同一状态在不同表象中的表示间的关系对于态 在 表象中，其表示为 即 在另一表象中其表示为 于是， 是将态矢量在表象中的表示，变换到表象中表示的变换，（或表象中的表示以表象中的表示来表出）写成矩阵形式 即 在 表象中表示 在表象中表示矩阵的矩阵元正是表象基矢与表象基矢的标积，其第列，是算符的第个基矢在表象中的表示。因此，是一个幺正算符。同一态矢量在不同表象中的表示之间是通过一个幺正变换联系起来的。（2）两表象的基矢之间关系 所以，基矢

12、的变换是经来实现 .（3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系与态矢量一样，在不同表象中，力学量的矩阵表示是不同的. 它们之间的关系也是幺正变换（即由幺正算符进行相似变换）对于算符在表象中的矩阵表示为 即 总结： 表象表象对同一波函数在不同表象中表示 则 基矢 力学量 （4）幺正变换设：是一线性算符，有逆算符对某一力学量进行相似变换得 即 A对每一算符有与同样的本征值 与有同样的本征值，而本征函数为例： ，则 是 的本征函数，本征值为证： 是 之逆算符。 是 的本征函数，本征值为。 而 B在幺正变换下（是线性算符），线性算符，基矢，厄密共轭矢之间的任何代数关系保持不变。 ， §6.

13、4平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形式(1) 平均值力学量 在体系（处于态 ，且归一）中的平均值为 设：构成力学量完全集，共同本征矢为，则 是在表象中的表示。若 包括力学量 （ 而 ） 对于两个算符乘积的平均值（2）本征方程对于算符的本征方程为 在表象中，则 为算符本征值为的本征矢在表象中表示, 为算符在表象中的矩阵元于是有算符的本征方程在表象中的矩阵形式为 从而得 要方程组有非零解，即不全为，则要求系数行列式为，即 ，由这求出, 然后代入方程组求出相应的例1：某力学量在 表象中的矩阵为求该力学量的本征值和本征态由系数行列式 代入方程得 代入方程得 的本征值所相应的本征矢在表象中的表示为 所

14、相应的本征矢在表象中的表示为顺便我们可以看到，对于两个表象，即 所以，要求矩阵，只要求表象中的基矢在表象中的表示即可，这相当于矩阵中一个列。具体看 的本征矢在表象中的表示为 , 所以，由表象到表象的变换矩阵为 而我们知，算符在自身表象中的矩阵表示是对角的，对角元为其本征值 例2 在表象中，求(在子空间)的本征值，本征矢（即在，也就是本征值为子空间中）解：首先求在表象中的矩阵 由本征方程 如何求在的本征值为的本征态中测量的可取值几率？ 由于在自身表象中的本征值为的表示为于是测得 的几率振幅为 所以, 在中（坐标表象中，的本征值为0的本征态中）测量的可取值的几率为 .这表明，可在任何一表象中来处理

15、问题。而 的变换矩阵 从是 （3） 薛定谔方程 在表象中，基矢为则 这即为表象中的的矩阵形式若不显含，而 表象就是表象，则 从而得 所以，当 不显含，在表象中的表示为 ，由初态给出。（时，在表象中表示），由 在任一表象中的方程求出。 §6.5 量子态的不同描述由 它体现了量子力学的因果律，即当知，在不受外界干扰下，体系的波函数随的演化是完全确定的。而 而波函数和算符不是直接观测量. 仅力学量取值，及其几率分布（或几率）是直接观测量。因此，重要的是： 可能取的值 测量取的几率振幅为 如果用不同方式来描述，但若上面两个量是完全相同的，于是分不清这两种描述的差别，而都可以接受。（1）薛定谔

16、绘景设：以来表示，遵守 如果和分别演化为和。根据态叠加原理可能态将演化为。这表明，可由一线性算符从获得（ 以下取 ）。因此可假设 （与无关） 而 于是有 由于 是初态，可任意设定。所以，时间演化算符 满足 若 不显含，则 由于 ，所以 （）这一变换是一幺正变换而本征方程 若 不显含，那么 也与无关所以，时刻，测量取值的几率振幅为在 的描述中，态矢量随的变化，反映在它的表示随的变化。而力学量的本征值及本征矢不随变化。 （）随变化取决于。而取之值的几率为。但对所有这些测量可得值与实验可比的量的描述并不唯一。上述描述只是一些等价描述方式之一。（2）海森堡绘景对于 中的矩阵元，我们看到随的变化（如不显含）是由于态矢量随变化所致。而 所以，的矩阵元可表为 即态矢量可保持不随时间变，而算符用 来代之。这时态矢量可以表为 这样，矩阵元 即这一描述与一样再看本征方程 力学量的本征值为，即谱是相同的。但相应的本征态为是随变的。在中测得的几率振幅为 态矢量中测得的几率振幅与在中测得的几率振幅也是一样的。所以，这两种描述是完全等价的。于是，我们引入新的绘景 态矢量 算符和本征方程 这时本征矢与有关，但本征值相同，对易关系保持不变 算符随时间变化（运动方程） 不显含 而 所以， ，于是 （这时）若是运动常数，即。由对易关系保持不变，即。所以，也是运